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标题: 証明26是唯一夾在平方數和立方數之間的正整數 [打印本页]

作者: xb27 时间: 2010-9-24 01:32:36 标题: 証明26是唯一夾在平方數和立方數之間的正整數

之前忘了聽誰講過這個問題

就是26夾在5^2和3^3

是唯一夾在平方和立方之間

不知如何証明

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-24 02:19:09

沙发……，坐坐看，有难度的数论题目

作者: 耗子哥哥 时间: 2010-9-24 08:32:40

来个思路吧：求证x^2-y^3=2无整数解，以及X^3-y^2=2只有一组整数解。如果能证明这个，就能证明你这个命题。

当然，如果找到一组整数解，就证伪了这个命题。

作者: aircheng 时间: 2010-9-24 09:12:31

原帖由 耗子哥哥 于 2010-9-24 08:32 发表
来个思路吧：求证x^2-y^3=2无整数解，以及X^3-y^2=2只有一组整数解。如果能证明这个，就能证明你这个命题。

当然，如果找到一组整数解，就证伪了这个命题。

耗子兄的思路可能用编程能弄出呢，会编程的同学可以试试。

作者: superacid 时间: 2010-9-24 09:17:19

此命题貌似为真命题
若为真证明需要高等知识，本人表示不会
若为假则x,y都非常非常大，不管怎么样也要比三阶魔方变换总数大多了
3楼扯淡

作者: 耗子哥哥 时间: 2010-9-24 09:37:43

不知道找个特例算不算？
-1^3=-1，1^2=1，这两个数之间的0也是“夹在平方数和立方数之间的数”。
如果你认可这个特例，那你的命题就证伪了。

作者: Wealls 时间: 2010-9-24 09:44:07

7楼正解。
lz没有给定数集定义。

作者: znf2 时间: 2010-9-24 09:53:15

看来楼主少了个自然数的条件

作者: schuma 时间: 2010-9-24 10:13:55

这里有个证明，不长，只有三页
http://www.normalesup.org/~baglio/maths/26number.pdf

作者: Pk锋 时间: 2010-9-24 10:16:25 标题: 回复 5# 的帖子

凌晨脑袋不好使啊....

作者: qazoqazkqazm 时间: 2010-9-24 10:40:37 标题: 回复 9# 的帖子

谁能够翻译一下啊！我也想知道答案！话说这是什么年级出的题目啊？那么挂三！

作者: Cielo 时间: 2010-9-24 12:00:05 标题: 回复 9# 的帖子

确实不长，就是不知道我看不看得懂……

作者: Paracel_007 时间: 2010-9-24 18:08:14

看完证明果断表示不会。。。

作者: aircheng 时间: 2010-9-24 18:12:53

那个证明好像用到了虚数呢，看见有i的

作者: chuchudengren 时间: 2010-9-24 19:38:17

简单翻译一下，我没学过抽象代数和数论，翻译可能不太准确。
证明y³－x²=2有唯一解。
1. x,y都是奇数。因为若x是偶数，y³≡x²+2≡2（mod4)，y为偶数，y³≡0（mod4）矛盾。故x，y为奇数。
2.一个环称为唯一因子分解整环，如果它是没有零因子的交换环，而且每一个元素可以唯一的（不考虑顺序）分解成不可约元的乘积。
考虑唯一因子分解整环Z[i√2]={a+bi√2,(a,b)∈Z²}（据数学方向某同学说是先证明是欧式环，所以就是唯一因子分解整环）
gcd(x+i√2,x－i√2)=gcd(x+i√2, 2i√2)=gcd(x+i√2,(i√2)³) P.S. gcd是最大公约数
i√2是不可约的，如果假设i√2|(x+i√2),则x+i√2=i√2*(a+b√2),∴a=1,x=-2b为偶数，矛盾
∴(x+i√2)∧i√2=1, (x+i√2)∧﹙x－i√2﹚=1
唯一因子分解x + i√2= z1z2...zn , x-i√2 = ¯ z1 ¯ z2... ¯ zn    (¯ z1 为z1的共轭，弄不了上划线）
因为最大公因子为1，zi≠ ¯ zj  而y³=(x+i√2)(x-i√2)，所以zi出现三次，所以存在（a,b)∈Z²
x+i√2=(a+bi√2)³ ∴b(3a²-2b²)=1,b=1,a=±1(b=-1时a无整数解）  x+i√2=±5＋i√2, 所以x=5，所以y=3

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-9-24 20:04 编辑 ]

作者: kattokid 时间: 2010-9-24 22:32:08

耗子哥哥数学也很强啊！

作者: superacid 时间: 2010-9-25 02:36:15

证明用Z[isqrt(2)]很巧妙啊

作者: 耗子哥哥 时间: 2010-9-25 19:18:04

原帖由 kattokid 于 2010-9-24 22:32 发表
耗子哥哥数学也很强啊！

　　只是有点思路而已，要我证明还真证不出来。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-9-26 00:54:43 标题: 回复 9# 的帖子

这个证明方法很弓虽！

作者: gqc294981 时间: 2010-9-26 01:09:41 标题: 回复 6# 的帖子

7楼错误，题中说的是正整数

作者: xb27 时间: 2010-9-29 08:36:06

哇，魔友們果然厲害

我都看不懂，可能要慢慢研究

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