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标题: 簇有同态? [打印本页]

作者: pengw 时间: 2008-2-21 18:23:19 标题: 簇有同态?

簇有同态吗?如果有,三阶纯色有二个基态簇,这些基态簇的同态应该如何进行组合?谁能举一个实例?回答这个问题,关系着一些最美的编图.

作者: 446995556 时间: 2008-2-21 19:15:54

不懂

作者: 乌木 时间: 2008-2-21 20:32:02

此题中心块簇应该不动，对吗？
 
还有，所谓基态簇，是不是指：如果要复原该簇的话，只需经过簇内调动和翻色即可复原该簇，不会改变另一簇，这种状态的簇就是基态簇。也就是没受扰动的簇。对吗？如果对的，那么，例如，基态角簇的总数为（8！/ 2）×3^7，对吗？如果没错的话，这（8！/ 2）×3^7个角态可是个个不同的呀（说此话暗含着中心簇一起看），怎么会有“同态”呢？或者，是不是讲“基态簇的同态”问题时，又要暂时抛开中心块簇，另找别的参照系？ 
 
我不熟悉这些东西，所以老是问“对吗”。先问问，再想1楼的题目。

[ 本帖最后由乌木于 2008-2-21 20:39 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-2-21 22:34:11

复原状态下的簇状态是基态簇,中心块簇不可能有同态,除了中心块簇,所有其它簇都有簇同态,这是一个很有趣的问题,这跟一些非常漂亮的图案有关系,如换心,百合花,十字等.

作者: 乌木 时间: 2008-2-21 23:09:15

噢，这么说来，我上述的一个簇的许许多多的非扰动态，就是非扰动态，并不是这个簇有许许多多的基态。我原来的概念不对。
 
既然“复原状态下的簇状态是基态簇”，那么这“基态簇”是只有一个状态呢还是24个？也就是说，这个基态簇发生整体旋滚（设想中心块组不动，仅仅被考察的簇整体动）所显示的、表观不同的样子，其实只是24个同态。这样才谈得上“基态簇的同态”。如果基态簇只有一个状态，哪来的“同态”？对吗？

[ 本帖最后由乌木于 2008-2-21 23:11 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-2-21 23:28:34

如果角簇基态的同态有24个，棱簇基态的同态也有24个，组合数是不是24×24！/ X，这X是排除不可能的搭配，如果有的话。有无X 以及X为多少，我不会算了。 （呀！好像组合数应为24×24 / X ，不是24×24！/ X，对吗？）
 
如果这种组合中，恰好构成六面换心（不包括四面换心），是不是我在另一帖提到的只有8种？见下图：
 
<IMG onmouseover="attachimginfo(this, 'attach_11943', 1);attachimg(this, 'mouseover')" onmouseout="attachimginfo(this, 'attach_11943', 0, event)" alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0801/20080119_dd0fa8074109ef98c0d2IzE9GZPoEfig.gif" onload="attachimg(this, 'load')" border=0>

[ 本帖最后由乌木于 2008-2-22 10:04 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-2-21 23:33:53

总共应该有24个换心图

作者: 77880066 时间: 2008-2-21 23:43:10

没看懂………………………

作者: 乌木 时间: 2008-2-21 23:52:41 标题: 回复 7# 的帖子

我上面排除了24种“换心”中有些其实只是四面换心态，留下14个六面换心态，再排除6种不可能态，得到8种。不知有无遗漏？

作者: 乌木 时间: 2008-2-21 23:58:04 标题: 回复 8# 的帖子

那些图表示：设想了14种六面换心态，经分析，有8种是能够转出的，有6种是永远转不出来的。

作者: pengw 时间: 2008-2-22 08:04:17

三阶上，中棱簇是不能在“魔方内”独立进行整体滚转，这违背了扰动定律，所以7楼的结论是错误的，违背了自已归纳的扰动定律，大意了，抱歉。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-22 09:45 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-2-22 09:43:40

一楼的问题可以转换成，三阶复原状态保持角块不变，所有棱块保持相对位置和色向关系不变，进行魔方内的独立整体转动是否可行。

作者: 乌木 时间: 2008-2-22 10:47:24 标题: 回复 11# 的帖子

不能一概而论吧？大概要看如何旋滚法。棱簇的整体旋滚态有不少还是存在的。比如：
 
 棱簇整体旋滚三例.GIF

问题是如何一揽子排除不可能态，留下可能态，就是上面我不会算的24×24 / X 。是吗？

[ 本帖最后由乌木于 2008-2-22 10:57 编辑 ]

附件: 棱簇整体旋滚三例.GIF (2008-2-22 10:48:03, 10.57 KB) / 下载次数 74
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTI5NjZ8Y2E5N2ZmNzR8MTc2MjI0OTM2NHwwfDA%3D

作者: pengw 时间: 2008-2-22 11:05:57

乌兄,你又被着色给骗了,用puzzle再试,看看变换前一个面的棱块的编号关系,变换后再看,哈哈哈.不要对自已的眼睛太自信哦.
 
很简单,棱簇整体转,二表层要分别进行一次四元置换,所有角块可以退回原位,中层的棱块也要进行一次四元置换,而中层的独立四元置换是不可能的,所以棱簇不可以以90度为单位进行滚转。但是，二表层转180度，中层四棱块进行二次四元置换是充许，因此中棱块簇只能以180度为单位进行独立滚转。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-22 13:15 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-2-22 13:24:53

好，我用Puzzler全色三阶进行棱簇整体旋滚，结果如下图。其中中心块组的变化不算扰动态，我也懒得去纠正中心块了。那棱簇整体旋滚得蛮好的嘛，为何棱簇不能整体旋滚呢？
 
 棱簇整翻.GIF

附件: 棱簇整翻.GIF (2008-2-22 13:24:53, 38.92 KB) / 下载次数 70
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTI5NzB8YzY3Mjc2MmJ8MTc2MjI0OTM2NHwwfDA%3D

作者: pengw 时间: 2008-2-22 14:32:15

解释你的第二图，X轴方向左手螺旋转90度，z轴方向左手螺旋转90度，这是一个充许的中棱簇独立转动
解释你的第四图，X轴方向左手螺旋转90度，z轴方向右手螺旋转90度，这是一个充许的中棱簇独立转动
 
如果从始态开始，何不试试让中棱簇挠任意轴转90度的情况？说不定这还真是N阶定律的反证哦，试试哪转动是不充许的，为什么？
 
能不能构造下面的棱簇整体独立转动？如果可以，请给出公式。
 
U面四棱块在F，B面四棱块在U，D面四棱块在B，F面四棱块在D，左四棱在L，右四棱在R，角块中心块保持基态

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-22 14:50 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-2-22 14:36:38

换一句话说，角簇与棱簇的整体转动可以随意搭配吗？为什么？提示，可以用N阶定律解释。

作者: pengw 时间: 2008-2-22 14:53:25

这些讨论够足以构造一个简单且非常实用的簇整体变换规则，当然这个规则只是N阶定律的一个推论。谁愿意试着归纳。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-22 15:04 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-2-22 16:19:47

“U面四棱块在F，B面四棱块在U，D面四棱块在B，F面四棱块在D，左四棱在L，右四棱在R，角块中心块保持基态。”此态不存在，因为要求棱簇作三个四棱轮换环，而角簇和中心块簇不变，据魔方变化规律是不可能的。
可见，要求魔方之变化的最后效果为棱簇的整体旋滚的话，有的可能，有的不可能。各自是怎么样的运动，我说不出。

作者: pengw 时间: 2008-2-22 16:56:37

回答很妙，用他的矛刺他的盾，哈哈哈，最后一招，用N阶定律关于状态的约束也可以回答，哈哈哈。如果：
“U面四棱块在D，B面四棱块在F，D面四棱块在U，F面四棱块在B，左四棱在L，右四棱在R，角块中心块保持基态。”又如何？
 
据这些变换规律，换心图有几个？

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-22 16:58 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-2-22 17:43:34

“U面四棱块在D，B面四棱块在F，D面四棱块在U，F面四棱块在B，左四棱在L，右四棱在R，角块中心块保持基态。”这个态则棱簇发生了6个两棱互换，且互换后棱簇的色向和为0，角和中心块没变，所以此态存在。

作者: pengw 时间: 2008-2-22 18:52:52

归根到底还是状态定律在支配，哈哈哈。能不能将这种性质用一句话归纳出来？

作者: pengw 时间: 2008-2-22 18:59:20

四阶边棱块簇是不是可以随意独立打滚？哈哈哈，最近好象流行写书出版，乌兄总结一下，拿到杂志上去发表，免我等白费口舌。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-22 23:11 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-2-22 23:51:14

好像四阶的棱簇可以整体旋滚，试了几种情况（见下图），都可以复原。不知有无不能复原的情况？不应该24种情况都试，但四阶的有关理论不知道。等着分享别人的分析吧。
 
 棱簇整翻－4阶.GIF

附件: 棱簇整翻－4阶.GIF (2008-2-22 23:51:14, 13.5 KB) / 下载次数 94
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTI5ODN8N2JhZmYwYjZ8MTc2MjI0OTM2NHwwfDA%3D

作者: pengw 时间: 2008-2-23 09:13:33

四阶纯色最大的问题是看不出心棱块簇（C1簇）的归位情况，只知道同色的都在一起。由于B1簇一个90度滚转等价六个四元置换，所以B1簇可以独立滚转，不用去试24。上楼实际上是四阶降三阶的百合花。大面积的的相邻块整体滚动构图，是一些最富媚力的图案的真正成因。不管怎么说，牢牢把握住状态定律的约束，一切变换的解释都不是问题。

作者: pengw 时间: 2008-2-23 09:15:51

显然，偶阶魔方每一个簇都可以独立滚转。上述贴子的示例中，大家要明白一个概念，什么是簇变换什么是魔方变换。什么是簇状态什么是魔方状态，这就是为什么说：没有簇概念的最小步理论是极其可笑的原因。从状态描述，公式循环周期计算，状态数计算等等问题的讨论，哪一个离得开簇变换讨论，魔方不是装在麻袋中的货物，有些人就是一“坨”的概念

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-23 09:38 编辑 ]

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