魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 一道初中关于圆的题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-12 15:09:49 标题: 一道初中关于圆的题

如图，PA、PB是圆O的两条切线，切点为A、B，弦CD//AB，割线PCE交圆O于E，DE交AB于F，求证：FA=FB.

QQ截图未命名.jpg

附件: QQ截图未命名.jpg (2010-7-12 15:09:49, 11.87 KB) / 下载次数 190
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTAzOTEzfDBiMGU3YWQwfDE3NjYxNzg4NjN8MHww

作者: dangerxxxx 时间: 2010-7-12 15:24:43

我承认我已经忘记怎么做了

作者: 丫bin 时间: 2010-7-12 15:42:57

初三毕业的我抄了下来慢慢想~

作者: 五叶草 时间: 2010-7-12 16:17:49

很遗憾，我是初二的。。。。。。。。。

作者: ursace 时间: 2010-7-12 16:38:16

连接PO，可得OP交AB于F，证毕

作者: robester 时间: 2010-7-12 16:54:45

我看不到“趣”在哪。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-12 18:18:24 标题: 回复 5# 的帖子

如何知道PO交AB于F？？？？？？？？请说明一下

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-12 19:29:24

这题好像做过。。。具体忘记了，当时好像证了一组全等。。。
-----------------
见11楼。。。

[ 本帖最后由 Paracel_007 于 2010-7-12 22:57 编辑 ]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-12 22:09:19 标题: 回复 8# 的帖子

回忆一下啊，再想想……

作者: chuchudengren 时间: 2010-7-12 22:35:34

这个题和似乎是你以前问的一道题很类似，延长PD交圆与G，CG 与DE交与F‘，同样是圆内接四边形对角线交点在对边交点的极线上，因此F与F’ 重合，故而F为中点

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-12 22:56:38

证明有错。。。
真是容易循环论证。。。

[ 本帖最后由 Paracel_007 于 2010-7-13 00:10 编辑 ]

附件: maths.jpg (2010-7-12 22:56:38, 22.96 KB) / 下载次数 94
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA0MDE2fGJjMjY2YzUzfDE3NjYxNzg4NjN8MHww

作者: chuchudengren 时间: 2010-7-12 23:03:55

∠OFE=90-∠KFE why？

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-13 00:18:05

这次不会再循环论证吧。。。
设AB中点为M
PC*PE=PA[sup]2[/sup]=PM*PO
∴OMCE四点共圆
易得MA平分∠CME，MP平分∠CMD
即C、E调和分割PK
PC:CK=PE:EK
即PC:PE=CK:EK=DF:EF
又PC=PD
可得PD:PE=DF:EF
∴PF平分∠DPC
以下易证

[ 本帖最后由 Paracel_007 于 2010-7-13 00:22 编辑 ]

附件: maths2.jpg (2010-7-13 00:18:05, 24.52 KB) / 下载次数 91
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA0MDIxfDExYjZkODZkfDE3NjYxNzg4NjN8MHww

作者: tm__xk 时间: 2010-7-13 03:56:03

直接对AABCED用Pascal算了..= =||||

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-13 08:38:02

怎么看这也不像初中的题…

作者: chuchudengren 时间: 2010-7-13 09:18:16

原帖由 tm__xk 于 2010-7-13 03:56 发表直接对AABCED用Pascal算了..= =||||

这个竟然没有想到，好方法。

作者: tm__xk 时间: 2010-7-13 14:22:19

原来这方法这么好..竟然被加分了..把我吓到了..- -

作者: LYQ 时间: 2010-7-13 14:50:27

原帖由 五叶草 于 2010-7-12 16:17 发表
很遗憾，我是初二的。。。。。。。。。

ME,TOO!快初三了.

作者: tm__xk 时间: 2010-7-13 15:11:46

再换一个..

延长PD交圆于G,DE交CG于F',则P的极线AB过F'==>F=F'

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-13 16:04:17

19楼和10楼是一样的吧…

作者: tm__xk 时间: 2010-7-13 17:57:12 标题: 回复 20# 的帖子

ms..我是后来才发现的..

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-13 23:28:32

原帖由 tm__xk 于 2010-7-13 03:56 发表
直接对AABCED用Pascal算了..= =||||

太巧妙了。。。

附件: maths3.jpg (2010-7-13 23:28:32, 30.52 KB) / 下载次数 104
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA0MjIwfDI2OTVlMmQ2fDE3NjYxNzg4NjN8MHww

作者: tm__xk 时间: 2010-7-14 17:01:45

给个不用定理的算了....

AF/BF=(AD*AE)/(BD*BE)=(BC/BE)/(AC/AE)=1.

作者: cyz 时间: 2010-7-16 13:09:21

我刚中考完。
全忘光了

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-23 17:25:06

网络牛人牛解：
QQ截图未命名.jpg

证法一：连接OA、OP、OD和OE，假设AB与OP相交于点X，DE与OP相交于点Y
1) 易证OP垂直平分AB，OA[sup]2[/sup]=OX*OP
2) 由CD//AB，故OP⊥CD。又CD是圆O的弦，所以OP平分弧CD
3) ∠PED=(1/2)*弧CD=∠POD，故P、D、O、E四点共圆，于是∠EPO=∠ODE
4) 又∠OED=∠ODE，于是∠EPO=∠OED=∠OEY，结合∠EOY公共，易证△OEY∽△OPE，于是OE[sup]2[/sup]=OY*OP
5) 比较1)、4)的结论，结合OA=OE，有OX=OY，故点X、Y重合，即OP、AB、DE相交于同一点X，既然X是AB的中点，故DE平分AB

附件: QQ截图未命名.jpg (2010-7-23 17:25:06, 16.19 KB) / 下载次数 121
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA1MTM0fDA5ZWI2ODZkfDE3NjYxNzg4NjN8MHww

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-23 17:26:43

网络牛人牛解：
QQ截图未命名.jpg

证法二：连接AC,AD,AE,BC,BD,BE.
1) 圆O的两条弦AB、DE相交于X，有AX/BX=(AD*AE)/(BD*BE)
显然△AXE∽△DXB，于是AX/DX=AE/BD
显然△AXD∽△EXB，于是DX/BX=AD/BE
以上两式相乘即有AX/BX=(AD*AE)/(BD*BE)
2) 由CD//AB易证CDBA是等腰梯形，于是AD=BC，BD=AC，等量替换有AX/BX=(BC*AE)/(AC*BE)=(BC/BE)*(AE/AC)
3) 易证△PCB∽△PBE，于是BC/BE=PC/PB
4) 易证△PCA∽△PAE，于是AE/AC=PA/PC
5) 3)、4)两式相乘，结合PA=PB，有AX/BX=(BC/BE)*(AE/AC)=(PC/PB)*(PA/PC)=1，即AX=BX，从而DE平分AB

附件: QQ截图未命名.jpg (2010-7-23 17:26:43, 16.04 KB) / 下载次数 120
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA1MTM1fDBmZGFhOGMzfDE3NjYxNzg4NjN8MHww

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)