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标题: 有道题请高手解决 [打印本页]

作者: tspan 时间: 2010-8-3 18:14:11 标题: 有道题请高手解决

(1)证明存在非零实数对(x,y)使代数式11x^2+5xy+37y^2的值是完全平方数.
(2)证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1\a2不等于b1\b2,使得对任意自然数n,当x=a1n^2+b1n+c1,y=a2n^2+b2n+c2时,代数式11x^2+5xy+37y^2的值都是完全平方数.

作者: superacid 时间: 2010-8-3 18:47:40

第一眼望去，只能说题目出得比较简单。。。
应该说存在无穷多对(x,y)使得11x^2+5xy+37y^2是完全平方数

PS：先吃饭，回头做题

[ 本帖最后由 superacid 于 2010-8-3 18:52 编辑 ]

作者: kattokid 时间: 2010-8-3 19:46:05

第一题应该主要解决存在一个不为0的实数z，使得37z[sup]2[/sup]+5z+11的值是一个完全平方数即可吧，可惜我不会解

作者: superacid 时间: 2010-8-3 20:35:46 标题: 回复 3# 的帖子

应该说是有理数。。不过这样没意义

作者: Paracel_007 时间: 2010-8-3 21:28:42

第一题如果是非零实数对好像也太容易了一点。。。

作者: feifucong 时间: 2010-8-4 14:12:14

第一题可以凑吗？？程序秒杀之。。。

作者: superacid 时间: 2010-8-4 14:16:23

z^2=11x^2+5xy+37y^2
44z^2=(22x+5y)^2+1603y^2
然后根据Pell方程的有关定理就证明出来了

作者: rubik-fan 时间: 2010-8-4 17:50:50

第一题确实是不严谨的证明题。要说证明存在无数多个实数对，才是一个证明题。如果说存在实数对，那只需要罗列出来一个就可以了。无须证明。我已经找到一个实数对（1，2）。代数式的值是169。是个平方数。

第二题，我的一个思路是把x个y的表达式带入式子中。可以整理成（***）的平方的结果。虽然不清楚是否可行。我数学不好。瞎猜而已

作者: 553975689 时间: 2010-8-4 17:57:53

这个题有意思。。BQ也太快了。。

作者: tspan 时间: 2010-8-5 08:27:24 标题: 谢谢LS对第一题的解答，求第二题解法

这是哪一年的什么“我爱数学”初中生夏令营的一道题，我对a1\a2不等于b1\b2这个条件比较疑惑。
希望大家还是用一些初等的方法，对于Pell方程，我知之甚少，麻烦各位数学高手了

作者: superacid 时间: 2010-8-5 08:44:32 标题: 回复 10# 的帖子

Pell方程确实很初等，只不过一般人不知道...
如果是初中题目的话，就应该要用构造法了

作者: tspan 时间: 2010-8-5 08:49:16

啥是构造法啊~~~~~？

作者: superacid 时间: 2010-8-5 09:05:38

下面是100以内的互素的(x,y)：
1 2
1 5
9 10
9 77
12 1
12 5
27 14
28 11
36 83
41 37
44 7
44 37
49 5
53 10
63 19
71 43
77 25
84 97
99 70

作者: superacid 时间: 2010-8-5 09:06:47 标题: 回复 12# 的帖子

就是把a1,a2,b1,b2,c1,c2都算出来，举一个例子

作者: tspan 时间: 2010-8-5 20:28:45

Where is the example?

作者: rubik-fan 时间: 2010-8-7 04:07:31

the example is on upstairs

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