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标题: 分数化成小数循环节有趣性质 [打印本页]

作者: hubo5563 时间: 2011-3-24 22:23:07 标题: 分数化成小数循环节有趣性质

   这些分数化为循环小数的循环节有一个性质：
   把它们从中间分开变为两个正整数，其和各位都是9，这样的数很多，比如1/113，循环节长为112位，也具有这个性质。
   请大家考虑一下什么样的数倒数循环节具有这种性质？为什么？

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作者: 宇枫幽蓝 时间: 2011-3-24 23:21:39

把它们从中间分开变为两个正整数，其和各位都是9.

能不能先解释下？

作者: 西北天狼 时间: 2011-3-24 23:41:49

076+923=999
142+857=999
......

作者: phileas 时间: 2011-3-25 00:42:52

有理数写成q/p形式。充要条件：存在自然数k，使得p整除10^k+1

作者: aadxd 时间: 2011-3-25 07:12:19

看明白了，还真的是很奇妙~~~

作者: zxy6350479 时间: 2011-3-25 07:32:51

数字真奇妙原来如此

作者: 西北天狼 时间: 2011-3-25 13:02:50

7、11、13、77、91、143是1001的约数，它们的都有6位循环的性质，11例外因为它本身也10^k+1型，循环位数只有2位。
同理，17是100000001的约数；23是10^22+1的约数；29是10^28+1的约数……
所以关键是将10^k+1型的合数分解质因数。

作者: superacid 时间: 2011-5-4 13:59:27

楼上的话明显是没有经过验证而瞎猜的

作者: tm__xk 时间: 2011-5-4 14:22:57

即:若p|10^(2k)-1,则10^k-1|(10^(2k)-1)/p.
显然.

ps.将2换成其它数亦可.

作者: 西北天狼 时间: 2011-5-5 17:00:41

原帖由 superacid 于 2011-5-4 13:59 发表
楼上的话明显是没有经过验证而瞎猜的

难道真的会碰上“死耗子”？

作者: 西北天狼 时间: 2011-5-5 17:01:45

原帖由 superacid 于 2011-5-4 13:59 发表
楼上的话明显是没有经过验证而瞎猜的

没办法，编程序演算了一遍。
17是100000001的约数；23是10^11+1的约数；29是10^14+1的约数；113是10^56+1的约数；131是10^65+1的约数……

[ 本帖最后由西北天狼于 2011-5-5 19:21 编辑 ]

作者: 西北天狼 时间: 2011-5-6 11:44:34 标题: 回复 8# 的帖子

1/13,6位循环,13|(10^3+1), 1/157,78位循环,13|(10^39+1);
1/7,6位循环,7|(10^3+1), 1/17,16位循环,17|(10^8+1),
1/23,22位循环,23|(10^11+1), 1/29,28位循环,29|(10^14+1),
1/113,112位循环,113|(10^56+1), 1/131,130位循环,131|(10^65+1)。
10^k+1型数的整除性是不容置疑的，当时也是经过严格推导的，只是指数k和循环位数2k出了差错。

[ 本帖最后由西北天狼于 2011-5-6 12:17 编辑 ]

作者: chuchudengren 时间: 2011-5-11 14:00:58

才看到这个帖子，算了一下：
若1/N的循环节长度为2k，且满足题目性质，则N|10^k+1;
反之，若N|10^k+1,则循环节必为2k的因子，且前2k位满足题目性质。

不知道的是，如果后一句中k取其下限，得到的2k是否可以保证是循环节呢

作者: tm__xk 时间: 2011-5-11 20:10:12

其实9lms给54了..虽然我写得比较简单..
话说像14+28+57神马的也可以..

作者: 耗子哥哥 时间: 2011-5-16 11:23:13

　　举出一个反证就是了，1/3=1.333……
　　按照你的方式，怎么取出“两段”相加得九？

　　或者说，楼主的命题还需要逻辑层面上的完善，再去考虑证明。

作者: 骰迷 时间: 2011-5-16 17:37:13

据说楼上计错数了。。

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