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标题: geslon系列难题之二：电子秤称小球问题 [打印本页]

作者: geslon 时间: 2008-3-21 11:45:22 标题: geslon系列难题之二：电子秤称小球问题

用天平称小球大家都做过不少，这里有一个另类的，用电子秤。
 
有15个小球，除了一个重量不同，其他都相同。
用电子秤，4次称量，告诉我异常球是谁，而且重量是多少。

作者: 林弯灰 时间: 2008-3-21 12:17:09

秤的出来，，，但是怎么会知道重量的？？？

作者: geslon 时间: 2008-3-21 12:43:58

电子秤有读数的哦。

你可以假设第一次称量结果为m,等等。

作者: mosquito073 时间: 2008-3-21 13:56:40

偶5次可以，四次不知道怎么去称

作者: geslon 时间: 2008-3-21 19:54:43

5次的抛个砖出来吧。

作者: geslon 时间: 2008-3-24 23:58:56

有愿意做这道题的么？

作者: geslon 时间: 2008-3-28 00:46:35

顶上来求解。怎么没有人回答呢？

作者: Tain 时间: 2008-4-1 14:46:12

不是不愿做,实在是太难了,只好=答案了

作者: ggglgq 时间: 2008-4-3 12:14:16

          貌似可以解决 13 以下（含 13 ）个小球。 15 个小球的问题不知道如何解决！ 愿闻其详！

作者: geslon 时间: 2008-4-3 17:50:31

谢谢13个的答案。13个很不容易的。可不可以列出，供其他人改进？谢谢。

作者: ggglgq 时间: 2008-4-3 19:32:14

            下面给出 13 个小球的一种思路，画图太麻烦，用文字简单表述：       设正常球重量为 x ，异常球的重量为 y 。       把  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  个球分为 4 组：               (1 2 3 4) (5 6 7 8) (9 10 11 12) (13)           第一次称：(1 2 3 4) (5 6 7 8)  重量为  a （a=8x 或 a=7x+y），         第二次称：(5 6 7 8) (9 10 11 12)  重量为  b （b=7x+y 或 b=8x ）  ，         如果 a = b ，则异常球在  (5 6 7 8)  (13) 中；       否则，异常球在  (1 2 3 4) (9 10 11 12) 中。          1、如果 a = b ，则异常球在  (5 6 7 8)  (13) 中：             第三次称：(5 6)  重量为  c  （c=x+y 或 c=2x ），                    如果 c = a / 4 则 (13) 为异常球，第四次直接称 (13) 的重量。                       否则 第四次称 (1 6 7)  重量为  d  （d=2x+y 或 d=3x ），                            列出关于 x 、y 的两个方程（a、d 为常数的两个），解之，                   代入（c=x+y 或 c=2x ）检验，便可得出满足（c=x+y 或 c=2x ）                  之一的 x 、y 值。从而确定异常球在 (6 7) 或 (5 8) 中。                            2、如果 a 与 b 不等，则异常球在   (1 2 3 4) (9 10 11 12) 中：           第三次称：(3 4 9 10)  重量为  d  （d=3x+y 或 d=4x ），           列出关于 x 、y 的两个方程（a、b 为常数的那两个），解之，           代入（d=3x+y 或 d=4x ）检验，便可得出满足（d=3x+y 或 d=4x ）之一         的 x 、y 值。从而确定异常球在 (3 4) (9 10) 或 (1 2) (11 12) 中，           假设异常球在 (m n) 中，第四次称 (m n) 中的某一个球的重量。      

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-4-9 18:56 编辑 ]

作者: xxhgnxx 时间: 2008-4-5 20:27:26

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作者: xxhgnxx 时间: 2008-4-5 21:07:14

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作者: xxhgnxx 时间: 2008-4-6 17:33:44

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作者: geslon 时间: 2008-4-6 21:45:12

回答楼上。是那样的电子秤。
坏球必须被称过，是对的。
但是最后一次是称一个等几个推论，却不一定吧。

另外，多谢11楼不厌其烦提供13个球的称量思路，完全正确！如果进一步优化方案，应该可以称到14乃至15个球。

作者: hw294 时间: 2008-4-8 12:23:03

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作者: geslon 时间: 2008-4-8 23:56:10

题目确实只告诉重量不同

作者: hw294 时间: 2008-4-9 13:08:42

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作者: ggglgq 时间: 2008-4-9 14:47:58

           这种方法我也考虑过，是一个不错的方法！          但   求和为 8x 、7x+y ，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10"> 貌似每次只能取 8 个球？！     
<HR>
             看来每次的取法（个数）也是关键！

作者: Tain 时间: 2008-4-9 16:21:58

11楼称13球的方法有点疑问: 
其中第一种情况下的第2种情况,及a=b且c不=a/4的时候,方法中说的是列出两个方程再检验c=2x还是x+y 
可是是哪两个方程呢? 
似乎只有a=b=7x+y这一个啊,那样如何能解出x和y? 
希望11楼或楼主能解释一下   
<HR>

            谢谢您的指正，错误已经更正。      ggglgq  回复          

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-4-9 18:56 编辑 ]

作者: hw294 时间: 2008-4-9 17:09:00

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作者: geslon 时间: 2008-4-10 08:07:44

大家好，我是楼主。谢谢大家认真参与，多谢!!! 
 
说明：此题目为本人原创，但是似乎在网上有流传15球中电子秤找坏球，但不必知道坏球重量的题目。那个题目简单一点。第一次1-8称8个球，第二次5-11称7个球就可以解决。 
 
本题要难一点。首先，每个球必须称到，原则上是对的，但也不一定，举例说明：假设第一次称1-8号球，第二次5-12号球，两次都是8个，但是称出的重量不同，所以13-15号球三个没有嫌疑，就不必称量了吧。 
其次，前两次一定共要称量至少12个球，余下3个最后两次刚好能分辨。 
第三，前两次重复的球不能超过4个，否则剩下两次机会无法分辨。 
 
所以答案呼之欲出了：我这里先提示下，大家继续讨论。
第一次，1-8号。
第二次，5-12号。
第三次第四次该如何？请大家继续思考。 
 
此题甚有趣，我觉得非常有助于锻炼逻辑思维。

[ 本帖最后由 geslon 于 2008-4-10 08:09 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 08:16:00

原帖由 hw294 于 2008-4-9 13:08 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=109960&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
哦，那我昨天想到的方法就不行。刚才把昨天想到的整理了下，放在下面，希望有人能够改进。
 
 
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/images/Beijing2008/attachimg.gif" border=0> <IMG onmouseover="attachimginfo(this, 'attach_14666', 1);attachimg(this, 'mouseover')" onmouseout="attachimginfo(this, 'attach_14666', 0, event)" alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0804/20080409_372308cb8bc7853e9cfe6j8YdOJlucnZ.jpg" onload="attachimg(this, 'load')" border=0>

按照 18 楼 hw294 提供的方法（如果题目给出异常球比其他球重了还是轻了）， 好象能确定异常球的位置，但不能（完全）确定异常球重量！（比如 15 号球）

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 08:16:45

            按照 18 楼  hw294 的方法，下面给出 15 个小球中确定异常球的一种方法 （题目必须给出异常球比其他球重了还是轻了）：           第一次称：( 1  3  5  7  9  11  13  15 ）        第二次称：( 2  3  6  7  10  11  14  15 ）          第三次称：( 4  5  6  7  12  13  14  15 ）          第四次称：( 8  9  10  11  12  13  14  15 ）                但是，此方法仍然不能（完全）确定异常球的重量！（比如 15 号球）

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 08:20:06

原帖由 geslon 于 2008-4-10 08:07 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=110302&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
所以答案呼之欲出了：我这里先提示下，大家继续讨论。
第一次，1-8号。
第二次，5-12号。
第三次第四次该如何？请大家继续思考。

呵呵，和我前两次一样啊！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/shocked.gif" border=0 smilieid="6">

作者: geslon 时间: 2008-4-10 08:39:25

关键是题目不说异常球是偏重还是偏轻。

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 11:18:19

        ========此解答可以作为思路，但细节有待完善，请大家参考 hw294 的解答========            下面给出 15 个小球的一种思路，画图太麻烦，用文字简单表述：       设正常球的重量为 x ，异常球的重量为 y 。       把  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 个球分为 5 组：               (1 2 3 4) (5 6 7 8) (9 10 11 12) (13 14) (15)           第一次称：(1 2 3 4) (5 6 7 8)  重量为  a （a=8x 或 a=7x+y），         第二次称：(5 6 7 8) (9 10 11 12)  重量为  b （b=7x+y 或 b=8x ）  ，         如果 a = b ，则异常球在  (5 6 7 8)  (13 14) (15)  中；       否则，异常球在  (1 2 3 4) (9 10 11 12) 中。          1、如果 a = b ，则异常球在  (5 6 7 8)  (13 14) (15)  中：                 第三次称：(5 6 13 14)  重量为  c  （c=3x+y 或 c=4x ），             如果 c = a / 2 ，则 (15) 为异常球，第四次直接称 (15) 的重量。                 否则 第四次称 (1 5 7 13)  重量为  d  （d=3x+y 或 d=4x ），                  列出关于 x 、y 的两个方程（a 、c 为常数的那两个），解之，               代入（d=3x+y 或 d=4x ）检验，便可得出满足（d=3x+y 或 d=4x ）之一             的 x 、y 值。从而确定异常球在  (13 14)、(5 6)  或 (7 8)  中。              2、如果 a 与 b 不等，则异常球在   (1 2 3 4) (9 10 11 12) 中：           第三次称：(3 4 9 10)  重量为  d  （d=3x+y 或 d=4x ），           列出关于 x 、y 的两个方程（a、b 为常数的那两个），解之，           代入（d=3x+y 或 d=4x ）检验，便可得出满足（d=3x+y 或 d=4x ）之一         的 x 、y 值。从而确定异常球在 (3 4) (9 10) 或 (1 2) (11 12) 中，           假设异常球在 (m n) 中，第四次称 (m n) 中的某一个球的重量。   ========此解答可以作为思路，但细节有待完善，请大家参考 hw294 的解答========          

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-4-10 13:59 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 11:21:33

              嗯，按照上面的这种方法，如果不考虑求异常球的重量，完全可以确定出  16 个球中的异常球  ！   好帖子，加精固顶了！

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 11:22:39

          大家现在可以思考如何解决：         如果不考虑求异常球的重量，如何确定出 15 个以上球中的异常球  ！

作者: hw294 时间: 2008-4-10 11:48:10

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作者: hw294 时间: 2008-4-10 11:50:35

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作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 12:06:26

原帖由 hw294 于 2008-4-10 11:48 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=110337&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>      
这样的话5号球和13号球是异常球时从结果上看将无法区分<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">

能区分的<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">。咱俩的方法是一样的！请你再仔细考虑一下！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">

作者: hw294 时间: 2008-4-10 12:16:03

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作者: dzp 时间: 2008-4-10 12:21:52

值得去探讨的一个问题呀

作者: ggglgq 时间: 2008-4-10 13:58:08

            嗯，原来误以为        5 号是异常球时结果分别是 7x+y，7x+y，3x+y，3x+y        13 号是异常球时结果分别是 8x，8x，3x+y，3x+y         就能区分“异常球”！晕了，还是 hw294 心细！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> 不知道咱们的解答还有问题吗？ 这就全权交给 hw294 了！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17">                    这个问题如果解决了，请大家继续思考如何解决：         如果不考虑求异常球的重量，如何确定出 15 个以上球中的异常球  ！ 那么此时最多可以确定多少个小球中有异常球  ！

作者: geslon 时间: 2008-4-10 23:50:02

大家讨论的有点意思了，再完善一下就好了。如果不要求知道重量，16球是极限。

作者: whitetiger 时间: 2008-4-15 08:17:06

我们把讨论的问题归结为： 若干小球质量相同，仅一个异常球质量不同。用电子秤称n次，最多肯定能从N个小球中找出这个异常球，并指出它的质量？ 指出异常球的质量，同时正常球的质量一般也就知道了。 考虑的是最坏情况，要求出N与n的关系。 记N=f(n)，求f。
 
先证引理，最后结论就自然出来了。大前提都是“若干小球质量相同，仅一个异常球质量不同。要找出异常球，并指出它的质量”。
 
P(n)：若知道正常球和异常球的质量，那么n次可以分辨2^n个小球。 方法么，用对分法，略。
P(n)=2^n
 
P'(n)：若知道正常球的质量，不知道异常球的质量，那么n次可以分辨(2^n)-1个小球。 第一次称2^(n-1)个小球。 若质量正常，那么问题归结到P'(n-1)； 若质量异常，即异常球在这2^(n-1)个小球中，那么问题归结到P(n-1)。 P'(1)=1。 P'(n)=2^n-1。
 
Q(n,m)：对于m组小球，异常球可能在任意一组；异常球在哪一组，都可确定正常球和异常球的质量。 第一次，对每组小球取一半来称，就可以知道异常球在哪一组，在哪一半（上秤的或未称的），正常球和异常球的质量是多少。【注1】 之后就归结到P(n-1)。 Q(n,m)=m×2^n。
 
Q'(n,m)：对于m组小球，异常球可能在任意一组；异常球在哪一组，都可确定正常球和异常球的质量，除了某个特殊组，只能确定正常球的质量。 同样对每组小球取一半来称，就可以知道异常球在哪一组，在哪一半（上秤的或未称的），正常球和异常球的质量是多少；当然因为某特殊组的存在，若异常球确定在该特殊组，只能知道正常球的质量。 对于其它组都归结到P(n-1)；对于特殊组归结到P'(n-1)。 Q'(n,m)=m×2^n-1。
 
【注1】Q系列命题未严格证明，每句话都只是“几乎”正确，应该说只是猜想。希望大家能给出严格证明。
 
Q（系列）命题可以看作是P（系列）命题的扩充。
 
回过来看原题目，4次称15个小球。
 
与天平不同，电子秤得到的信息更隐蔽，要多个数据验证才能得到明确的结果。
 
第一次，称a个球，得到质量aN，并不意味每个球的质量都是N。 第二次，称b个球，得到质量bN'。 若N=N'且a≠b，那么可以确定所有这些球都是正常的，质量为N； 若N=N'且a=b，那么有可能所有这些球都是正常的，质量为N；也有可能两次称量中重复的球中有异常球，他们的质量还是不清楚，需要更多次的称量才能确定；（这个可以得到Q(n,2)命题。） 若N≠N'，有三种可能：（1）aN=(a-1)x+y，bN'=bx；（2）aN=(a-1)x+y，bN'=(b-1)x+y；（3）aN=ax，bN'=(b-1)x+y。每种可能得到的(x,y)值都不一样。（这个可以得到Q(n,3)命题。）
 
称2次，可以把球分成4组：0组是两次都没称的，1组是第一次称第二次没称的，2组是第一次没称第二次称的，3组是两次都称的。 若2次称量，能确定称的都是正常球。根据P'(2)=3，0组最多3个球。 若2次称量，能确定称的球中有异常球。根据Q(2,3)，1、2、3组每组都是4个球。 问题是，这样2次都称了8个球（其中4个重复），结果要么是用了P'(2)，要么是用了Q'(2,2)，实际并未用到Q(2,3)。但这个也没关系，同样能解决问题，4次称15个小球。
 
具体的称法如下： 第一次，称1～8号球，得到质量8a。（质量以“球的数量”×“球的平均质量”的形式表示，有两个目的：一是为了减少之后的分数系数，方便计算；二是为了方便检验计算正确性，各种可能情况中，每个球的质量表示算式各系数之和均为1，n个球的质量表示算式各系数之和为n。） 第二次，称5～12号球，得到质量8b。
 
I）若b=a，意味着异常球只可能在5～8号球或13～15号球中。 第三次称5、6、13、14号球，得到质量4c。 i）若c=a，意味着称过的球都是正常球，15号球是异常球，第四次称15号球就知道它的质量也就是异常球的质量。 ii）若c≠a，意味着异常球在5～8、13、14的球中。若异常球是5或6号球，则正常球质量为(1/4)(8a-4c)=2a-c【注3】，异常球质量为4c-3(2a-c)=7c-6a；若异常球是7或8号球，则正常球质量为c，异常球质量为8a-7c；若异常球是13或14号球，则正常球质量为a，异常球质量为4c-3a。注意到，三种情况下，正常球与异常球的质量是不相同的。 第四次称5、7、13号球，得到质量D。 D有6种可能：（1）异常球是5号球，则D=2(2a-c)+(7c-6a)=5c-2a；（2）异常球是6号球，则D=3(2a-c)=6a-3c；（3）异常球是7号球，则D=2c+(8a-7c)=8a-5c；（4）异常球是8号球，则D=3c；（5）异常球是13号球，则D=2a+(4c-3a)=4c-a；（6）异常球是14号球，则D=3a。6种可能情况，D的值都不一样，能完全确定异常球及其质量。 （I是Q'(2,2)命题的实例。）
 
II）若b≠a，意味着异常球在1～4号球或9～12号球中。 若异常球在1～4号球中，则正常球的质量为b，异常球质量为8a-7b；若异常球在9～12号球中，则正常球的质量为a，异常球质量为8b-7a。注意到，两种情况下，正常球与异常球的质量是不相同的。 第三次称1、2、9、10号球，得到质量C。 C有4种可能：（1）异常球是1或2号球，则C=3b+(8a-7b)=8a-4b；（2）异常球是3或4号球，则C=4b；（3）异常球是9或10号球，则C=3a+(8b-7a)=8b-4a；（4）异常球是11或12号球，则C=4a。4种可能情况，C的值都不一样，能完全确定正常球和异常球的质量，并且知道异常球在哪2个球中间。第四次称其中1个球就能确定哪个是异常球了。 （II是Q(2,2)命题的一个实例。）
 
【注3】若c>2a，则这种情况就不存在，也就是异常球明显偏重时，更容易分辨。这个属于特殊情况，只会使问题更容易解决。同样的，对其它带减法的算式也可不考虑其正负。
 
对于称n次来从(2^n)-1个球中找出异常球并指出它的质量（n≥4）的问题，用类似上述的方法。
 
把(2^n)-1个球分成0～3号组，0号组有[2^(n-2)]-1个球，1～3号组都有2^(n-2)个球。 第一次称1、3号组，得到质量A；第二次称2、3号组，得到质量B。 若B=A，则意味着异常球在0、3号组中，应用Q'(n-2,2)命题。 若B≠A，则意味着异常球在1、2号组中，应用Q(n-2,2)命题。
 
问题1：是否有其它称法？能否称更多的球？ 回答： 对于n=4的情况，这个是唯一的方法。 对于n>4的情况，有其它的方法，但无法称更多的球。： 任选k，2≤k≤n-2。 把(2^n)-1个球分成0～[(2^k)-1]号组，0号组有[2^(n-k)]-1个球，1～3号组都有2^(n-k)个球。 第i次称组编号二进制表示中倒数第i位为1的组的所有球，1≤i≤k。 若k次得到的质量都相等，则应用Q'(n-k,2)命题；否则应用Q(n-k,(2^k)-1)命题。无法称更多的球。 不过，应用Q(n-k,(2^k)-1)命题时计算太复杂（尽管有规律），取k=2是最简单的称法。
 
问题2：对于n<4的情况，能称多少球呢？ 回答： n=1，特殊情况，认为唯一的球就是异常球，倒是仍满足(2^1)-1的公式。 n=2，无法分辨2球或3球的情况，还是只能分辨1球的特殊情况。 n=3，最多能分辨6球的情况。 
问题3：如果只要找出异常球，而不需要知道它的质量，那么可以秤多少个小球？
回答：
对P(n)命题，结论不变；对P'(n)命题，也可以做到称2^n个球；
同样的，对Q(m,n)命题，结论不变；对Q'(m,n)命题（它应用了P'(n)的结论），也可以做到称m×2^n个球。

[ 本帖最后由 whitetiger 于 2008-4-21 09:49 编辑 ]

作者: wjj293131 时间: 2008-4-17 22:01:55

第一次进入这个板块,
虽然我魔方速度不行,但这种题目我最擅长...喜喜...
这题目我做过,
先分别取5个球,让后放天平两端称,如果平衡则证明重的那个球不在这称过10个里头,
如果天平不平衡则说明那颗特别的球就在重的那端了,
接下来......
现在已经用了一次机会了,.现在把目标控制在5个球之中了,
这下方法多了,反正跟上面的想法是一样的了....
而且一共只需要3次..

作者: wjj293131 时间: 2008-4-17 22:04:02

看错题目了,
是电子称啊.....
不过思路还是一样的哦哦哦哦....
这下确实需要4次了!~

作者: purple 时间: 2008-4-17 22:11:28

我见过这种题目的一个公式，给出n（小球的数量），可知道至少称几次

作者: geslon 时间: 2008-4-20 23:27:51

<CITE>对于本人出的这道题，好多网友都回答得很棒，谢谢。不过一直没有看到符合我的完整回答的答案。</CITE>
<CITE></CITE> 
<CITE>特别感谢whitetiger在37楼的详细解答和深入思考。你的答案，虽不中，亦不远矣~~</CITE>
<CITE></CITE> 
<CITE>比如，在情况1）里，你觉得不可能是7或者8号球有问题么？可你根本没有考虑它们俩。</CITE>

作者: whitetiger 时间: 2008-4-21 09:51:39

原帖由 geslon 于 2008-4-20 23:27 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=116645&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
<DIV class=t_msgfont id=postmessage_116645>
<CITE>对于本人出的这道题，好多网友都回答得很棒，谢谢。不过一直没有看到符合我的完整回答的答案。</CITE>
<CITE></CITE> 
<CITE>特别感谢whitetiger在37楼的详细解答和深入思考。你的答案，虽不中，亦不远矣~~</CITE>
<CITE></CITE> 
<CITE>比如，在情况1）里，你觉得不可能是7或者8号球有问题么？可你根本没有考虑它们俩。</CITE></DIV>

是I），不是1）。
确实没提，因为我写的时候漏掉了，现在已经改正了。
 
主要把精力集中在前面那些命题的考虑上了，对于具体问题的解决只是操作层面的问题，通过前面命题的描述应该能解决。

作者: lichunfu 时间: 2008-4-22 11:45:44 标题: 呵呵

   下面给出 15 个小球的一种思路，画图太麻烦，用文字简单表述：     设正常球的重量为 x ，异常球的重量为 y 。     把 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 个球分为 5 组：             (1 2 3 4) (5 6 7 8) (9 10 11 12) (13 14) (15)       第一次称：(1 2 3 4) (5 6 7 8) 重量为 a （a=8x 或 a=7x+y），     第二次称：(5 6 7 8) (9 10 11 12) 重量为 b （b=7x+y 或 b=8x ），     如果 a = b ，则异常球在 (5 6 7 8) (13 14) (15) 中；     否则，异常球在 (1 2 3 4) (9 10 11 12) 中。      1、如果 a = b ，则异常球在 (5 6 7 8) (13 14) (15) 中：               第三次称：(5 6 13 14) 重量为 c （c=3x+y 或 c=4x ），           如果 c = a / 2 ，则 (15) 为异常球，第四次直接称 (15) 的重量。             否则第四次称 (1 5 7 13) 重量为 d （d=3x+y 或 d=4x ），                列出关于 x 、y 的两个方程（a 、c 为常数的那两个），解之，             代入（d=3x+y 或 d=4x ）检验，便可得出满足（d=3x+y 或 d=4x ）之一             的 x 、y 值。从而确定异常球在 (13 14)、(5 6) 或 (7 8) 中。          2、如果 a 与 b 不等，则异常球在   (1 2 3 4) (9 10 11 12) 中：         第三次称：(3 4 9 10) 重量为 d （d=3x+y 或 d=4x ），         列出关于 x 、y 的两个方程（a、b 为常数的那两个），解之，         代入（d=3x+y 或 d=4x ）检验，便可得出满足（d=3x+y 或 d=4x ）之一         的 x 、y 值。从而确定异常球在 (3 4) (9 10) 或 (1 2) (11 12) 中，         假设异常球在 (m n) 中，第四次称 (m n) 中的某一个球的重量。

作者: 魔方小厦 时间: 2008-4-23 18:35:33

电子称是天平的吗???

作者: whitetiger 时间: 2008-4-24 08:14:29

原帖由 魔方小厦 于 2008-4-23 18:35 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=118231&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 电子称是天平的吗???

当然不是天平。
电子秤，是指能称出重量（数值）的秤。

作者: flwb 时间: 2008-5-10 11:54:05

 

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-5-10 12:01 编辑 ]

作者: sthforever 时间: 2008-5-12 20:07:00

我想了一个通用的解法，不知有没有问题。
 
假设有N个球，其中有一个球质量与其他不同。设不同的球质量为q，而其他的球质量为p。
 
为方便，将N写成二进制数的位数记为n。将这N个球从0到N-1编号，并把每个编号写成n位二进制数，高位不足补零。假设质量不同的球的编号为k，那么对这些球进行n次称量，若能通过每次测量的结果，分别确定k的二进制数的每位的数值，就能确定k的值。为方便，把k的二进制数的第i 位上的数值记做Ki。
 
每次取x个球进行称量，有两种情况，即这x个球中包含k号球，或这x个球中不包含k号球。若不包含k号球则记为0，反之记为1。这样在n次测量后，把结果依次排列，就可以得到一个n位二进制数。现在的目标是，找到一种分组的方法，使得结果的这个n位二进制数就是k。
 
这种分组方法如下：第i 次称量所选取的球，为其二进制数编号的第i 位上的数值为1的球。换句话说，对于第i 号球来说，i 写作二进制数后哪些位为1，则第i 号球就将被编入哪些组中。按此方法选取后，如果能根据称量结果，判断出第i 组球中是否含有k号球，并当其含有k号球时记为1，不含k号球时记为0，则可以根据称量结果得到的0和1的序列排列得到k。
 
这样分组后，除了最后一组，其他组的球数都相同。当这些球数相同的组被称量后，因为含k号球或不含k号球，只可能有两种结果，假设为a和b。但是因为不知道p和q的大小关系，无法得知a和b哪个对应含有k号球的质量，也就不知道Ki为1还是0。但是，如果第i 组和第j 组的称量结果相同，则说明Ki=Kj，反之则Ki<>Kj。
 
在刚才的分组基础上，做以下调整：
 
当第一次和第二次称量完成后，根据K1和K2，可以确定一定数量的球必然不是k号球。即，如果K1=K2，则所有编号的二进制数的第1位和第2位上数值不同的球，必然不是k号球；如果K1<>K2，则，所有编号的二进制数的第1位和第2位上数值相同的球，必然不是k号球。根据这种方法，当第二次测量完成后，至少可以找到N/2个球，其必不是k号球，即质量为p。把这些球记为Pi  （i<=N/2）。
 
在第三组球中加入P1，在第四组球中加入P1，P2，P3 .. ，使得第二组球，第三组球，和第四组球所包含的球的个数不同。其他组分组方式不变。
 
现在要做的是，根据第二组，第三组和第四组的称量结果，确定出p和q的值。
 
设第2，3，4组球，质量分别为W2,W3,W4，球的个数分别为n2,n3,n4。平均每个球的质量分别为T2=W2/n2，T3=W3/n3，T4=W4/n4。
 
------------------------------------
现在要证明，如果有n个球，其中最多有一个球的质量为q，其余质量为p；有m（n<>m）个球，其中最多有一个球的质量为q，其余质量为p，则当且仅当，n个球和m个球的平均质量都为p时，它们的平均质量相同。
 
证明：
 
反证法，分情况讨论：
1. 假设n个球中有一个球质量为q，m个球中有一个球质量为q，若令这n个球的平均质量与m个球的平均质量相等，则有：
  ((n-1)*p+q)/n = ((m-1)*p+q)/m    ->    (m-n)*(q-p)=0  
即
  m=n 或 p=q
与假设矛盾。
 
2. 假设n个球中有一个球质量为q，m个球质量均为p，若令它们的平均质量相等，则有：
  ((n-1)*p+q)/n = p    ->    p=q
与假设矛盾。
 
3. 假设n个球质量均为p，m个球中有一个质量为q，与上面情况对称。
 
综上所述，若m个球与n个球的平均质量相同，则它们的平均质量都为p。
------------------------------------
 
所以对于T2,T3,T4，如果其中有两个相等，例如T2=T3，则必有p=T2=T3。然后很容易算出q。
 
若T2,T3,T4均不相等，则令T5=(W3-W2)/(n3-n2)，T6=(W4-W3)/(n4-n3)，（若当初分组时n4-n3=n3-n2，则令T6=(W4-W2)/(n4-n2)，这里不做详细分析了..）
 
这时有两种情况，
 
1. 
T2,T3,T4都不等于p，即第2，3，4组都含有k号球
 
此时显然可见，T5=T6
 
2.
T2,T3,T4中，有且只有一个为p，例如T2=p
 
此时则T5和T6必有一个为p。
 
所以，
当T5=T6时，则p=T5；当T5<>T6时，必有一个与T2,T3,T4中的一个相等，相等的这个为p。
 
（这两种情况的推论没有详细证明...不知道有没有错... 有时间再补上）
 
 
综上所述，根据T2,T3,T4的值，必然可以求得p，根据p的值，就可以知道n次测量中哪些组中包含k号球，把这些组记为1，把其他组记为0，用其表示的n位二进制数即为质量不同的球的编号k。
 
 

[ 本帖最后由 sthforever 于 2008-5-12 20:22 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2008-5-12 20:15:59

学习中,等待最全的答案,楼主什么时候能公布啊

作者: whitetiger 时间: 2008-5-13 12:22:05

原帖由 sthforever 于 2008-5-12 20:07 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=132452&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 我想了一个通用的解法，不知有没有问题。   假设有N个球，其中有一个球质量与其他不同。设不同的球质量为q，而其他的球质量为p。   为方便，将N写成二进制数的位数记为n。将这N个球从0到N-1编号，并把 ...

是18#的改进。
 
该方法应该确实可行，也是完全可以证明的。（尽管他说没完整的证明。）

作者: xingwenyong 时间: 2008-5-14 10:20:07

你们把这个题想复杂了吧，n次可以从2的n次方减一个小球中称出异常球，像这个题16个球的话，点背的话，必须用到5次称出来

作者: xingwenyong 时间: 2008-5-14 10:21:15

如果有刻度的话，也就是知道异常球是大了还是小了的话，可以称出2的n次方，就不必减一了

作者: whitetiger 时间: 2008-5-15 12:24:40

原帖由 xingwenyong 于 2008-5-14 10:20 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=133372&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 你们把这个题想复杂了吧，n次可以从2的n次方减一个小球中称出异常球，像这个题16个球的话，点背的话，必须用到5次称出来

是你把问题想简单了，或者说还没理解题目。
 
n=2的情况，你怎么能只称2次，从3个球中找出异常球？（用电子秤）

作者: whitetiger 时间: 2008-5-15 12:26:08

原帖由 xingwenyong 于 2008-5-14 10:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=133373&ptid=6973" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果有刻度的话，也就是知道异常球是大了还是小了的话，可以称出2的n次方，就不必减一了

怎么能称1次，从2个球中找出异常球？
 
注意，题目是用电子秤，告诉你异常球是轻是重都没用！

作者: AKM16 时间: 2008-5-15 12:27:09

这道题挺难

让我想想

作者: 老顾 时间: 2008-5-30 19:07:38

好久没来论坛了，今看到此贴，想说上几句，
这道称球题确实有一定难度，且比较有趣。
以前我对一些称球题很感兴趣，并作过一点
研究。由于回帖教多，不及细看，主要看了
楼主的一些贴。

作者: 老顾 时间: 2008-5-30 19:13:09

下面是楼主在22楼写的贴。

说明：此题目为本人原创，但是似乎在网上有流传15球中电子秤找坏球，但不必知道坏球重量的题目。那个题目简单一点。第一次1-8称8个球，第二次5-11称7个球就可以解决。

本题要难一点。首先，每个球必须称到，原则上是对的，但也不一定，举例说明：假设第一次称1-8号球，第二次5-12号球，两次都是8个，但是称出的重量不同，所以13-15号球三个没有嫌疑，就不必称量了吧。

其次，前两次一定共要称量至少12个球，余下3个最后两次刚好能分辨。

第三，前两次重复的球不能超过4个，否则剩下两次机会无法分辨。

所以答案呼之欲出了：我这里先提示下，大家继续讨论。

第一次，1-8号。

第二次，5-12号。

第三次第四次该如何？请大家继续思考。

此题甚有趣，我觉得非常有助于锻炼逻辑思维。

作者: 老顾 时间: 2008-5-30 19:31:26

“那个题目简单一点。第一次1-8称8个球，第二次5-11称7个球就可以解决”这是
错误的结论，请楼主重新审查。

“前两次一定共要称量至少12个球，余下3个最后两次刚好能分辨。前两次重复的球不能超过4个，否则剩下两次机会无法分辨。所以答案呼之欲出了：我这里先提示下，大家继续讨论。第一次，1-8号。第二次，5-12号。第三次第四次该如何？请大家继续思考。此题甚有趣”

这个提示很重要，是解决此题的唯一途径。不过后面的2次如何称，是相当难的。

由于此题系楼主原创，我想答案的公布应该由楼主决定。

作者: 老顾 时间: 2008-5-30 19:40:29

称球问题是趣味数学中较有名的问题.有许多题是很难的,比如:

我们知道40个球中有1个坏球,最少称4次.（用天平称）

如果有2个坏球,3个坏球,分别最少称几次.等等。

在称球问题中最著名的是N个不等量球的排序问题,

----

当然这些问题的难度都超出了本论坛讨论范畴

作者: Violet007 时间: 2008-7-3 12:44:09

答案太长了，不想写出来，最多就称4次~

作者: whoosah! 时间: 2008-7-12 13:52:37

我只会称异球重,不能找出异球...再想想

作者: q554703252 时间: 2008-7-25 13:29:57 标题: 太简单了

我以前做过和这类似的，第一次一面先称6个。别的就不多说了，还不会我就无语了。可以联系我QQ

[ 本帖最后由 q554703252 于 2008-7-25 13:32 编辑 ]

作者: q554703252 时间: 2008-7-25 14:34:52 标题: 我又来了

分成3组6，6，3。第一次称前两组，也就是12个，会出现2种情况，然后就简单了。按理来讲这应该是唯一解，微软招聘用过此类题型，是10称3次。分4，4，2。道理是一样的

作者: sormuptoyi 时间: 2008-7-29 12:03:27

<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">14<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">球<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA"> <SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">约定如下：以后用<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">M<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">表示总重量，<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">m<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">表示平均重量，例如<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">m3<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">表示第三次称量的平均重量。<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA"> <SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">余<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">3C<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">意为第二次称<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">C<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">组中没有选取的那三个球。用<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">X<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">表示标准球重量，异常球用<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">Y<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">表示重量。<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA"> <SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">

作者: sormuptoyi 时间: 2008-7-29 12:04:47

<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">怎么老超过字节数目啊，没法搞。。。

作者: bx8839 时间: 2008-7-29 16:25:27

四次有点太难了吧！分成3堆每堆5个，要知道哪个由里面由重量不同的起码就得3次吧！LZ由更好的办法？？？愿闻其详！！！

作者: 集结号 时间: 2008-8-13 17:13:24 标题: 简单

这是我们小学4年级学得。。。。。。

作者: Feng2_0 时间: 2008-8-22 21:26:56 标题: 请问谁能给个详细的解答？

我是笨蛋，看了半天每看懂，有没有人给个详细的解答？

作者: 知Shmily足 时间: 2008-8-22 21:38:17

异常球是重是沉啊？

作者: 魔術方塊 时间: 2008-8-27 16:37:02

重量不同但不知輕了還是重了,十分可惡

作者: ares_g 时间: 2008-9-5 20:47:57

<UL>
<LI>先称2次：a=[1,2,3,4,5,6,7,8];b=[5,6,7,8,9,10,11] 设顶正常球重x，则情况如下表：</LI>
<LI>异常球位置■1.2.3.4■5.6.7.8■9.10.11■12+ a-b的值■■■≠x■■■■=x■■■≠x■■■=x a/8的值■■■≠x■■■■=x■■■=x■■■=x b/7的值■■■=x■■■■≠x■■■≠x■■■=x</LI>
<LI>用这3项相互比较即应得知异常球位置，还有2次机会可确定异常球号码，用方程组可计算出x的值。然也。</LI></UL>

作者: colinsze 时间: 2008-9-18 16:26:52

15个球称4次~~方法：首先把15个球分3组，1组5个~每组放上去称一次得到重量为X，X，Y显然重量为Y的那组有异常球~这是X/5为一个正常球重量，Y-4X/5就是异常球的重量。。。好象只称了3次....

作者: colinsze 时间: 2008-9-18 16:28:22

哦~题目没看仔细~~以为只要知道重量~~原来还要指出是哪个球~~上面的答案当我没说`我再想想

作者: nangongke 时间: 2008-9-23 00:59:40

想了一晚终于想出一种方法来解这个问题，就是不知道写在这么靠后还有没有人能够看到：）
 
设标准小球重量为s。
 
一个事实是：如果知道异常小球是某2个小球中的一个，并且知道标准重量s，那么经过一次称量，一定可以从这两个小球中找出这个异常小球；如果再知道这两个小球的总重量，那么就可以计算出异常小球的重量来。
 
所以，我们的目标就是经过3次称量，将异常小球的范围缩小在2个以内，并且求出标准重量s。
 先将小球进行编号，分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15。
再设：1，2号小球重量和为A1； 3，4号小球重量和为A2； 5，6号小球重量和为B1； 7，8号小球重量和为B2； 9号小球重量为C1； 10，11号小球重量和为C2。（注，C1是单个小球9号的重量，其他都是两个小球的重量和，这点很重要）
 第一次称量1-8号共8个小球，设其总重量为a。于是可以得到等式：A1+A2+B1+B2=a      （*）（8个小球，每个小球平均重量为a/8）
 
第二次称量5-11号共7个小球，设其总重量为b。得到等式：B1+B2+C1+C2=b        （*）（7个小球，每个小球平均重量为b/7）
 
若a/8与b/7的值相同，那么可以肯定1-11号都是标准小球，而标准小球的重量就是s=a/8=b/7，并且可以知道异常小球一定在12，13，14，15这4个小球之中，那么，第三次称量12，13两个小球的总重量，和s进行比较，就可以知道异常小球是在12，13中，还是在14，15中，由前边的事实便可以找出异常小球。（注，这里有一种非常极端的情况，只能指出异常小球，但不能得到其重量，其他情况均可以算出异常小球的重量）
 
若a/8与b/7的值不相同，那么可以肯定异常小球一定在1-11号球之中。
 
这时第三次称量1，2，5，6，9 这5个小球，设总重量为c。并得到等式：A1+B1+C1=c       （*）（5个小球，每个小球平均重量为c/5）
 
对三个（*）式进行运算可以得到另外三个等式：
                            A2+B2-C1=a-c          （*）（3个小球，每个小球平均重量为(a-c)/3）                             B2+C2-A1=b-c          （*）（2个小球，每个小球平均重量为(b-c)/2）                             A1+A2-C1-C2=a-b        （*）（1个小球，小球平均重量为a-b）
 
比较这6个平均值（a/8, b/7, c/5, (a-c)/3, (b-c)/2, a-b）必然至少有两个平均值相等，这是因为：对于A1而言，必有2个等式B1+B2+C1+C2=b，A2+B2-C1=a-c中不含有A1，因而这两个等式中都是标准小球，其平均值必定相等，而其他4个多项式都含有A1，且每个等式中小球个数不同，因而平均值必定不同；同理，对于A2，B1，B2，C1，C2而言，也都至少有两个等式中不含它们（有的是三个等式不含它们）。
 
所以6个平均值（a/8, b/7, c/5, (a-c)/3, (b-c)/2, a-b）中，相等的数值就是标准小球的重量s，在平均值不相等的几个等式中，共同出现的变量就是包含异常小球的变量。比如，若c/5=(a-b)，而其它4个等式中共同出现的变量是B2，所以可以确定异常小球在7号和8号中间。
 
这样，就可以将异常小球的范围缩小到两个小球之中，并且知道标准重量s以及两个小球的重量和（重量和可以通过线性代数的知识从上边等式中求得），利用前边的事实，可以指出异常小球，并算出其重量。
 
这种方法，完全可以指出异常小球是哪个，但是对于一种极端情况无法算出其重量，其他genetic情况下都能算出异常小球的重量来。

作者: 逆水流光 时间: 2008-9-27 17:12:12

作最坏的打算，先从15个小球里取出一个，再把剩下的小球放在秤的两边（每边有七个），再把轻一点那边的球取出来，按上述方法继续秤，最后秤完就刚好四次。

作者: ares_g 时间: 2008-10-3 23:47:10

我在70楼的回答不对么？LZ说句话。

作者: 寂寞的瓶子 时间: 2008-10-7 00:21:38

头好大，本贴里回帖还写了大量算法的全是高手，我学习了，觉得73楼的最让我看得懂也最合理，不知道楼主的答案到底是不是这样

作者: asawdh 时间: 2008-10-13 18:07:06

我是这样称的：
一、先把15个球分为三组，第组5个，并分别编上号：
第1组：1、2、3、4、5
第2组：A、B、C、D、E
第3组：a、b、c、d、e

二、先称第1组，假设总重量为S1

三、再称第2组，假设总重量为S2

四、第3组先不称，假设总重量为S3，但目前不知道具体重量

现在分析称过两次后的几种情况：

第一种情况：
S1＝S2，很明显，重量不一样的球肯定在第3组里，并且我们知标准球的重量为K＝（S1）/5

称第3组中的a和b，得重量为T，
1)如T<>2*K，说明a和b中有一个球为重量不同的球。再称一下a
如a<>K，则a为要找的球,a球重量为称得的重量;
如a＝K，则b为要找的球，b球重量为T－K

2)如T＝2*K,则说明要找的球在c、d、e里，

第二种情况：
S1<>S2

作者: wyjwyj 时间: 2008-11-16 18:20:19

每组5个.分3组.称两组.相等就是没称的异常.再用这种方法一直称

作者: wzm4970 时间: 2008-11-19 09:59:24

难，想了几分钟，没有头序，直接看下人家怎么搞的

作者: kop31071 时间: 2008-11-19 15:54:13

5次很简单的啊，4次称不出来，期待答案！！

作者: JosephWeld 时间: 2008-11-19 23:34:27

看了gelson前两步的提示后我终于做出来啊

作者: alinit 时间: 2008-12-9 22:40:42 标题: 如果已知异球是轻还是重

那么可以用五五分组的方法，先称12345 然后6789 10，这样就可以得到到底异球在那个组里
然后2 2 1来称就可以得到了

作者: ares_g 时间: 2008-12-10 19:04:37

使用对称分组应该是弄不出来吧？

作者: 水磨鱼 时间: 2008-12-19 16:22:16

称加算数应该可解`` `

作者: lily748 时间: 2009-2-7 09:26:45

三次就可以啦！将153分成77来秤。如果一样重，没有秤的1个就是重的！再将种的7个分成33！将3分成11。这样就出来啦！是不是啊？

作者: lulijie 时间: 2009-2-7 13:03:44

电子秤称小球问题的一种解法：完全靠分析推理，推理过程我就省略了。
给小球编号1234567890abcde
---------------------------------------------
★第一次称重12345678 数值M
★第二次称重567890ab 数值N
M=N ★第三次称重56cd 数值X
 M=2X ★第四次称重e 数值Y 结论：异常球e，重量Y
 M<>2X ★第四次称重57c 数值Y
 M:Y=8:3 结论：异常球d，重量X-3Y
 M:Y<>8:3且X-Y:Y=1:3 结论：异常球8，重量M-7Y/3
 M:Y<>8:3且X-Y:Y<>1:3且X-Y:M=1:8 结论：异常球c，重量Y-2M/8
 M:Y<>8:3且X-Y:Y<>1:3且X-Y:M<>1:8且M-X:Y=4:3 结论：异常球6，重量X-Y
 M:Y<>8:3且X-Y:Y<>1:3且X-Y:M<>1:8且M-X:Y<>4:3且M-Y:X=5:4 结论：异常球7，重量Y -2X/4
 M:Y<>8:3且X-Y:Y<>1:3且X-Y:M<>1:8且M-X:Y<>4:3且M-Y:X<>5:4 结论：异常球5，重量Y -2(X-Y)

M<>N ★第三次称重1290 数值X
 M=2X ★第四次称重a 数值Y
 M=8Y 结论：异常球b，重量N-7Y
 M<>8Y 结论：异常球a，重量Y
 M<>2X 且 N=2X ★第四次称重3 数值Y
 N=8Y 结论：异常球4，重量M-7Y
 N<>8Y 结论：异常球3，重量Y
 M<>2X 且 N<>2X ★第四次称重19 数值Y
 M=4Y 结论：异常球0，重量N－7Y/2
 M<>4Y且N=4Y 结论：异常球2，重量M－7Y/2
 M<>4Y且N<>4Y且X-Y:M=1:4 结论：异常球9，重量Y－M/8
 M<>4Y且N<>4Y且X-Y:M<>1:4 结论：异常球1，重量Y－N/8

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-7 13:06 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-2-7 13:48:15

A是指p个球的重量，B是指q个球的重量，如果A:B=p:q,  那么我们称A与B成比例。（以下的3个结论对分析推理很重要）
   如果A与B成比例，那么如果p与q不等，也就是意味着A和B涉及到的球都是正常球。
   如果A与B成比例，那么如果p与q相等，意味着A和B涉及到非共有的球都是正常球。
   如果A、B是不同个数的球的重量，那么  如果A-B与M成比例（不等），就意味着M涉及到的球都是正常球，A、B中非公共的球都是正常球。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-7 13:50 编辑 ]

作者: xunlei9 时间: 2009-7-1 20:31:18

7 7 1 3 3 1 1 1 1

作者: 真的是个游客 时间: 2009-7-14 03:59:58

球分3组ABC，每组5个，分别称三组球的重量。肯定有一组与其他两组重量不同。假如A与B相同，说明异常球在C组。取A组的4个球称出重量，用C组的重量送去A组4个球的重量就是异常球的重量。

作者: 4ky 时间: 2009-10-22 11:57:24

顶86楼，与我思路一样。可惜我今天刚看到题目

作者: 4ky 时间: 2009-10-22 11:58:46

顶86楼，与我思路一样。可惜我今天刚看到题目

作者: pjincz 时间: 2009-11-15 22:00:10

好不容易，准备发帖，发现了86楼，，，哭喊。。。。
算了把自己的答案也贴上来，编辑了老久了。思路基本一致，除了编号和测量判定的细节。
记正常的球重量为x，不正常的球重量为y
给球分别编号1~15。
1 2 3 4 5 6 7 8 =a
1 2 3 4 9 10 11 12 =b
如果a = b，那么5 6 7 8 9 10 11 12全没问题。问题出在1 2 3 4 13 14 15上。
称量1 2 13 14 =c
如果c = a / 2，那么出问题的是15，称量15即可得到结果
如果c != a / 2，那么出问题的可能是1 2 3 4 13 14中的一个
称量1 3 13 =d
然后见表1。
如果a != b，那么5 6 7 8 9 10 11 12中存在问题球
称量5 6 9 10 =e
如果2e = a
那么5 6 7 8 9 10不存在问题
x = e / 4，y = b - 7x
继续称量11或12即可
如果2e = b
那么5 6 9 10 11 12不存在问题
x = e / 4，y = a - 7x
继续称量7或8即可
如果上面两个都不成立，那么说明5 6 9 10中存在问题，也就是e = 3x + y
如果2(a - e) == b
那么5 6存在问题
继续称量5或6即可
如果2(b - e) == a
那么9 10存在问题
继续称量9或10即可

表1
问题球 1 2 3 4 13 14
a 7x+y 7x+y 7x+y 7x+y 8x 8x
c 3x+y 3x+y 4x 4x 3x+y 3x+y
d 2x+y 3x 2x+y 3x 2x+y 3x
x c-d d/3 c/4 c/4 a/8 a/8
y a-7x a-7x a-7x a-7x c-3x c-3x
判定方法，假定某个球有问题，然后计算xy后代入检验acd，如验证正确，则假定正确
可以证明不可能误判。

作者: pubsea 时间: 2009-11-18 10:18:53

92#与我心有戚戚焉,这两天都在地铁上考虑a=b&c!=a/2的情况,今天刚刚得出结论:
若异常球在1,2中则y1=(7c-3a)/4
若异常球在3,4中则y2=(4a-7c)/4
若异常球在13,14中则y3=(8c-3a)/8
因为无论使y1=y2,y2=y3,y3=y1均可推出c=a/2所以可证这几种情况互斥，亦即不会误判。

另外很佩服

86#的归纳能力，经此一列，一目了然。

作者: jackynet9 时间: 2010-2-12 13:00:15

佩服86楼，和下面各位的推理结果。

我有一个感悟：有一些朋友，答题不看题目要求。按照常见题目（天平，而不是电子秤）来解答了。还一付不屑的样子，不明白大家为什么不会答，还写什么771，331，331的。我在想，这可能就是人与人之间差距逐渐产生的原因，认真思考人生中的每道考题。

写的有点不着边，但真希望那些连题目都没理解的朋友有机会回来再看一眼。

作者: 中山狼 时间: 2010-3-25 20:38:00 标题: 刚看到此题，试试回答一下

假设小球编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15号
第一次，称1-8号
第二次，称5-12号
假设正常球的重量为A，不正常球的重量为B
则上面出现四种情况
第一次重量第二次重量
8A                            8A                   (1)
7A+B                      7A+B             (2)
8A                            7A+B             (3)
7A+B                      8A                   (4)
出现情况（1）、（2）时
第三次称重 5、6、13、14
重量为两种情况
3A+B                                              (5)
4A                                                    (6)
出现（5）时，则坏球在5、6中，第四次可称得重量。
出现（6）时，则坏球在7、8、15中，通过如果第一次是（1），坏球是15，如果是（2），则坏球在7、8中，称任一球可得其重量。
出现情况（3）（4）时，第三次称1、2、9、10
3A+B                                              (7)
4A                                                    (8)
如上述对情况（5）的分析，可称一次得结果。

作者: 中山狼 时间: 2010-3-25 20:41:12 标题: 前面有人答出此答案了

前面有人答出此答案了

作者: 中山狼 时间: 2010-3-25 20:58:36 标题: 37楼、86楼正确，73楼没有看清题目吧

37楼、86楼正确，73楼没有看清题目

作者: qpzmabc 时间: 2010-6-30 20:25:05

很简单的，份3分称。

作者: fallenjoker 时间: 2010-11-8 02:41:21

答案在18楼，每次放8个。

作者: fallenjoker 时间: 2010-11-21 23:00:55

想了想，这个问题没有答案。

因为我们不知道那一个是7x+y 哪一个是 8x。

比方：

我们得到的是79克和 80克

第一个可能是：
7个正常的是10克，1个不正常的是9克，共79克。
8个正常的是80克。

第二个可能是：
7个正常的是9.875克，1个不正常的是10.875克，共80克。
8个正常的是79克。

4次秤，有16种答案。
15个球，一个不知太轻或太重，有30个可能。

16 < 30
没有解决方案。

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