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标题: 一个猜想 [打印本页]

作者: 华容道 时间: 2011-4-28 16:50:40 标题: 一个猜想

若一个半径为R圆面被分成等面积的3部分，则分割线的长度之和不小于3R。
对于“若一个半径为R圆面被分成等面积的n（n≥2）部分，则分割线的长度之和不小于nR”的这个一般化命题，
通过魔友的讨论已经知道：当分割部分数n≥4时命题不成立。但是此种情况之下的最短分割线又是什么呢？

[ 本帖最后由华容道于 2011-5-14 21:33 编辑 ]

作者: 魔力六色 时间: 2011-4-28 21:32:54

请证明一下不太理解

作者: hjt0619 时间: 2011-4-29 00:04:34

原帖由 魔力六色 于 2011-4-28 21:32 发表
请证明一下不太理解

如果楼主能证明那对他来说就不是猜想了。。。。

作者: 恶灵骑士 时间: 2011-4-29 00:25:34

不理解，

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 06:41:49

一般地，若一个半径为R圆面被分成等面积的n（n≥2且n为奇数）部分，则分割线的长度之和不小于nR。

[ 本帖最后由华容道于 2011-4-29 11:22 编辑 ]

作者: 乾申大那多 时间: 2011-4-29 09:48:21

楼主的意思是：被2条弦分作3等份的话，2×弦长>3R是吗？
设弦长为l，半径为R

作者: lanjingling 时间: 2011-4-29 10:42:42 标题: 此命题是错误的。

举个例子，如图：

CD、EF均垂直与直径AB，其将圆O面积等分为六等分，而这些线段长度之和显然小于6r。

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作者: sokoban 时间: 2011-4-29 11:07:13

楼上的反例可以证明对大于等于6的偶数，猜想是错的。
对于奇数和n=4，这个猜想还是值得思考。

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 11:22:05 标题: 回复 7# 的帖子

呵呵，谢谢您举出的反例。

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 11:30:03 标题: 回复 6# 的帖子

可以是任意曲线。

作者: lanjingling 时间: 2011-4-29 13:17:35 标题: n＝5的情况。

原帖由 sokoban 于 2011-4-29 11:07 发表
楼上的反例可以证明对大于等于6的偶数，猜想是错的。
对于奇数和n=4，这个猜想还是值得思考。

图中，黑线是五等分圆的半径，显然其夹角为72度。
在下方适当位置做两个红色线段，分别与下面的两个半径相交。每边可得到一个小三角形和一个有两条线段、一段圆弧组成的图形。调整红色线段位置可使得如图中的黄色三角形和青色图形面积相等。
可以证明小于半径的红色线段存在。（可令其垂直于旁边的半径，即可证明。）
这样，由上面三条半径、两个红色线段将圆面积等分为五份，而其长度之和小于5r。
（图像添加标记麻烦，从略见谅，能说明问题就可以了。）

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作者: sokoban 时间: 2011-4-29 13:19:20

想到另外一个反例，对n>=7都有效。
以 R/ sqrt (n) 为半径作一个同心圆，外面的圆环沿着半径（只用两环之间部分）把圆环再等分为 n-1个部分。
这样总长度是 (n -1 ) ( 1 - 1/sqrt(n)) R + 2Pi * R/ sqrt (n)
n>=7 时，总长度< nR

[ 本帖最后由 sokoban 于 2011-4-29 13:22 编辑 ]

作者: lanjingling 时间: 2011-4-29 13:19:45

原帖由 华容道 于 2011-4-29 11:30 发表
可以是任意曲线。

当然按照题设可以是任意形状的线条，但是使用曲线的话总长度肯定大于直线。

作者: sokoban 时间: 2011-4-29 13:44:08 标题: 回复 11# 的帖子

这个反例很好，红色线段的存在性还可以用连续函数介值定理来解释。

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 15:16:55 标题: 回复 13# 的帖子

貌似不严密，比如将一个圆心角为60°的扇形分成面积相等的两部分的所有分割线中最短的是圆弧。

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 15:18:59 标题: 回复 11# 的帖子

谢谢，让我受益良多！

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 15:26:53

不知能不能确定出n≥5时的最短分割线呢

作者: lulijie 时间: 2011-4-29 18:04:14

对于任何n等分面积，分割线总长要求最短时，必须满足以下条件：
1. 分界线必须是线段或圆弧；
2. 最多有三条分界线交于一点，且彼此成120度角；（圆弧与圆弧或直线所成的角，计算圆弧在交点处的切线方向）
3. 与外圆相交的分界线必须垂直于圆周。

作者: 西北天狼 时间: 2011-4-29 20:14:19

如图:设圆面积=1，则半径=1/√π，正方形边长=1/√5，每条分割线=1/√π-1/√10。
分割线总长=4/√π+4(1/√5-1/√10)。

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作者: 华容道 时间: 2011-4-29 20:21:11 标题: 回复 19# 的帖子

很好的一个反例，铜钱！

作者: lulijie 时间: 2011-4-29 20:42:28

19楼的图还不是最短分割线的图，因为有共同点的3条分割线不满足彼此呈120度角的条件。
还有n=4的情况，并不是像楼主想像的那么简单（2条相互垂直的直径）。最短分割线总长不是等于4R，而是小于4R.

作者: 华容道 时间: 2011-4-29 20:49:07 标题: 回复 21# 的帖子

楼上的朋友找到n=4时的反例了？贴出来看看

作者: lulijie 时间: 2011-4-29 20:51:12

n=4的图应该是这样分割才能得到最小值：

分割线由4条圆弧和一条线段组成，圆弧与线段成120度角，圆弧与外周圆垂直。

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作者: 华容道 时间: 2011-4-29 21:08:07 标题: 回复 23# 的帖子

貌似“斯坦纳树”

作者: lulijie 时间: 2011-4-29 21:13:12

楼上有兴趣的话可以计算23楼图所示的分割线总长，
计算出它不是很简单的。

作者: 西北天狼 时间: 2011-4-29 21:15:40

原帖由 lulijie 于 2011-4-29 20:42 发表
19楼的图还不是最短分割线的图，因为有共同点的3条分割线不满足彼此呈120度角的条件。
还有n=4的情况，并不是像楼主想像的那么简单（2条相互垂直的直径）。最短分割线总长不是等于4R，而是小于4R.

120°是猜想，还是已经证明？还有n=4的情况，直观地想象弧线长度＞直线长度才符合实际！相当疑惑。

作者: lanjingling 时间: 2011-4-29 21:20:34 标题: 回复 15# 的帖子

是这样的，我刚发了后就怀疑不正确，但一时没有没想好，然后就吃饭去了，呵呵！18楼说得很具体。

作者: lulijie 时间: 2011-4-29 21:38:15

O为圆心，A为圆弧和线段的交点，B为圆弧与外圆的交点。
DA与AE成30度角，DB垂直于OB。
按照题意，弧EB、弧BA、线段EA围成的图形的面积等于圆面积的1/8.
即（扇形DAB-三角形DAB）+（扇形OBE-三角形OBE）+三角形ABE=圆面积的1/8
可以计算出DA值（弧AB的半径）和OA值。
这样分割线总长=4*弧AB+2*OA

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作者: lanjingling 时间: 2011-4-29 21:40:35

原帖由 西北天狼 于 2011-4-29 21:15 发表

120°是猜想，还是已经证明？还有n=4的情况，直观地想象弧线长度＞直线长度才符合实际！相当疑惑。

23楼的图中，计算数值比较复杂，但证明其分隔线总长度小于4r是容易的，证明过程中能够看出为什么要确定为120°夹角的原理。

作者: Cielo 时间: 2011-5-1 02:05:14

学习了！

圆弧（直线看作半径无穷大的圆弧）、120°、垂直这几个条件感觉都很自然啊！不过没想出来怎么证……

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