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标题: 数学竞赛的一道题 [打印本页]

作者: libiamo 时间: 2008-2-20 07:33:07 标题: 数学竞赛的一道题

有一个棱长为1的立方体，放在桌子上。在立方体上面的一个面点一个点，然后让这个立方体向前滚动。立方体滚动时，不打滑，始终有至少两个顶点着地。问，等这个立方体上面的点又回到*上*面时，这个点在空间中动了多少距离？

选项有2π, √2 π, √5 π, (1+√5)/2 * π, 还有一个忘掉了。。。

反正我数学竞赛考砸了。。。我把这道题算出来了，没来得急写

虽然不知道对不对

作者: 东莞的8 时间: 2008-2-20 09:04:14

√5 π? 如图.1到2,半径是R1,2到3半径是R2

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作者: libiamo 时间: 2008-2-20 11:33:00

我算出来的是(1+√5)/2 * π

作者: 77880066 时间: 2008-2-20 12:23:13

如果没记错应该是3楼的答案

作者: hzcf 时间: 2008-2-20 13:29:05

应该是3楼的答案

作者: hzcf 时间: 2008-2-20 13:29:52

2楼的2-3半径有误，应为1/2，呵呵

作者: 东莞的8 时间: 2008-2-20 17:18:27

这个题目不难.但也做错了...

作者: libiamo 时间: 2008-2-21 09:02:53

哇

好惨啊，我竞赛时算对了，没来得急写

要在有5秒就能写上了，眼睁睁的看着奖牌飞走了。。。。

作者: 乌木 时间: 2008-2-21 16:29:50

1楼说的标记点应该在面的中心处。这样，答案的确为(1+√5) π / 2。就是下图的四段圆弧之和。如果不在中心，不知答案是什么？
 
 翻滚立方体上一点的路径.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-2-21 17:08 编辑 ]

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作者: 业余魔术师 时间: 2008-2-21 17:02:38

题目中的距离是指点滚过的轨迹长度吗？
如果是只滚过的轨迹长度，那就应该是这样的：
如果用一个魔方来表示就是，白面为底面，蓝面朝自己，魔方向红面滚动。那么我可以在黄面和橙面的棱上去一点A。这样，第一次滚动90度，A的转动半径为根号2，转过的1/4个圆的弧长为：2π 根号2*1/4。第二次滚动90度，A的转动半径为1，转过的1/4个圆的弧长为：2π *1/4。第三次滚动，A不动，所以没有距离。第四次滚动90度A的转动半径为1，转过的1/4个圆的弧长为：2π *1/4。所以，A总共滚过的弧长为：2π 根号2*1/4+2π *1/4+2π *1/4=1/2π （根号2+2）

如果是题目里说的“这个点在空间中‘动了’多少距离”，如果这个“动了”是指滚4次之后，点的前后距离差，那就很简单了，就是4嘛。

作者: libiamo 时间: 2008-2-22 06:24:28

题中没有说在中心处，只说在正方体的向上的面

作者: 东莞的8 时间: 2008-2-22 09:08:51 标题: 回复 9# 的帖子

设该点到所在面滚动方向的边距离为a,对应的第一条弧半径为√(a平方+1),转过90度.第二条弧半径为a,转过90度,第三条弧半径为(1-a),转过90度.最后一条弧半径是√((1-a)平方+1),转过(180-2tan(a)).这样是否有一般性?

作者: 乌木 时间: 2008-2-22 11:42:54

好像题目应该指定点子的位置的吧？如果点子取在别处，比如顶面的边沿（见下图），路径长度好像就变了吧？
 
此外，从题目的“等这个立方体上面的点又回到*上*面时”，4号点就又回到上面了，所以，如果最后一滚不做的话，路径长度就只有一个π了。当然，这有点“脑筋急转弯”味道了。
 
 立方体翻滚与点子路径长度.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-2-22 12:50 编辑 ]

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作者: 钟七珍 时间: 2008-3-5 15:08:59

　
　　原题问：“这个点在空间中动了多少距离？”
　　“距离”二字不准确。通常，“距离”是指两点之间的直线长度。应改为“路程”：“这个点在空间中经过的路程是多少？”
　　还有，正如楼上乌木先生所言，应指明点的确切位置。因为点的位置不同，经过的路程是不同的。

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