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标题: 兩條証明題 [打印本页]

作者: 骰迷 时间: 2010-12-18 18:09:54 标题: 兩條証明題

剛去參加數學測試，發兩道試題：
1.已知若w是無理數，則根號w以及aw+b(a,b為非零有理數)皆為無理數。若根號二，根號三，根號六都是無理數，証明：根號二、根號三、根號六的和是無理數。
2.梯形ABCD,AB//DC，AD=AB+CD。線EA平分角A，線ED平分角D。証明：E點落在BC上，並且BE=EC。（應該沒記錯吧）

作者: OCs 时间: 2010-12-18 18:42:11

第二题：你会发现ＡＤ与BC中点共圆，而∠EAD+∠EDA=90，所以。。

作者: OCs 时间: 2010-12-18 18:43:42

不对，还没郑出来，囧了

作者: 骰迷 时间: 2010-12-18 18:45:55 标题: 回复 2# 的帖子

其實只要証出來頭部分就好，証BE=EC還是滿簡單

作者: Paracel_007 时间: 2010-12-18 19:17:22

第1题前半部分用逆否命题证。。。

作者: Xwam 时间: 2010-12-18 19:23:45

第二个题还是好证一些的
在AD上取点F使AF=AB，连接BF,CF,EF,BE,EC
则因为AD=AB+DC，所以DF=DC
所以三角形ABF和三角形DCF为等腰三角形
则DE垂直平分CF，AE垂直平分BF，即BE=EF=EC，----------------------------5
可证三角形AFE全等于三角形ABE，三角形EFD全等于三角形ECD
则角ABE=角AFE，角EFC=角ECD
而角AFE+角EFD=180度，--------------1
即角ABE+角DCE=180度----------------2
又因为角ABE+角BAF+角AFE+角BEF=360度
角EFD+角FDC+角DCE+角CEF=360度
即角ABE+角BAF+角AFE+角BEF+角EFD+角FDC+角DCE+角CEF=720度--------------3
且角BAF+角FDC=180度-----------------4
将1,2,4代入3可得角BEF+角CEF=180度
即E在直线BC上，且由5知，BE=EC
证明完毕。

作者: Xwam 时间: 2010-12-18 19:26:31 标题: 回复 5# 的帖子

前半部份貌似是已知的，不用证。。。。
第一题没找到什么好方法的说。

作者: Xwam 时间: 2010-12-18 20:04:50

第一题也搞出来了，算了半天

若(√6+√3+√2)是有理数
则(√6+√3+√2)^2=11+2*(√6+√3+√2)+2*(√3+2√2)也是有理数
即(√3+2√2)也是有理数

而(√3+2√2)^2=11+4√6为无理数
则由题知(√3+2√2)为无理数

所以，矛盾，即假设不成立。
即(√6+√3+√2)为无理数
此题得证~

作者: Cielo 时间: 2010-12-18 20:18:17

第二题，过 E 作 B'C' 平行于 BC 可以吗？

作者: 骰迷 时间: 2010-12-18 20:46:53 标题: 回复 6# 的帖子

1.小錯:第七行'则角ABE=角AFE，角EFC=角ECD'應為'角EFD=角ECD'
2.用鄰角相加為180度証直線,從而証兩線重疊.學習了

作者: 骰迷 时间: 2010-12-18 20:54:00 标题: 回复 8# 的帖子

原來是我自己傻,沒把(√6+√3+√2)^2化簡.....

作者: Xwam 时间: 2010-12-18 21:01:26 标题: 回复 10# 的帖子

抱歉，打的时候看串了，sorry啊~~

作者: Cielo 时间: 2010-12-19 00:54:10

囧，没人评价下9楼的解法么，我觉得没啥问题吧……

易知 E 是 B'C' 中点，且 AD = AB' + C'D，
所以 B'=B, C'=C.

作者: superacid 时间: 2010-12-19 01:04:25 标题: 回复 13# 的帖子

看到对了就懒得评价了

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