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标题: 正多面体的欧拉公式证明(不禁想到魔方) [打印本页]

作者: yeees 时间: 2011-7-11 13:07:53 标题: 正多面体的欧拉公式证明(不禁想到魔方)

不禁想到魔方，各种魔方，金字塔、五魔方等等。下面的证明是从别处找的，证明为什么正多面体只有5种：

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作者: 今夜微凉 时间: 2011-7-11 13:42:50

楼主从哪扫描来的文件。。。

作者: 轩恒 时间: 2011-7-11 14:04:43

围观。。。难道以后的正多边形的魔方都这样了？

作者: yeees 时间: 2011-7-11 14:22:05 标题: 回复 3# 的帖子

呵呵，不会的，这证明只是证明了正多面体，很多异形魔方都不是“正多面体”，但在某些面上，却称得上是“正多边形”。比如
“足球魔方”

再比如，某品牌的四阶菱边18面魔方
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[ 本帖最后由 yeees 于 2011-7-11 17:32 编辑 ]

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作者: tm__xk 时间: 2011-7-11 15:10:11

其实我想说..对像我这种连普通魔方都没见过几个的人来说..所有魔方的外部形状和转法都是靠看那么一两个图推出来的..
所以不是看着多面体的图想到魔方..是看着每个魔方的图反过来推算多面体..

作者: 耗子哥哥 时间: 2011-7-11 15:15:11

　　我一直没有搞清的一个概念：六个正三角型拼出的六面体，可以参考两个金子塔魔方共用一个面的形式，这样的六面体算不算正多面体？如果不算，哪里不符合正多面体的定义？

作者: tm__xk 时间: 2011-7-11 15:18:17 标题: 回复 6# 的帖子

不算.
其顶点不对称.
好比菱形并不是正四边形(当然也就是正方形).

作者: tm__xk 时间: 2011-7-11 15:27:52 标题: 回复 6# 的帖子

而且你举的这种连顶点处的棱数都不同..

ps.具体定义我不清楚..问度娘吧..我的理解是..最起码怎么看都应该是对称的吧..

作者: redcarrot 时间: 2011-7-11 15:28:50

原帖由 耗子哥哥 于 2011-7-11 15:15 发表
　　我一直没有搞清的一个概念：六个正三角型拼出的六面体，可以参考两个金子塔魔方共用一个面的形式，这样的六面体算不算正多面体？如果不算，哪里不符合正多面体的定义？

今天刚好想问这个问题，同问

作者: csgg 时间: 2011-7-11 15:29:44 标题: 回复 6# 的帖子

两个顶点是三面相交，还有三个顶点是四面相交…………

作者: csgg 时间: 2011-7-11 15:31:45 标题: 回复 6# 的帖子

正多面体每个顶点相交的面的数量应该是相等的……

作者: 帕尼 时间: 2011-7-11 16:01:48

资料详尽感恩

作者: 耗子哥哥 时间: 2011-7-11 16:23:51 标题: 回复 10# 的帖子

这个解释很透彻，感谢！

作者: 谢老师 时间: 2011-7-12 07:41:58

灰常好的数学资料，完美解释正多边形魔方！

下一步希望有对不同多边形组合的研究，例如足球！（平面里面叫做镶嵌）

作者: 乌木 时间: 2011-7-12 11:09:33

顺便介绍一下，有人如下这样证明。

一个凸多面体，顶点数为v，面数为f，棱数为e。
为了确定欧拉定理中的数E=v+f-e，设想一个用橡皮膜包起来的多面体模型，橡皮膜有一个面被剪掉，剩下的面的数目φ是f-1，所以E=v+φ+1-e。
将此剩下的曲面在一个平面上摊开，棱长和和角度都发生了变化，但v，φ和e不变。
证明欧拉多面体定理.png

每一个φ面都可以用对角线分成三角形，每条对角线使e和φ都增加1，即E保持不变。
如果在边界上将只属于一个三角形的一条边去掉，则e和φ都减少1，E仍然不变。
如果一个顶点和一条边不再属于某一个面，就把它们去掉，这样v和e都减少1，而E保持不变。
反复利用这些步骤，最后仅剩下一个三角形，此时v=3，e=3，φ=1，所以
E=v+φ+1-e=2 。
所以，v+f-e=2 是普遍成立的。

[ 本帖最后由乌木于 2011-7-12 11:27 编辑 ]

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作者: 42752277 时间: 2011-7-15 10:45:12

看到足球魔方了

.

作者: 琴剑书生 时间: 2012-3-21 21:28:54 标题: 回复 7# 的帖子

虽然时间过去很久了，这个符合规定，算的。他是正8面体

作者: 咖啡味的茶 时间: 2012-3-30 03:04:21

忽然想到欧拉公式在高维情况的推广。我发现一个非常简单可以证明欧拉公式的想法，甚至不需要什么高深的数学知识，也不需要很多情况分类：
要让一个多面体拓扑到一个平面上，我们需要先“取下”一个面，然后平铺到一个平面上（因为封闭的三维图形无法“平铺“）。然后在这个平面上，可以保持棱数，点数和面数不变。也就是我们需要证明，在平面上任何平面图形组合都满足V-E+F=1（因为取下了一个面，所以2被1代替）。
那么，一堆平面图形组合又可以看做是用某些方法分割了这个”多边形“。
首先，每一个多边形都满足V-E+F=1，因为V和E永远相等，F的数目是1。注意到，将线段分成两段需要一个点，将一个平面图形分成两块需要两条线段。假设我们任意分割这个多边形，我们需要用”点“分割线段，所以当E多了1，V也会多1，所以它们的差值不变；我们需要用”线“去分割面，所以当F多了1，E也会多一，所以它们的差值也不变。
所以，我们如何分割这个多边形也好，V，E，F永远满足V-E+F=1。
原命题得证。

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