魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 几何题1 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 12:02:05 标题: 几何题1

设P为△ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC、AC所在直线的对称点分别为P[sub]1[/sub]、P[sub]2[/sub]．求证：直线P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub]经过△ABC的垂心H.
QQ截图未命名.jpg

附件: QQ截图未命名.jpg (2010-9-16 12:02:05, 19.61 KB) / 下载次数 94
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTEyMTIzfGE2ZDQzMTM1fDE3NjE4ODg1NTR8MHww

作者: chuchudengren 时间: 2010-9-16 13:57:04

这么多题，这个就是西姆森线的性质，以前看过证明所以大概复述下。
做PQ1垂直BC于Q1， PQ2垂直AC于Q2，AH延长交BC与D，圆于E。连Q1Q2,PE交与F，PE交BC与G，连HG，PB
<;PQ1Q2=<ABP=<AEP=Q1PE, so FQ1=FP,so F 为PG中点，<;PFQ2=2<AEP=<;PGH（易知HD=DE），所以GH平行Q1Q2，所以PH被Q1Q2平分，此等价于原命题。

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-9-16 14:43 编辑 ]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 14:32:55 标题: 回复 2# 的帖子

你重新看一下字母，P[sub]1[/sub]和P[sub]2[/sub]是已知的点，改一下吧

[ 本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-9-16 14:34 编辑 ]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 17:03:17

∠PQ[sub]1[/sub]Q[sub]2[/sub]=∠ABP？？？？？
第一步就没有看懂
QQ截图未命名.jpg

[ 本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-9-16 17:13 编辑 ]

附件: QQ截图未命名.jpg (2010-9-16 17:13:35, 21.53 KB) / 下载次数 75
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTEyMTU4fGFmOTUwMWVkfDE3NjE4ODg1NTR8MHww

作者: superacid 时间: 2010-9-16 17:09:41

∠PQ1Q2=∠ACP=∠ABP
两个四点共圆

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 17:15:03 标题: 回复 5# 的帖子

嗯，谢谢，继续看后面的证明……

作者: superacid 时间: 2010-9-16 17:17:30

chuchudengren学长好厉害啊，平面几何功力如此之强，我早已颓废

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 17:22:23

∠PFQ[sub]2[/sub]=2∠AEP=∠PGH（易知HD=DE）
这里，点G为PE和BC的交点，但点G是否在P[sub]1[/sub]P[sub]2[/sub]上，需要证明吧？

作者: chuchudengren 时间: 2010-9-16 17:44:15

我似乎没有用到G在P1P2 上吧，我只是证的PH 中点在Q1Q2上。当然G确实在P1P2上。

回BQ，这是我看到过的证明，非我自己之力，谈何平几功力，惭愧。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 18:20:07

HD=DE是怎么证明的？另外，你这个命题和题目的结论有什么关系？请说一下

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 18:26:21

嗯，HD=DE的证明已经明白了，但是结论的关系是怎么的？

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 19:04:17

转一个网络牛人的解答：
1.证明：延长AH，交BC于D，交圆于E，延长BH，交AC于G，交圆于M，连接PP[sub]1[/sub],PP[sub]2[/sub],BE,PE,PM,AM,
由∠EBD=∠EAC=∠HBD，且BD⊥GE，得出HD=DE，即BC垂直平分HE，又BC垂直平分PP[sub]1[/sub]，故P[sub]1[/sub]H,BC,PE交于一点F，
同理PM,AC,P[sub]2[/sub]H交于一点N，故∠P[sub]1[/sub]HE=∠FEH=∠PMA=∠AHP[sub]2[/sub]，故P[sub]1[/sub],H,P[sub]2[/sub]三点共线，即结论成立.
QQ截图未命名.jpg

附件: QQ截图未命名.jpg (2010-9-16 19:04:17, 23.65 KB) / 下载次数 49
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTEyMTU5fGEzM2ViODNmfDE3NjE4ODg1NTR8MHww

作者: chuchudengren 时间: 2010-9-16 21:05:49

这个结论不就是题目吗，Q1Q2是三角形PP1P2的中线，PH中点在中线上，H自然是在对边上。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 21:14:20 标题: 回复 13# 的帖子

嗯，明白了，谢谢，再想一下我发的其他题目，好吗？

作者: tm__xk 时间: 2010-9-17 00:52:07

这不是某个史坦纳定理吗..
Simson线平分点和垂心的连线段..

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)