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标题: 求教证明题 [打印本页]

作者: jx215 时间: 2011-2-22 12:32:57 标题: 求教证明题

求证：方程2^x-1=3y, 有无穷多组正整数解。

作者: 小七阶 时间: 2011-2-22 13:31:59

个人觉得画图可以解释的

作者: zbyxzh 时间: 2011-2-22 13:32:43

令x1=2，y1=1，有
2^x1-1=3y1
设x2=2x1=4，则有
2^x2-1=2^(2x1)-1=(2^x1+1)(2^x1-1)=(2^x1+1)*3y1=3y2，其中y2=y1*(2^x1+1)为正整数
以此类推，当x=2、4、8、16……时，有y=1、5、85、21845……
所以原方程有无穷多组正整数解

在这种情况下，x、y具体具体表达式楼主不妨自己写写看

作者: yeees 时间: 2011-2-22 14:23:23 标题: 我的解答如下图：

. .

[ 本帖最后由 yeees 于 2011-2-22 20:32 编辑 ]

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作者: chuchudengren 时间: 2011-2-22 15:27:22

a模3余1，b模3余1，则ab模3余1. 有一组解，则有无穷解。

作者: jx215 时间: 2011-2-22 18:51:56 标题: 回复 2# 的帖子

画图证明不太可靠

作者: jx215 时间: 2011-2-22 21:57:22 标题: 回复 4# 的帖子

若n为奇数则不成立吗？

作者: 战斗机 时间: 2011-2-22 22:11:56

五楼有些思路和我一样耶～

作者: yeees 时间: 2011-2-22 23:00:42 标题: 回复 7# 的帖子

什么奇数不成立呀？
前半截你能看懂吧
后半截我用的数学归纳法证明的嘛
是不是你还没学过数学归纳法，所以对那种证法有些不解呢？
我定义的n是偶数，但n/2不一定是偶数啊
所以要分别讨论
如果讨论的结果是，n/2无论奇偶都能保证原命题（即当n为偶数的时候，2^n-1能被3整除）一定成立的话，那么也就证明了一定有无穷多组解啊
还有不明白的地方就回复我。

[ 本帖最后由 yeees 于 2011-2-22 23:05 编辑 ]

作者: tm__xk 时间: 2011-2-22 23:04:49

当然有无数解了

随便取正偶数x都行

作者: yeees 时间: 2011-2-22 23:49:26

. .

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作者: tm__xk 时间: 2011-2-23 00:01:21 标题: 回复 11# 的帖子

要证明3|2^(2k)-1=3*(1+4+4^2+...+4^(k-1))么..

作者: jx215 时间: 2011-2-23 18:46:59 标题: 回复 9# 的帖子

我的意思是x=n(n为偶数）则成立，若n为奇数的情况怎么样。

你是猜想n为偶数时采用数学归纳法证明的，若取奇数次幂是否就得不到正整数解。

作者: yeees 时间: 2011-2-23 23:14:58 标题: 回复 13# 的帖子

不用证明是奇数的时候怎样。因为题设只要求求证方程2^x-1=3y, 有无穷多组正整数解，也没说必须证明有无穷多组奇数解
如果我证明了对于无穷多个偶数，都满足这个条件，那么还有证明别的的必要吗？

作者: jx215 时间: 2011-2-26 20:47:56

找到一种证法，用二项式定理展开
假设x=2n
2^x-1=2^2n-1=(1+3)^n-1=1+C(n,1)*3+C(n,2)*3^2+C(n,3)*3^3+......+3^n-1
由于左边各项都能被3整除，所以原方程有无穷多组正整数解。

如果推广，可以证明2^x-1=py,p取任何大于1的奇数。

[ 本帖最后由 jx215 于 2011-2-26 20:50 编辑 ]

作者: 西北天狼 时间: 2011-2-28 13:33:28 标题: 利用等比数列的性质

设a(k)=4^k, k=0,1,2,…
则S(k)=1+4+4^2+…+4^k，3S(k)=(4-1)(1+4+4^2+…+4^k)=4^(k+1)-1=2^(2k+2)-1
令x=2k+2，y=S(k)，k=0,1,2,… 即2^x-1=3y 有无穷组解。

作者: 西北天狼 时间: 2011-2-28 14:27:18

原帖由 jx215 于 2011-2-26 20:47 发表
找到一种证法，用二项式定理展开
假设x=2n
2^x-1=2^2n-1=(1+3)^n-1=1+C(n,1)*3+C(n,2)*3^2+C(n,3)*3^3+......+3^n-1
由于左边各项都能被3整除，所以原方程有无穷多组正整数解。

如果推广，可以证明2^x-1=py, ...

我对推广很有兴趣，但不知道p=5时是怎么样推广的！

作者: jx215 时间: 2011-2-28 18:16:08 标题: 回复 17# 的帖子

p=5时，设x=4n
2^4n-1=5y
(1+15)^n-1=5y
展开后每项都能被5整除，所以有无穷多正整数解。

作者: 西北天狼 时间: 2011-2-28 19:10:05 标题: 回复 18# 的帖子

如此说来还需证明：对任何大于1的奇数p，存在k、q，使得pq+1=2^k。

作者: jx215 时间: 2011-2-28 20:59:16

原帖由 西北天狼 于 2011-2-28 19:10 发表
如此说来还需证明：对任何大于1的奇数p，存在k、q，使得pq+1=2^k。

方法有错，收回此证明

[ 本帖最后由 jx215 于 2011-2-28 21:02 编辑 ]

作者: jx215 时间: 2011-3-2 19:08:35

请教了别人，原来这个结论用欧拉定理和欧拉φ函数可以证明。

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