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标题: 两个超越数间的神奇关系 [打印本页]

作者: SURE_ 时间: 2011-6-11 00:09:14 标题: 两个超越数间的神奇关系

众所周知，π≈3.141592……
e≈2.71828……
不能通过多项式求根得到的无理数叫做超越数。
最著名的两个超越数，e与π之间存在一个关系：
π^4+π^5=e^6
大家可以用计算器验证一下。
希望高手告诉我此式的由来。

作者: 2frcat 时间: 2011-6-11 00:20:47

没学过能不能考虑用微积分算一下大概也就是解一个微分方程的事情吧。等楼下高人解法

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-11 00:26:56

楼主对超越数的概念错了吧？超越数是不能表示为代数式的数。五次方程就可能会有超越数的根。
并且这个结果是错的，明显是你家计算机位数太少。
真正的关系是
e^(π×i)+1=0

作者: r_517 时间: 2011-6-11 00:36:37

e^6-(π^4+π^5)=0.00001767.......，是著名的Almost Integer之一

作者: r_517 时间: 2011-6-11 00:39:20

3楼的公式是传说中的欧拉恒等式（中文是这么叫的吧？），把五个最常见的常数放在同一个表达式中出现

作者: woyujnss 时间: 2011-6-11 01:02:10

呃，我这个数学概念都不太好的人连e是啥都不知道……

作者: dkjiaoyang 时间: 2011-6-11 01:36:56

用Windows Mathematics计算一下。 QQ截图20110611014739.jpg

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作者: superacid 时间: 2011-6-11 03:21:28

易知等式不成立

作者: superacid 时间: 2011-6-11 03:31:22

另外，由Kronecker定理易知这种式子能找出无穷多个，精度可以非常高，不过不可能相等

作者: 华容道 时间: 2011-6-11 06:48:19

这个精度更高：

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作者: jeticlspp 时间: 2011-6-11 06:52:41

不对的吧，小数点后没几位就开始差了…

作者: 谢老师 时间: 2011-6-11 09:20:20

在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？　　

1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明e是超越数。　　

1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！　　

e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。　　在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。　　

同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。　　

1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。

π和e的无穷级数形式

　　有趣的是，π和e可以用无穷级数表示：　　π=4×(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…)=4×∑[(-1)^n/(1+2n)],n∈N 　　 π/2=2/1×2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9×… 　　π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9… (-1)/2n-1+…, n∈N 　　e=1/ (0!)+1/ (1!)+1/ (2!)+1/ (3!)+1/ (4!)+1/ (5!)+…=∑1/ (n!), n∈N

π的反正切函数形式
　　除了无穷级数形式，π还可以用反正切函数表示：　　π=16arctan1/5-4arctan1/239 　　π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239

作者: 谢老师 时间: 2011-6-11 09:22:38

π，在我国叫祖率、环率、圆周率等，在国外又叫鲁道夫数。　　

最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。　　以上都是古典方法计算π值。　　达什首先计算出π的准确的200位数字。　　值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。　　1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。　　1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。　　1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。　　π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。例如，1777年，法国数学家蒲丰做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张带有平行横线的纸，相邻横线距离为2cm，再准备很多长为1cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。

作者: 华容道 时间: 2011-6-11 11:20:07

π我在初中时背到小数点后200多位，现在只清楚记得100多位了

作者: 乌木 时间: 2011-6-11 11:45:59

近来大家关于放射性半衰期听得较多，这就是谢老师提到的自然界与“e=2.718281828...”有关的变化规律之一。
放射性核是各自独立没有相互影响的（不像“弹药库”等场合一炸都炸），一个放射性核何时衰变是随机的，但同种放射性核有个确定的平均寿命，大量同种放射性核的放射性强度随时间的变化是服从一定的统计规律的。
同一核素放射源，时间为0时，（相对）强度为1，随着时间的推移，强度不是直线下降的，而是按照指数函数e[sup]-x[/sup]规律下降的。当时间达到一个半衰期T[sub]1/2[/sub]时，强度正好为0.5；当时间达到两个T[sub]1/2[/sub]时，强度不是为0，而是0.25。依此类推。
不同的核素，T[sub]1/2[/sub]值不同。时间很长时，剩下的放射性核素的数目少到一定程度时，强度变化的统计规律的前提（大量的核素）没有了，那些“散兵游勇”引起的放射性强度的变化就没有规律可言了。

放射性强度I和时间t的关系为 I = I[sub]0[/sub] e^(-0.6931... t / T[sub]1/2[/sub]) ，I[sub]0[/sub]是时间为0时的强度。

指数下降曲线大致如下所示：
指数下降曲线.png

[ 本帖最后由乌木于 2011-6-11 15:54 编辑 ]

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作者: SURE_ 时间: 2011-6-11 22:26:08 标题: 回复 3# 的帖子

呵呵果然是高手、、看来我一直被某教授误导了……多谢指点

作者: 老熊 时间: 2011-6-23 17:30:36

π的ie次幂加1的和为0

作者: 华容道 时间: 2011-6-23 18:43:25 标题: 回复 17# 的帖子

e的iπ次幂加1的和为0

作者: fhw 时间: 2011-6-24 18:47:24 标题: 回复 3# 的帖子

这个我貌似学过不，不过有点不一样，e（πxi）=—1

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