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标题: 无穷电阻网络的问题 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2011-6-16 04:58:24 标题: 无穷电阻网络的问题

有一个无穷电阻网络如图所示，每个点之间的电阻都是1个欧姆，问AB两点之间的电阻这里给出了3种不同的情况。第一种应该是很常见的了，后面两种情况R（A,B）=？第一种情况，相邻的2点，比较简单

第二种情况，对角的2点，比较难

第三种情况，日字形的2点，应该很难

如果你能得出一般情况，也就是任意2点之间的电阻，那你可牛了。

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2011-6-16 05:00 编辑 ]

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作者: 极限蚂蚁 时间: 2011-6-16 06:14:13

应该可以把两点范围外的省略吧。

作者: hjt0619 时间: 2011-6-16 06:23:27 标题: 回复 2# 的帖子

应该不可以吧

作者: 耗子哥哥 时间: 2011-6-16 07:35:32

　　如果我中学物理还没忘的话，任意两点之间都应该是1欧姆。

　　电阻计算的原理是任意两点间阻值最小的通路，其他的链接都可以忽略不计。

　　图一就不解释了，直线，1欧姆。

　　图二，可以理解成这样：

┌□─□┐
┴□─□┴

　　简化一下就是：两个2欧姆的电阻并联，计算就可以忽略了吧？答案是1欧姆。

　　图三，日字可以理解成这个形式：

　┌□─□┐
┌┴□─□┴□┐
│　┌□─□┐│
┴□┴□─□┴┴

　　很容易就能理解，四个一组的可以按照图二计算得出那部分的阻值是1欧姆，简化之后就和图二完全一样了。

　　依此类推。

[ 本帖最后由耗子哥哥于 2011-6-16 07:56 编辑 ]

作者: tm__xk 时间: 2011-6-16 08:53:47

叫初中物理早已忘光的俺情何以堪....

作者: wpolly 时间: 2011-6-16 10:29:02

不得不说耗子你弄错了。。
只算最短的通路的话下面这种情况岂不是也得算1欧姆？
┌□─□┐
┴─□─┴

作者: superacid 时间: 2011-6-16 10:57:11

相邻两点是0.5Ω

作者: 耗子哥哥 时间: 2011-6-16 11:53:28 标题: 回复 6# 的帖子

哈哈，看来我的物理知识都还给中学老师了。

作者: 小明的马甲 时间: 2011-6-16 14:05:53

回楼主，这道题的常规解法请参考一本叫做《物理学难题集翠》的书，另外，除了相邻两点之外，建议LZ不要尝试去算别的值。。。很明确的告诉你答案里带各种无理数超越数的。。。我当年看了答案就没有了看解答的欲望。。。

作者: lulijie 时间: 2011-6-18 15:17:04

这个题目我没见过，我谈谈我的思路。
假设从A点和B点各引出一根导线与一电池相连，那么电流稳定后，假设各个节点处的电压为u(n,m)。
A点为原点，坐标为(0,0);B点的坐标为(0,1)。B点的电压设为0，即u(0,1)=0。
那么除了A点、B点外，其他点流入的总电流等于流出的总电流。
即 u(n+1,m)-u(n,m)+U(n-1))-u(n,m)+u(n,m-1))-u(n,m)+u(n,m+1)-u(n,m)=0
  也就是u(n,m)*4=u(n,m+1)+u(n-1,m)+u(n+1,m)+u(n,m-1)

对于A、B点，有流入A的总电流IA等于流出B点的总电流IB，即以下：
u(1,0)+u(-1,0)+u(0,1)+u(0,-1) -4*u(0,0)=4*(0,1)-(u(0,0)+u(0,2)+u(-1,1)+u(1,1))
即u(1,0)+u(-1,0)+u(0,-1) +u(0,2)+u(-1,1)+u(1,1)=3*u(0,0)
-----------------------------------------------------------------
总结上述：
即u(0,1)=0
  u(0,0)=(u(1,0)+u(-1,0)+u(0,-1) +u(0,2)+u(-1,1)+u(1,1))/3
  u(n,m)=(u(n,m+1)+u(n-1,m)+u(n+1,m)+u(n,m-1))/4    （其他n、m）
解出u(n,m)的含u(0,0)的表达式。
利用左右对称得：u(n,m)=u(-n,m)
----------------------------------------------------------------------------
最后所求的A、B点间的总电阻：等于u(0,0)/IB=u(0,0)/(u(0,0)+u(0,2)+u(-1,1)+u(1,1))

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-6-18 15:38 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2011-6-18 15:33:36

为了便于计算任意两点间的电阻，以下改设u(0,0)=0，即A点的电压。
另一点即B点(p,q)的电压为u(p,q)。有以下公式：

u(0,0)=0
u(p,q)=(u(p+1,q)+u(p-1,q)+u(p,q-1)+u(p,q+1)+u(1,0)+u(-1,0)+u(0,1)+u(0,-1))/4
u(n,m)=(u(n,m+1)+u(n-1,m)+u(n+1,m)+u(n,m-1))/4 （其他n、m值）

A、B点总电阻=u(p,q)/(u(1,0)+u(-1,0)+u(0,1)+u(0,-1))

作者: lulijie 时间: 2011-6-18 16:18:37

计算：A(0,0),B(0,1)间的总电阻。
为了利用左右对称和正负极对称，下面设u(0,0)=-w，u(0,1)=w。
u(n,m)=(u(n,m+1)+u(n-1,m)+u(n+1,m)+u(n,m-1))/4    （其他n、m值）
结合以下等式：
u(0,2)+u(0,0)+u(-1,1)+u(1,1)+u(-1,0)+u(1,0)+u(0,1)+u(0,-1)=0 A点的总流出电流等于B点的总流入电流
u(n,m)=u(-n,m)       左右对称
u(n,m)+u(n,1-m)=0    正负极对称
--------------------------------
计算各u(n,m)值。
最后总电阻=2w/(u(0,2)+u(-1,1)+u(1,1)-5w)

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