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标题: 向大烟头等人解释什么是48同态 [打印本页]
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2011-7-13 11:58:56     标题: 向大烟头等人解释什么是48同态

我感觉，大烟头，乌木，忍大师对24同态应该已经比较认可。
对48同态的不认可也主要是因为对“镜像状态”的不认可。下面我争取一个帖子解释一下什么是镜像状态。

镜像状态我的定义：

对于状态A，任取达到状态A的一个公式G。
取G的镜像公式G' (比如如果G=FRUR’U‘F’，则G‘=F’L‘U’LUF)
则 G' 所对应的魔方状态 A’ 即为状态A的镜像状态。
注：这个定义只是为了方便大家理解，更准确的定义我会贴在本文最下面。

从上面定义可以看出：
1) 镜像状态不是魔方在镜子中的状态，而是针对镜像公式而言的。
2) 镜像状态是通过公式G'转动得到的，所以镜像状态都是合法状态，而不是不可能达到的状态。

问题一：镜像状态是否唯一？
答：由于上面定义中镜像状态是通过转动定义的，而对于一个状态A，存在无穷多个公式G，那么是不是每一个G‘都对应同一个A’呢，还是对于某个状态会产生无穷多个A‘？
这个问题在我的定义下确实证明起来比较麻烦，但结论是肯定的。即对于一个状态A，对于它的任意一个公式G，G’均对应同一个状态。

问题二：镜像状态能否与转动序列无关？
上面的定义中，镜像状态是定义在转动序列之上的，但是对于给定的一个状态，如果不知道它的转动序列，或者能否不通过求它的转动序列而直接得到它的镜像状态呢？
答：答案是肯定的。使用转动序列来定义镜像状态只是为了方便理解，实际上求一个状态的镜像状态确实是与转动序列无关的（甚至连装错的状态也可以定义镜像状态）。


附：CubeExplorer的帮助文档中对48同态的定义（其中，S_LR2就对应与镜像状态）：
For each cube there are up to 48 equivalent cubes, because the cube has 48 symmetries including reflections. In Cube Explorer, these 48 symmetries are generated by four "basic" symmetries:
S_URF3, a 120 degree turn of the cube around an axis through the URF-corner and DBL-corner,
S_F2, a 180 degree turn of the cube around an axis through the F-center and B-center,
S_U4, a 90 degree turn of the cube around an axis through the U-center and the D-center
S_LR2, a reflection at the RL-slice plane.
These basic symmetries are permutations of the corners and permutations of the edges and are described in cubedefs.htm.
Any of the 48 symmetries is uniquely generated by the product
(S_URF3)x1 * (S_F2)x2 * (S_U4)x3 * (S_LR2)x4
with x1 from 0..2, x2 from 0..1, x3 from 0..3 and x4 from 0..1. This tuple (x1,x2,x3,x4) is mapped to a natural number from 0..47 by
16*x1 + 8*x2 + 2*x3 + x4
In this way each of the symmetries has an associated index from 0..47. With S(i) we denote the symmetry which belongs to the index i.
Two cubes with the permutations A and B are equivalent if and only if there is an i with
S(i)-1*A*S(i) = B
All cubes which are equivalent, belong to the same equivalence class.
In Cube Explorer the S(i) are implemented in the arrays CornSym and EdgeSym in the unit symmetries.pas
作者: Caro    时间: 2011-7-13 12:07:32

镜像懂了 ，  48同态正在学习 ，楼主的定义很高深哈  坐沙发上研究各位的理论吧.....
          Ps：不慎灌水..... 灌水有罪  ，被扣分了          重新发帖

[ 本帖最后由 Caro 于 2011-7-14 11:49 编辑 ]
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:09:10

我们前面在讨论循环变换，跟48同态是什么关系？
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:11:46

根据你的定义F=U，F‘=U’，始态都是复原状态，用你的说法，难到F与F‘是相似变换？如果是，请你将F‘表述为XFX‘

[ 本帖最后由 smok 于 2011-7-13 12:13 编辑 ]
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2011-7-13 12:12:13     标题: 回复 3# 的帖子

大烟头在回帖中提出了疑问。为了区别与循环变换，所以我新开了帖子解释。
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2011-7-13 12:13:29     标题: 回复 4# 的帖子

能否给出相似变换的精确定义，我好解释。
如果只是帖子中的说法的话，那么：
S_LR2[sup]-1[/sup] U S_LR2 = U'
S_LR2的定义请看CubeExplorer的帮助文档。

回楼下，为什么要有关？我这里只是解释一下什么是48同态。关于循环变换的讨论在原帖中进行即可。

[ 本帖最后由 铯_猪哥恐鸣 于 2011-7-13 12:16 编辑 ]
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:15:16

你是说，你在此的讨论与循环变换无关？
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:16:41

你还是直接表述成相似变换的终极方式：XFX‘
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2011-7-13 12:17:54

楼上。。请给出相似变换的严格定义。
另外S A S-1 和S-1 A S有很大的区别？
作者: Iam氯化钠    时间: 2011-7-13 12:18:49

一开始以为是什么东西呢。。。
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2011-7-13 12:19:49     标题: 回复 10# 的帖子

= = 是啊就这点东西都好多年了还没解释清楚。。。哎。。。
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:25:04

相似变换：有公式F，f及f的逆公式f',则将F不变的所有fFf'称着关于F的相似变换
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:28:21

公式F=AB，BA=A‘ABA=A’FA，所BA一定是AB的相似变换，这就是循环公式组的所有秘密
作者: smok    时间: 2011-7-13 12:30:09

你一楼的二个问题都需要证明，而不是假定。此外，你的定义跟48是如何扯上关系的？是不是24+24个镜像？

[ 本帖最后由 smok 于 2011-7-13 12:32 编辑 ]
作者: Cielo    时间: 2011-7-13 12:45:14

之前就说过这个给个例子就容易理解了……
FRUR’U‘F’ <--> F’L‘U’LUF
建议铯不要用 G' 来表示 G 的镜像，因为大家都用 ' 去表示逆了……

对应关系：
F<-->F'
B<-->B'
U<-->U'
D<-->D'
L<-->R'
R<-->L'
作者: rubik-fan    时间: 2011-7-13 13:57:05

楼主的定义，是我一直以来的理解。
支持一个。
作者: pengw    时间: 2011-7-14 08:09:09

楼主定义同态的概念,可能的用途就是优化搜索,而不是理论推导最短公式,也就是说,48同态还是服务于穷举算法,楼主认同这个说法否?如果真是这样,那么,帮助是不大的,面对天文单位的状态数,减少二个数量级,几乎也是不痛不痒的事,况且,穷举算法现在已经出结果了,要想创新,只能偿试理论直接推导,直接推导的理论又是什么?循环变换?错,循环变换还要最短公式来定义自身而不是推出最短公式.最小步理论区面临干尴尬的局面，能做的别人都做了，难做的几乎看不到希望，努力

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-7-14 08:14 编辑 ]
作者: 大烟头    时间: 2011-7-14 08:39:25

24同态是指魔方在盒子中有24种放入的状态，魔方是同一个状态。主要是表现在以魔方外为参照计算魔方总状态时，其结果会出现这24同态的情况。

楼主所说魔方的48同态，这48种状态根本就不是同个一状态，我是不知道英文中是否也是称为“同态”，这种把这48个状态看成一个集合，应该是为了计算机计算魔方最少步时减少些计算量。

为何需要这48同态的定义，目的是什么要交待清楚
作者: pengw    时间: 2011-7-14 11:17:16

楼上说得有道理,楼主只定义了一个状态的镜像状态,根不是你标题宣称的什么48同态,你在忽悠大烟,pengw,乌木?请说楚你要解释的48同态的严格定义

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-7-14 11:20 编辑 ]
作者: pengw    时间: 2011-7-14 11:26:16

楼主凭什么确认魔方24种放置方法就一定能得到24个互不相同的镜像状态而不是同一个状态?如果仅仅只是A-->B的镜像,凭什么称着48同态?
作者: pengw    时间: 2011-7-14 11:41:13

基于转动定义的镜像状态包含的危机:

--------

设初态为S0,有公式Fx及其镜像公式F'x,1=<x<=n,n>=2
如果： S0->Fx->S1
则   ： S1->F'x->S2      一定成立？如何证明，如果证明了，则状态与其镜状态状态是公式无关，且一一对应。如果不能证明，则镜像定义失败。

---------

如果任意状态与其镜像状态一一应，则魔方的24种摆法对应同一种状态，即每个状态只有一个镜像，那么，48同态又是什么意思？

--------

楼主至今的描述，只能算是忽悠，请给大烟头，乌木，pengw一个真正的说法

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-7-14 12:19 编辑 ]
作者: Cielo    时间: 2011-7-14 14:38:45

原帖由 大烟头 于 2011-7-14 08:39 发表
…
楼主所说魔方的48同态，这48种状态根本就不是同个一状态，我是不知道英文中是否也是称为“同态”，这种把这48个状态看成一个集合，应该是为了计算机计算魔方最少步时减少些计算量。

...


正如您所说，所谓“48同态”是“为了计算机计算魔方最少步时减少些计算量”。
“48同态”的定义，我的理解是这样的：
对于一个状态A，可以由复原态上做一个公式a得到。
而魔方的放置方式有24种，每一种放置方式做这个公式a就得到24个状态了，再加上它们的“镜像状态”就得到“48同态”。
如有错误，还请铯更正。

其实有些状态，其产生的“48同态”集合里面的不同状态数是小于48的。最极端的就是复原态了，它的“48同态”就都是复原态。
作者: smok    时间: 2011-7-14 15:40:41

上楼请看22号，镜象状态是一对一关系，而24个方位对应同一状态，也就是24对一个镜像才对，否则镜像定义就破产了

[ 本帖最后由 smok 于 2011-7-14 15:45 编辑 ]
作者: smok    时间: 2011-7-14 15:46:09

真没想到，最小步理论区的关键概念和定义都大有问题，这还怎么个玩法？
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2011-7-14 16:15:34

大烟头，忍大师。。。你们一定没看英文吧。。。难怪会有各种问题。。。

我记得我说了，我的定义只是为了便于理解，更精确的定义请看英文。。。
作者: smok    时间: 2011-7-14 17:18:28

我们英文很差，麻烦你把定义准确翻译一次
作者: 小鱼宝儿    时间: 2013-8-19 11:56:34

大烟头 发表于 2011-7-14 08:39
24同态是指魔方在盒子中有24种放入的状态，魔方是同一个状态。主要是表现在以魔方外为参照计算魔方总状态时 ...

我的心声啊！
作者: 小鱼宝儿    时间: 2013-8-19 12:43:55

本帖最后由 小鱼宝儿 于 2013-8-19 19:09 编辑

各位大师在此，我就现一下丑....
首先我想知道引入48同态的目的。在这之前，我想知道什么是同态。
根据我自己的理解，我对“同态”有两个定义不知到哪个是对的，
一、在所有魔方状态中（约24*4.3*10^19个），如果两个状态仅仅通过x,y,z，x',y,'z'这6个字符组成的公式（即仅通过魔方整体转动，而不进行拧动）便可相互转换，那么这两个状态为同态。不难知道，对于任何一个状态，都有23个状态与其同态，所以说24同态是有道理的。
二、在研究上帝之数为多少时，我们应该这样做，把所有状态的最少步步数都写出来，找到最大的那个为上帝之数。但我们不必这么麻烦，我发现任意一个状态的最少步被计算出来后，会有好多与其有联系的状态根本无需计算，那些状态的最少步步数和已经计算出来的这个状态的最少步步数一样。比如说，上面的24同态，只需计算出来一个，其他23个无需计算。但对于一个状态来说，计算出来他的最少步步数后，不仅仅是其他23个不必计算，还有好多，比如楼主说的镜像状态，虽然不在这23个状态内，但也无需计算。另外加上其他23个状态的镜像状态，便是47个状态无需计算。这样48同态也是有道理的。这里同态指，若一个状态的最少步步数被计算出来后，另一个状态无需计算，可直接证明其最少步步数与已经证明出来的相同，则这两个状态同态。
若按照第二种解释，我认为就不仅仅是48同态了。
15楼有一个公式计算函数：
对应关系：
F<-->F'
B<-->B'
U<-->U'
D<-->D'
L<-->R'
R<-->L
如果从复原状态出发，通过两个公式到达两个状态，且这两个公式有以上对应关系，那么这两个状态为镜像状态。我是如此理解镜像状态的。既然如此，我想问一下为什么要有上述对应关系？大家不妨看一下这个，htt p://bbs.rubik.com.cn/attachments/1302112258d4b277a8ed5ef5ad.jpg.thumb.jpg..............................
这里给出了另一个对应关系。
如果两种对应关系都考虑，岂不是96同态了？
当然类似对应关系还很多，有12！个。
是不是可以说有24*2^（12！）同态？
作者: 黑白子    时间: 2013-8-20 10:58:40

48同态的定义是仅仅针对2、3阶魔方呢，还是可以扩展到更高阶魔方？扩展到高阶魔方是否需要更多的代换？
作者: ggglgq    时间: 2013-9-5 12:58:16

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-5 13:08 编辑

　　
　　
  
    我总觉得，有很多东西需要“悟性”，而非楼主的“苦口婆心”地解释或讲解。 对于外行人来说，
  
“反复讲解”无异于“越抹越黑”。比如 28 楼的高论，让我很无语...... 而本主题中的“被讲解对象”
  
的反应，也让我很无语......  再想想我当初花了 100 余楼给 乌木 解释的结果，更让我很无语......
  
        http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6220
  
    因此，人的“悟性”很重要！
　　
　　
　　　　
　　
　　
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-7 12:57:48

ggglgq 发表于 2013-9-5 12:58
　　
　　
  

楼上链接那个帖子已面目全非了，能否整理或更新解释一下？
作者: ggglgq    时间: 2013-9-7 13:22:37

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-7 13:27 编辑

　　
　　
　　
  
    噢，我目前不打算整理我以前在论坛中发表的任何帖子。因为论坛中竟然有人宣称要
  
对我本人 诉诸法律 解决问题，因此我本人在论坛中发表的所有帖子，我不会做任何修改
  
（除了当时发帖的时段）。论坛中的帖子被修改了，会“授人以柄”的。    抱歉了！
　　
　　
　　
　　
　　　　



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