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标题: “有多少种涂色方法” [打印本页]

作者: yuanyao831 时间: 2008-3-27 23:01:53 标题: “有多少种涂色方法”

用4种颜色给一个平行6面体涂色，每个面涂一种颜色，要求每两个有公共棱的面所图的颜色不同，则涂色的方法有多少种？
 
 
一道高中试题，请告诉算法，不胜感激

作者: geslon 时间: 2008-3-28 07:18:45

平行六面体和正方体一样的方案。

假设共有上下左右前后六个面，考察上左前三面，它们两两相邻，所以它们三个面的涂色方案有4*3*2=24种。

然后不妨假设它们的涂色方案是上1左2前3，那么右面可能是2或者4.
1）当右面是4时，只有一个方案：下面只能是1，后面只能是3.
2）当右面是2时，有三个方案：如果下面是1，则后面可以为3或者4；如果下面是4，则后面只能是3.
也就是说根据我们的假设，在上1左2前3的情况下，有4种涂色方案。而上左前三面可能的方案实际上有24种，所以最终答案是：
共有24*4=96种不同的涂色方案。

作者: google2020 时间: 2008-3-28 08:06:23

四个颜色涂六面
一）先从六面中选出两个面一共有2种组合方法，一种是两面平行，一种是两面相邻
二）
  1）给选出来的两个面平行涂色，从四色中选两色一共有6种不同和选色组合，选完色涂面有2种(例：选出来的是1,2色，要涂A,B面，有可能是A面涂1色,B面涂2色；还有可能B面涂1色,A面涂2色)，一共6x2=12种
  2）给另四个面涂色，4x3x2x1=24
  3）一共有12x24除2种可能性，因为有镜像重复所以要除2，一共是144种
三）同上两面相邻也有144种可能
四）总可能数为144+144=288
 
本人数学有限，只能算成这样了，见笑<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">

作者: yuanyao831 时间: 2008-3-28 12:57:38

原帖由 geslon 于 2008-3-28 07:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=103941&ptid=7177" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 平行六面体和正方体一样的方案。假设共有上下左右前后六个面，考察上左前三面，它们两两相邻，所以它们三个面的涂色方案有4*3*2=24种。然后不妨假设它们的涂色方案是上1左2前3，那么右面可能是2或者4. 1）当 ...

正解！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1">
 
 
 也谢谢3楼的热心

作者: noski 时间: 2008-3-28 12:58:41

4+3+3=10种。。。 假设有四种颜色：白、红、绿、蓝； 4是指只用其中三个颜色涂，共有4种情况； 3是指使用4个颜色的情况下，选用一个颜色作参考（比如白色），当它和对面都是白色时，有3种情况； 3是指使用4个颜色的情况下，选用一个颜色作参考（比如白色），当它的对面不是白色时，可能是其它3种颜色。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-3-28 14:27 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-3-28 13:03:08 标题: 回复 4# 的帖子

哦。。。5楼的答案是，我把它当成立方体了，把同态都消了。。。看来平行六面体不是对称的。

作者: ivankameryn 时间: 2008-3-28 13:14:15

我的答案是: 如果四种颜色都要用到, 那么是6种; 如果可以只用三种颜色, 那么有12种.
总共就四种颜色. 所以, 必须至少有两组对面是同色, 那么从四种颜色里选出两种, 有六种可能性. 剩下的两个面, 如果必须把剩下的颜色都用上, 那么只有一种情况, 总共就是6x1=6种; 如果剩下的两个面可以只用一种颜色的话, 那么就有两种情况, 总共就是6x2=12种.

作者: ivankameryn 时间: 2008-3-28 13:23:36

咦, 我好像弄错了.
 
如果是正方体, 且4种颜色都要用到的话, 那么如上面所说是6种, 如果可以只用3种颜色的话, 那么从四种颜色里挑出3种, 有4种可能性. 那么答案就是6种或者6+4=10种. 
 
如果不是正方体. 那么那两组同色的对面的分布情况会有6种情况, 每种会有如正方体的6或10种情况, 那么总共就是36或者60种情况了. 

[ 本帖最后由 ivankameryn 于 2008-3-28 13:36 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-3-28 14:21:53

原帖由 ivankameryn 于 2008-3-28 13:23 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=104037&ptid=7177" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>  如果是正方体, 且4种颜色都要用到的话, 那么如上面所说是6种,  ...

我怎么觉得是9种呢。。
 
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
是我错了，果然是6种。。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-3-28 14:25 编辑 ]

作者: ivankameryn 时间: 2008-3-29 23:40:47

那谁有没有权威一些的标准答案啊? (如果我算错了, 也顺便指出错在哪儿, 谢谢)

作者: geslon 时间: 2008-3-30 15:18:35

楼上错了。一个平行六面体，假设按照正方体魔方标记法，六面分别标记为F,B,L,R,U,D（各位都是魔方高手，应该不用解释了），当问题问你染色方案时，并不是让你可以把旋转后重复的染色方案当作一种。

比如：F:1,B:1,L:2,R:2,U:3,D:3这个染色方案并不等同于F:2,B:2,L:3,R:3,U:1,D:1这个方案。

正解参照2楼。

作者: whitetiger 时间: 2008-3-31 16:05:56

平行六面体和正方体是不一样的！如果旋转后一样只能算一种的！
 
所以应该这么分析：
认为平行六面体的三组面都不相同。（否则就是特殊的平行六面体了。）
 
任选一对面，有两种情况：异色或同色。
1、如果异色，那么有6种颜色选取方法。（上下位置是可以颠倒的。）
周围四个面，只能是对面取同色，一共有2种情况。
总共有：12种情况。
 
2、如果同色，那么有4种颜色选取方法。
再任选一组邻接对面，同样有异色或同色两种情况。
（1）如果异色，那么有3种颜色选取方法，剩下一组对面只有唯一的涂色方法。
（2）如果同色，那么有3种颜色选取方法，剩下一组对面取异色有1种方法，取同色有2种方法。
总共有：[3+3×(2+1)]×4=48种情况。
 
一共有60种情况。

作者: whitetiger 时间: 2008-3-31 16:37:52

如果是正方体的话，可以这么分析： 如果三组对面均同色的话，只有C(4,1)=4种取色方法，染色方式是唯一的； 如果两组对面同色（另一组对面异色）的话，只有C(4,2)=6种取色方式，染色方式是唯一的。 一组对面同色，三组对面均异色都是不可能的。 所以总共有10种情况。
 
如果是平行六面体的话，也可以用类似的分析方法： 如果三组对面均同色的话，有：A(4,3)=24种染色方法； 如果两组对面同色的话，有：C(3,1)A(4,2)=36种染色方法。 总共有60种情况。

作者: geslon 时间: 2008-4-2 02:18:34

如果旋转后一样只能算一种的，这是楼上的立论基础。

这个基础是不成立的，没有人这样告诉我们。

作者: whitetiger 时间: 2008-4-2 09:36:18

原帖由 geslon 于 2008-4-2 02:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=106191&ptid=7177" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果旋转后一样只能算一种的，这是楼上的立论基础。这个基础是不成立的，没有人这样告诉我们。

这个就是所谓的题目隐含条件。
 
如果不是这样，题目中就不必要强调“平行六面体”了。

作者: ggglgq 时间: 2008-4-3 12:16:19

        支持 whitetiger 的观点，好象 geslon 没有在意“平行六面体”的特殊性。

作者: geslon 时间: 2008-4-3 18:08:51

我还是不认为自己错误的理解了出题人的意图。出题人告诉你是个平行六面体，无非是想告诉你所有面均为四边形而已，并不一定隐含“旋转后一样的方案就是一种方案”这样的意思。这个也没有什么可以争论的，因为你我都不是出题人。如果不说平行六面体，它可能是一个每面都是三角形的六面体。 
 
楼上也批评我理解错了，你也认为题目没有列出的可以看做隐含条件，我想，我确实有可能错了，虽然我并不服气。但是，如果真的是隐含条件，要分情况讨论了： 
 
1，假设是普通的平行六面体，答案是60，楼上已经有详细论述。 
2，如果是特殊的平行六面体，又分为两种情况：
     a，六个面完全对等，比如是一个正方体，答案是10，楼上也已经论述过。
     b，其中4个面对等，比如是一个底面为正方形的长方体，答案楼上没有列出，这种情况楼上也没有考虑周全。经过计算应该是12+12+6=30种。 
 
这才是你所说的隐含条件成立的“完全解答”。一个高中生，要求他做出如此完整的解答，貌似有些困难。 
 
所以我还是认为这道题出题人的真正意图就是我所说的那样。

[ 本帖最后由 geslon 于 2008-4-3 18:29 编辑 ]

作者: geslon 时间: 2008-4-3 18:25:34

真晕，排版真差。都成了一堆了。

作者: ivankameryn 时间: 2008-4-3 23:44:29

我觉得17楼说的对.
但是这里的答案五花八门的...

作者: whitetiger 时间: 2008-4-8 11:36:06

原帖由 geslon 于 2008-4-3 18:08 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=107050&ptid=7177" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
我还是不认为自己错误的理解了出题人的意图。出题人告诉你是个平行六面体，无非是想告诉你所有面均为四边形而已，并不一定隐含“旋转后一样的方案就是一种方案”这样的意思。这个也没有什么可以争论的，因为你我都不是出题人。如果不说平行六面体，它可能是一个每面都是三角形的六面体。 
 
楼上也批评我理解错了，你也认为题目没有列出的可以看做隐含条件，我想，我确实有可能错了，虽然我并不服气。但是，如果真的是隐含条件，要分情况讨论了： 
 
1，假设是普通的平行六面体，答案是60，楼上已经有详细论述。 
2，如果是特殊的平行六面体，又分为两种情况：
     a，六个面完全对等，比如是一个正方体，答案是10，楼上也已经论述过。
     b，其中4个面对等，比如是一个底面为正方形的长方体，答案楼上没有列出，这种情况楼上也没有考虑周全。经过计算应该是12+12+6=30种。 
 
这才是你所说的隐含条件成立的“完全解答”。一个高中生，要求他做出如此完整的解答，貌似有些困难。 
 
所以我还是认为这道题出题人的真正意图就是我所说的那样。

你说的有道理，但关于隐含条件，各人有各人的理解，我们都不知道出题人的意图，那就靠个人理解了。
 
既然说是“平行六面体”，就只能当作是普通的平行六面体来理解，对面全等，其它的面即使全等，也不能利用该条件，不能利用假设的条件。所以答案就是60。
 
我分析正方体的情况，是为了给8#看的，并非答案的一部分。
 
当然，geslon认为这个假设不成立，也没问题。大家争鸣，能把问题讨论得更清楚。

作者: 阿猪 时间: 2008-4-8 11:47:41

作者: doctorli 时间: 2008-5-26 18:56:47 标题: 一个面有几个棱啊

如果是立方体,一个面四个棱,那共用一条棱的面都不同颜色,至少得有四种和此面不同的颜色啊,至少5种颜色才够用的啊?魔方要是4种颜色,就一定有相邻两面同色的情况.

毕业太久了,已经忘了什么叫平行六面体了,立方体算其中一种吗?大家别见笑啊

作者: kexin_xiao 时间: 2008-5-26 19:35:28

不明白，学习中

作者: 金眼睛 时间: 2008-5-26 23:40:08

也来谈谈对这个问题的看法： 
 
1：对于一个平行六面体，像魔方一样，先规定出UDLRFB各个面。
 
如果U和D颜色相同，则LRFB分为两种情况，一种是LR，FB分别同色，一种是有一对同色，另一对异色。 
UD颜色相同涂色方法数=UD颜色可能情况*(LR颜色可能情况*FB颜色可能情况+(LR，FB谁一对同色)*同色颜色的可能情况*剩下面颜色排列情况)
                  =C(4,1)*(C(3,1)*C(2,1)+C(2,1)*C(3,1)*P(2,1))
                  =4*(3*2+2*3*2)
                  =72种
如果U和D颜色不同，则LRFB必然各自同色，因为只剩下两种颜色了。
UD颜色相异涂色方法数=UD颜色排列情况*LR颜色可能情况
                  =P(4,2)*C(2,1)
                  =4*3*2
                  =24种
因此，对于平行六面体来说，涂色的总方法数为72+24=96种。
 
前面有人认为UD颜色不同的时候，UD可以交换位置，我个人认为是不可以的，这个问题有待讨论。
 
我的理由如下，假设将平行六面体的LR面涂成红色，FB面涂成蓝色，U面为黄色，D面为绿色。当我们从上向下俯瞰U面的时候，假设看到的是L，F，U三个面，则在三个面的交点处，红->蓝->黄，是呈逆时针方向；当UD颜色交换后，一定是将平行六面体翻转过来，这时候露出的R，B，D三个面交点处，红->蓝->黄，是呈顺时针方向，所以UD颜色交换的效果不同。
 
2：对于其他特殊的平行六面体，需要分别计算，也是利用排列组合的原理，其中包括：
 
U面是菱形，棱线垂直于U面的情况：C(4,1)*(C(3,2)+C(3,1))+P(4,2)=4*(3*2/2+3)+4*3=24+12=36种。
 
U面是正方形，棱线垂直于U面的情况：C(4,1)*(C(3,2)+C(3,1))+C(4,2)=4*(3*2/2+3)+4*3/2=24+6=30种。
 
注：这两种情况的区别在于，正方形可以在90度旋转下保持形状，而菱形只能180度旋转，差别在UD颜色相异的情况。
 
棱形UD相异12种 UDLRFB：
123344-124433-132244-134422-142233-143322-231144-234411-241133-243311-341122-342211
正方形UD相异6种 UDLRFB：
123344-132244-142233-231144-241133-341122
 
正方体：三组相同+两组相同  C(4,3)+C(4,2)=C(4,1)+C(4,2)=4+4*3/2=4+6=10种。
 
正方体的方法前面已经有人给出了，我只好给结果了，o(∩_∩)o...
 
正方体10种 UDLRFB：
112233-112234-112244-112344-112433-113344-123344-132244-142233-223344
 
顺便说一句，每种情况正方体UDLRFB涂色可以变化，但它们被视为一种涂色方法。对于正方体的每个角，如ULF面形成的角，它可以在八个角的任意位置，同时可以进行三种旋转，变化数为二十四。

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-5-27 13:08 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2008-5-27 00:00:45

高三的排列组合，想起来了，20年了都忘了，呵呵

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