魔方吧·中文魔方俱乐部
标题:
数学竞赛的一道题
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作者:
libiamo
时间:
2008-2-20 07:33:07
标题:
数学竞赛的一道题
有一个棱长为1的立方体,放在桌子上。在立方体上面的一个面点一个点,然后让这个立方体向前滚动。立方体滚动时,不打滑,始终有至少两个顶点着地。问,等这个立方体上面的点又回到*上*面时,这个点在空间中动了多少距离?
选项有2π, √2 π, √5 π, (1+√5)/2 * π, 还有一个忘掉了。。。
反正我数学竞赛考砸了。。。我把这道题算出来了,没来得急写
虽然不知道对不对
作者:
东莞的8
时间:
2008-2-20 09:04:14
√5 π?<BR>如图.1到2,半径是R1,2到3半径是R2
附件:
未命名.JPG
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作者:
libiamo
时间:
2008-2-20 11:33:00
我算出来的是(1+√5)/2 * π
作者:
77880066
时间:
2008-2-20 12:23:13
如果没记错应该是3楼的答案
作者:
hzcf
时间:
2008-2-20 13:29:05
应该是3楼的答案
作者:
hzcf
时间:
2008-2-20 13:29:52
2楼的2-3半径有误,应为1/2,呵呵
作者:
东莞的8
时间:
2008-2-20 17:18:27
这个题目不难.但也做错了...
作者:
libiamo
时间:
2008-2-21 09:02:53
哇
好惨啊,我竞赛时算对了,没来得急写
要在有5秒就能写上了,眼睁睁的看着奖牌飞走了。。。。
作者:
乌木
时间:
2008-2-21 16:29:50
<P>1楼说的标记点应该在面的中心处。这样,答案的确为(1+√5) π / 2。就是下图的四段圆弧之和。如果不在中心,不知答案是什么?</P>
<P> </P>
<P>
2008-2-21 17:05:34 上传
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</P>
[
本帖最后由 乌木 于 2008-2-21 17:08 编辑
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翻滚立方体上一点的路径.GIF
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作者:
业余魔术师
时间:
2008-2-21 17:02:38
题目中的距离是指点滚过的轨迹长度吗?
如果是只滚过的轨迹长度,那就应该是这样的:
如果用一个魔方来表示就是,白面为底面,蓝面朝自己,魔方向红面滚动。那么我可以在黄面和橙面的棱上去一点A。这样,第一次滚动90度,A的转动半径为根号2,转过的1/4个圆的弧长为:2π 根号2*1/4。第二次滚动90度,A的转动半径为1,转过的1/4个圆的弧长为:2π *1/4。第三次滚动,A不动,所以没有距离。第四次滚动90度A的转动半径为1,转过的1/4个圆的弧长为:2π *1/4。所以,A总共滚过的弧长为:2π 根号2*1/4+2π *1/4+2π *1/4=1/2π (根号2+2)
如果是题目里说的“这个点在空间中‘动了’多少距离”,如果这个“动了”是指滚4次之后,点的前后距离差,那就很简单了,就是4嘛。
作者:
libiamo
时间:
2008-2-22 06:24:28
题中没有说在中心处,只说在正方体的向上的面
作者:
东莞的8
时间:
2008-2-22 09:08:51
标题:
回复 9# 的帖子
设该点到所在面滚动方向的边距离为a,对应的第一条弧半径为√(a平方+1),转过90度.第二条弧半径为a,转过90度,第三条弧半径为(1-a),转过90度.最后一条弧半径是√((1-a)平方+1),转过(180-2tan(a)).这样是否有一般性?
作者:
乌木
时间:
2008-2-22 11:42:54
<P>好像题目应该指定点子的位置的吧?如果点子取在别处,比如顶面的边沿(见下图),路径长度好像就变了吧?</P>
<P> </P>
<P>此外,从题目的“等这个立方体上面的点又回到*上*面时”,4号点就又回到上面了,所以,如果最后一滚不做的话,路径长度就只有一个π了。当然,这有点“脑筋急转弯”味道了。</P>
<P> </P>
<P>
2008-2-22 11:42:54 上传
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</P>
[
本帖最后由 乌木 于 2008-2-22 12:50 编辑
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立方体翻滚与点子路径长度.GIF
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http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTI5Njd8MTQ1N2VlZDV8MTc1MzUwNjQ3NXwwfDA%3D
作者:
钟七珍
时间:
2008-3-5 15:08:59
原题问:“这个点在空间中动了多少距离?”
“距离”二字不准确。通常,“距离”是指两点之间的直线长度。应改为“路程”:“这个点在空间中经过的路程是多少?”
还有,正如楼上乌木先生所言,应指明点的确切位置。因为点的位置不同,经过的路程是不同的。
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