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标题: 几何题4 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-16 13:27:11 标题: 几何题4

⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于P、Q，两对角线相交于R．试证：圆心O恰为△PQR的垂心.
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作者: chuchudengren 时间: 2010-9-16 14:08:47

这题简单，极线的问题，以前你的题里我证过Q是PR极点的。

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-9-16 14:27 编辑 ]

作者: 淘淘牛01 时间: 2010-9-16 14:26:45

都还给老师了~~~

作者: aircheng 时间: 2010-9-16 15:27:24

目测，LZ的准确图看以看出：O恰为△PQR的垂心！
开开玩笑，先想想。

作者: 录 时间: 2010-9-16 19:14:36

我想問一下什麼是極線啊？最近有在看一些幾何的書..唉..幾何太爛了..

作者: Cielo 时间: 2010-9-16 21:35:12

原帖由 chuchudengren 于 2010-9-16 14:08 发表
这题简单，极线的问题，以前你的题里我证过Q是PR极点的。

话说你选马翔的几何学了啊

原帖由录于 2010-9-16 19:14 发表
我想問一下什麼是極線啊？最近有在看一些幾何的書..唉..幾何太爛了..

是“配极”的方法，从“反演”的概念引申出来的，我也记不太清了

作者: superacid 时间: 2010-9-16 22:08:41 标题: 回复 6# 的帖子

你们现在是不是师生关系了...

作者: tm__xk 时间: 2010-9-17 00:50:53

自共轭三角形..
非要等差幂线算的话..我真的已经懒得写了....
lz可怜可怜吧..

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-28 10:39:00

经人指点之后的证明：
QQ截图未命名.jpg

过A,C,Q三点作圆，交QR延长线于E，其他辅助线如图，
则∠REC=∠RAB=∠RDC，故D,E,R,C四点共圆，
设圆O的半径为r，则由圆幂定理有：
QR*QE=QC*QD=QO[sup]2[/sup]-r[sup]2[/sup]…………①
RE*RQ=RA*RC=r[sup]2[/sup]-RO[sup]2[/sup]…………②
再结合RQ=QE-ER，①+②得出QO[sup]2[/sup]-QE[sup]2[/sup]=RO[sup]2[/sup]-RE[sup]2[/sup]
于是∠OER=90°，即QR⊥OE，
又∠OEA=270°-∠AEQ=270°-∠ACQ，
∠ADO+∠ACD=∠ADO+∠DOF=90°，且∠ACD+∠ACQ=180°，
因此∠ADO+∠OEA=90°-∠ACD+270°-∠ACQ=360°-(∠ACD+∠ACQ)=180°，
因此D,A,E,Q四点共圆，记为圆S，同理，连接EB,OC，有B,C,O,E四点共圆，记为圆T，
因此圆O,S,T两两相交，且DA交CB于P，由等幂线性质知，OE延长线过点P，于是O,E,P三点共线，
故得出QR⊥OP，同理得出PR⊥QO，于是点O为三角形PQR的垂心.

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作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-28 10:40:09

，又解决了一道题……

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