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标题: 研究性课题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-10-1 16:35:23 标题: 研究性课题

代数方程与判别式
   在古典数学中，解方程基本上就是代数学的代名词，而判别式又是解方程中比较重要的概念。花拉子米的《代数学》比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理和解法，推动了代数学的发展。继一元二次方程以后，数学史上又出现了更高次代数方程的解法，其中比较著名的就是卡丹对于一元三次方程的解法。
   现在，我们将运用已有的知识，探索代数方程与判别式的一些基本理论。
1.基本假设
   变量x，y∈C， n，k∈R；常数a，b，c，d，p，q∈R
2.一元二次方程
2.1判别式
   已知一元二次方程：ax[sup]2[/sup]+bx+c=0(a≠0)，试探索下列问题：
(i)利用判别式讨论此一元二次方程根的情况。
(ii)设x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]是此一元二次方程的两根，试将判别式表示成仅含有x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]和a的代数式。
2.2韦达定理
   韦达定理的推广形式是代数方程理论中最重要的定量之一，它建立了任意多项式根与系数之间的的关系，其具体表现形式如下：
   设多项式f(x)=x[sup]n[/sup]+a[sub]1[/sub]x[sup]n-1[/sup]+……+a[sub]k[/sub]x[sup]n-k[/sup]+……+a[sub]n[/sub]。根据代数基本理论，当f(x)=0时，假定其所有的复数根为x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]，……，x[sub]n[/sub]。那么，韦达定理的推广形式可以被表述为：
1道题.gif

(iii)叙述并证明当n=3时韦达定理的推广形式。
3.一元三次方程
3.1恒等变换
   数学史上，一元三次方程有着十分重要的地位。文艺复兴时期，意大利的数学家塔塔里亚发现了一元三次方程的求根公式，并在与菲奥里的公开学术论战中一举成名。但塔塔里亚的成果最终却被米兰的医生卡丹所窃取。随后，一元三次方程的求根公式被命名为卡丹公式，一直流传至今。
   已知一元三次方程：x[sup]3[/sup]+bx[sup]2[/sup]+cx+d=0，试探索下列问题：
(iiii)对于上述一元三次方程，证明：它总可以化为x[sup]3[/sup]+px+q=0的形式。
3.2判别式
   判别式对于代数方程的根有着重要的判定作用，下面给出代数方程判别式的定义：一般地，对于代数方程：x[sup]n[/sup]+a[sub]1[/sub]x[sup]n-1[/sup]+……+a[sub]k[/sub]x[sup]n-k[/sup]+……+a[sub]n[/sub]=0，假定其所有的复数根为x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]，……，x[sub]n[/sub]，那么此方程的判别式为：

(iiiii)计算一元三次方程x[sup]3[/sup]+px+q=0的判别式，并利用判别式讨论方程根的情况。
4.问题总汇
(i)利用判别式讨论此一元二次方程根的情况。
(ii)设x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]是此一元二次方程的两根，试将判别式表示成仅含有x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]和a的代数式。
(iii)叙述并证明当n=3时韦达定理的推广形式。
(iiii)对于上述一元三次方程，证明：它总可以化为x[sup]3[/sup]+px+q=0的形式。
(iiiii)计算一元三次方程x[sup]3[/sup]+px+q=0的判别式，并利用判别式讨论方程根的情况。

[ 本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-10-2 21:46 编辑 ]

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作者: 不吃鱼的猫 时间: 2010-10-1 16:41:02

好、、烦、、
作为一个初中生、、偶只想抢sf

作者: Cielo 时间: 2010-10-1 16:42:12

老师上课讲过的，还有四次方程能转化为三次的，所以也有求根公式，可惜具体我都不记得了

作者: 不吃鱼的猫 时间: 2010-10-1 16:53:02 标题: 回复 2# 的帖子

其实，仔细看看还是挺简单的、
四次方程？记得以前老师有给我布置这个作业,,狂写了一个晚上、、

作者: superacid 时间: 2010-10-1 17:44:56 标题: 回复 3# 的帖子

话说五次方程没有求根公式的证明在哪里可以找到呢？

作者: superacid 时间: 2010-10-1 17:45:12

题目把它一步一步都告诉你了，你一步一步做就可以了

作者: Cielo 时间: 2010-10-1 18:44:57

原帖由 superacid 于 2010-10-1 17:44 发表
话说五次方程没有求根公式的证明在哪里可以找到呢？

你们学抽象代数应该会讲到吧？

不过我们当时的老师自己不懂就没讲……

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