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标题: 正多面体的欧拉公式证明(不禁想到魔方) [打印本页]

作者: yeees    时间: 2011-7-11 13:07:53     标题: 正多面体的欧拉公式证明(不禁想到魔方)

不禁想到魔方,各种魔方,金字塔、五魔方等等。下面的证明是从别处找的,证明为什么正多面体只有5种:
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作者: 今夜微凉    时间: 2011-7-11 13:42:50

楼主从哪扫描来的文件。。。
作者: 轩恒    时间: 2011-7-11 14:04:43

围观。。。难道以后的正多边形的魔方都这样了?
作者: yeees    时间: 2011-7-11 14:22:05     标题: 回复 3# 的帖子

呵呵,不会的,这证明只是证明了正多面体,很多异形魔方都不是“正多面体”,但在某些面上,却称得上是“正多边形”。比如
“足球魔方”
t.jpg
再比如,某品牌的四阶菱边18面魔方
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[ 本帖最后由 yeees 于 2011-7-11 17:32 编辑 ]

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作者: tm__xk    时间: 2011-7-11 15:10:11

其实我想说..对像我这种连普通魔方都没见过几个的人来说..所有魔方的外部形状和转法都是靠看那么一两个图推出来的..
所以不是看着多面体的图想到魔方..是看着每个魔方的图反过来推算多面体..
作者: 耗子哥哥    时间: 2011-7-11 15:15:11

  我一直没有搞清的一个概念:六个正三角型拼出的六面体,可以参考两个金子塔魔方共用一个面的形式,这样的六面体算不算正多面体?如果不算,哪里不符合正多面体的定义?
作者: tm__xk    时间: 2011-7-11 15:18:17     标题: 回复 6# 的帖子

不算.
其顶点不对称.
好比菱形并不是正四边形(当然也就是正方形).
作者: tm__xk    时间: 2011-7-11 15:27:52     标题: 回复 6# 的帖子

而且你举的这种连顶点处的棱数都不同..

ps.具体定义我不清楚..问度娘吧..我的理解是..最起码怎么看都应该是对称的吧..
作者: redcarrot    时间: 2011-7-11 15:28:50

原帖由 耗子哥哥 于 2011-7-11 15:15 发表
  我一直没有搞清的一个概念:六个正三角型拼出的六面体,可以参考两个金子塔魔方共用一个面的形式,这样的六面体算不算正多面体?如果不算,哪里不符合正多面体的定义?


今天刚好想问这个问题,同问
作者: csgg    时间: 2011-7-11 15:29:44     标题: 回复 6# 的帖子

两个顶点是三面相交,还有三个顶点是四面相交…………
作者: csgg    时间: 2011-7-11 15:31:45     标题: 回复 6# 的帖子

正多面体每个顶点相交的面的数量应该是相等的……
作者: 帕尼    时间: 2011-7-11 16:01:48

资料详尽 感恩
作者: 耗子哥哥    时间: 2011-7-11 16:23:51     标题: 回复 10# 的帖子

这个解释很透彻,感谢!
作者: 谢老师    时间: 2011-7-12 07:41:58

灰常好的数学资料,完美解释正多边形魔方!

下一步希望有对不同多边形组合的研究,例如足球! (平面里面叫做镶嵌)
作者: 乌木    时间: 2011-7-12 11:09:33

顺便介绍一下,有人如下这样证明。

一个凸多面体,顶点数为v,面数为f,棱数为e。
为了确定欧拉定理中的数E=v+f-e,设想一个用橡皮膜包起来的多面体模型,橡皮膜有一个面被剪掉,剩下的面的数目φ是f-1,所以E=v+φ+1-e。
将此剩下的曲面在一个平面上摊开,棱长和和角度都发生了变化,但v,φ和e不变。
         证明欧拉多面体定理.png
每一个φ面都可以用对角线分成三角形,每条对角线使e和φ都增加1,即E保持不变。
如果在边界上将只属于一个三角形的一条边去掉,则e和φ都减少1,E仍然不变。
如果一个顶点和一条边不再属于某一个面,就把它们去掉,这样v和e都减少1,而E保持不变。
反复利用这些步骤,最后仅剩下一个三角形,此时v=3,e=3,φ=1,所以
           E=v+φ+1-e=2 。
所以,v+f-e=2 是普遍成立的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-7-12 11:27 编辑 ]

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作者: 42752277    时间: 2011-7-15 10:45:12

看到足球魔方了



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作者: 琴剑书生    时间: 2012-3-21 21:28:54     标题: 回复 7# 的帖子

虽然时间过去很久了,这个符合规定,算的。他是正8面体
作者: 咖啡味的茶    时间: 2012-3-30 03:04:21

忽然想到欧拉公式在高维情况的推广。我发现一个非常简单可以证明欧拉公式的想法,甚至不需要什么高深的数学知识,也不需要很多情况分类:
要让一个多面体拓扑到一个平面上,我们需要先“取下”一个面,然后平铺到一个平面上(因为封闭的三维图形无法“平铺“)。然后在这个平面上,可以保持棱数,点数和面数不变。也就是我们需要证明,在平面上任何平面图形组合都满足V-E+F=1(因为取下了一个面,所以2被1代替)。
那么,一堆平面图形组合又可以看做是用某些方法分割了这个”多边形“。
首先,每一个多边形都满足V-E+F=1,因为V和E永远相等,F的数目是1。注意到,将线段分成两段需要一个点,将一个平面图形分成两块需要两条线段。假设我们任意分割这个多边形,我们需要用”点“分割线段,所以当E多了1,V也会多1,所以它们的差值不变;我们需要用”线“去分割面,所以当F多了1,E也会多一,所以它们的差值也不变。
所以,我们如何分割这个多边形也好,V,E,F永远满足V-E+F=1。
原命题得证。




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