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标题: 二阶的状态数的怀疑 [打印本页]

作者: 冰七灵 时间: 2008-4-25 22:03:31 标题: 二阶的状态数的怀疑

这里所指的二阶是2X2X2阶。
 
我在论坛里找了好久，发现大部分人认同二阶魔方的状态数有3674160种。
 
算法是7的阶乘再乘以3的6次方，即 7!x3^6
 
3的6次方在这里是什么意思？意思是用6种颜色填充3个小面。3的6次方等于729，包括了全部的情况。
仔细想想这样对吗？我认为是错误的，试问有以下这样的角块吗？
 
白黄绿、蓝绿红、橙红黄……
（标准魔方颜色上白下黄左蓝右绿前橙后红）
 
这样的角块是不存在的，所以用3的6次方是错误的。
 
大家觉得我说的对不对？请多多批评指正，我们一起讨论。
 
再来说说我的算法，因为二阶魔方只有8个角块，而角块的特性告诉我们，角块都是唯一的，因为每两个角块之间至少有一个小面的颜色不同。每个角块的位置可以有8个，那么我们先得到了一个8的阶乘。而每个角块在自己的位置处又有3种变化。所以我认为二阶魔方的状态数是8的阶乘再乘以3，即 8!x3 ，共120960种。
 
有人要问了，你怎么只乘以3呢？答：角块是唯一的，8的阶乘中已经包含了这个唯一性。
 
朋友们，对于我的二阶魔方状态数的算法，我没有多大的信心，我不敢保证它是正确的。但我比较确信 7!x3^6 是错误的。朋友们，如果我证明错了，就来反驳我吧，让我知道自己错在哪了。谢谢大家啦。
 

[ 本帖最后由冰七灵于 2008-4-25 22:06 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:01:51

“3的6次方在这里是什么意思？意思是用6种颜色填充3个小面。”
 
这样理解好像很别扭，角块的色片贴牢之后不能再变，变的是角块的色向－－色片随角块基体一起转向，每个角块有3种色向，8个角块随机、自由、无魔方规律制约地组装的话，共有3×3×3×3×3×3×3×3＝3^8个由色向引起的倍增数，但魔方转动时，最后一个角块的色向只有一种可能，故色向倍增数为3^7。二阶角块位置经转动魔方而得到的排布的总数为8！，故8！×3^7 / 24＝3674160。其中除以24是消同态。

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-25 23:51 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:07:06

至于有的表达式为7！×3^6那是把上述8！×3^7/24的分母拆为8×3，得到7！×3^6，只是表观的形式！

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-25 23:11 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:18:46

“ 8!x3 ”
 
这算法只保留了一个角块的色向自由度，排除了另6个角块的色向自由度，不合理。第一个角块有了3种色向之后，第2～第7角块共6个角块每个都有3个自由度，唯有第8个角块仅有1个色向，故应该×3^7。
第8角块的色向可能性为1，但并非固定某一色向，而是，要么为0；要么为1（逆时针转了一下）；要么为2（顺时针转了一下）。究竟是什么取向，只要满足8个角块的色向和为零即可。

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-25 23:52 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:24:48

有的计算声明不消同态，即不除以24，则得到88179840。这和3674160的结果毫无冲突的，前提不同而已。

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:34:51

“怎么只乘以3呢？答：角块是唯一的，8的阶乘中已经包含了这个唯一性。”
 
角块确是各自唯一的，即，没有相同的两个角块，但是头7个角块各自都还会有3个色向，每角的三色向是相互独立的，没有任何相互制约的什么东西。唯一制约的是，经由转动魔方而改变色向时，第8角块的色向没自由，要听命于头7个角块。
 
等价地，另一角度表述这性质：任何状态的魔方无法单独改变一个角块的色向而不牵连别的角块！

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-25 23:53 编辑 ]

作者: 冰七灵 时间: 2008-4-25 23:48:06

你的3^8和8!都包含了角块的位置关系，这样不重复了吗？而且是乘法。

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:49:38

比如，两个小朋友，位置不再变，但可以正坐（0），可以右倒（1），也可左倒（2）。
 
无制约的话，共有3×3＝9种状态：0－0，0－1，0－2，1－0，1－1，1－2，2－0，2－1，2－2。
 
有制约的话－－要么都正；要么一右倒一左倒，不许两右倒，也不许两左倒，则只有3×1＝3种状态：0－0，1－2，2－1。粗心一看，第二位好像也是三种坐姿都有，但是完全听命于第一位！
 
如果再考虑位置可变，该怎么算态数？请思考。

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-26 00:03 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-25 23:58:35

原帖由 冰七灵 于 2008-4-25 23:48 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=119844&ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 你的3^8和8!都包含了角块的位置关系，这样不重复了吗？而且是乘法。

对，包含了不同位置态。魔方态之变化包括位置和色向两种因素。至于为什么两者要相乘？不做乘法也完全可以，用加法代替乘法嘛！只要不感到麻烦即可。

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 00:00:47

我感到楼主的思路一定被什么东西“别住”了，看来只有和您不断探讨中才能解脱。请尽管问好了。

作者: 冰七灵 时间: 2008-4-26 00:02:53

大体明白了，可能是某些文章说法有些错误。
 
我觉得应该这样说
 
8!给8个角块全排列，和角块位置有关系。
 
3^8让每个角块在当前位置有3种状态，但3^8和角块位置没关系。而一共有8个“3种状态”，所以是3^8。
 
这样就好多了，一个管位置，一个管位置状态。
 
最后所有位置的所有变化就是8!x3^7/24，谢谢你了。
 
请问24是怎么得出来的？

[ 本帖最后由冰七灵于 2008-4-26 00:08 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 00:18:24 标题: 回复 11# 的帖子

任一态通过魔方的整体旋滚（不转任何层）有24种方位，有的计算把这24种看上去不同模样的图像算为一种状态，故总态数还要除以24。有的则不除。相当于魔方不动，观察者围观它，有的说没新花样；有的说有24种花样。前提不同，不矛盾。

作者: 大烟头 时间: 2008-4-26 00:18:38

魔方的变化可分解为：位置变化与色向变化
 
我就顺着楼主的观念说一下：
 位置变化：二阶魔方任意两个块的是可以独立相互交换位置的，所以用8的阶乘8！表示二阶魔方的位置变化。
 
色向变化：二阶魔方一个角有3个色向变化，但一个角块是不可能单独进行色向变化，也就是说当二阶魔方7个角块的色向确定后，最后一个角块的色向是固定的。所以二阶魔方的色向变化为3的7次方。
 
二阶魔方的总状态数是8！×3^7吗？这是不对的。因为整体转动二阶魔方，魔方上所有的块相对位置与色向都是不变的，整体转动魔方是有24个状态，这24个状态也称为同态，所以二阶魔方的总状态数为8！×3^7/24
 
或者计算时直接以其中一个块为参照，去计算其它7个块的全部变化，很容易就会得到7！×3^6这个答案了。

作者: Cielo 时间: 2008-4-26 00:20:31

关于24的最通俗的解释： 一个魔方，要把它放在桌上，6个面中可以选一个作为底面（也就是与桌子接触的面），然后放下后，侧面的4个面中可以选一个面朝向你自己。于是一个魔方就有24种放法。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2008-4-26 00:22 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 00:26:33 标题: 回复 13# 的帖子

中！13楼最后对7！×3^6这一表述给予了又一种解释！此时就没有消（24方位的）同态问题了，某一参照物角块被固定了，它的位置动不得（至于该参照角块本身的色向引起的问题见下面几楼），则经过转动魔方而得到的态数为7！×3^6。

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-26 15:51 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 10:34:12

现在轮到我犯迷糊了，请教各位。
 
有人问过，不计各角块在同一位置上有色向之别，只看二阶角块的位置引起的态数。冬兄和noski兄都说是（8！/ 24＝）1680个；现在烟兄对7！×3^6作出了解释。我问：如何由表达式7！×3^6来回答上述问题得到1680？
 
凑答案的办法是7！/ 3 ＝1680。这就好像是说，参照角块虽被固定，无位置变化，但其色向还是可以有3种可能。
 
我的问题是，参照角块的色向变化怎么会影响二阶的、仅由角块位置变化所引起的态数呢？我总觉得二阶不计各块色向的、仅由位置变化引起的态数是 7！＝5040，不是1680。对吗？请教，请教。
 
我觉得这问题就是问下图这种魔方的态数（无论如何就地翻各角块的颜色，看不出状态变化），是否应该为5040，而不是1680？
 不计色向的二阶.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-26 11:00 编辑 ]

附件: 不计色向的二阶.GIF (2008-4-26 10:41:23, 2.08 KB) / 下载次数 47
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTU0NzV8NzhkYzM0MDV8MTc0MDMxMjQ1MnwwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 11:27:25

我这里先设法看看能否自我解脱。
 
比如16楼那特种“魔方”，若以周围环境为参照物，则其状态数为8！/ 24 ＝1680；若以某一块（比如红色块）为参照物，它虽然处于“1号位”不得移位，但是魔方整体还是可以红角和紫角之间的“体对角线”为轴（属于“三次对称轴”）作旋转，故7！/ 3 ＝1680，这里的除数3并非红块本身的、单独的色向变化，而是魔方整体的旋转－－以体对角线为轴的、每次转120°的动作。由此引起的表观图像变化应该是同态变化，这除以3也是一种“消同态”。
 
所以，冬兄和noski是对的，并且，用式子7！×3^6（即参照物为某一角块）同样可以得到那问题的答案1680。
 
那么，在算（位置有变和色向有变的）总态数时，7！×3^6＝3674160，应该没同态了；但是在只算位置有变时的态数时，又爆出个魔方的“整体斜转”，为此得到7！/ 3＝1680。所以，我剩下的问题是，怎么会从“没同态了”爆出另一种（“三次斜转”）同态的？
 
请教各位了。

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-26 12:19 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-4-26 13:04:43

这些问题应该没有再讨论的必要

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 13:12:34

莫非对7！×3^6 ＝3674160 应该作这样的解释？即，固定一块的位置并作为参照物之后，虽然没有24方位的变化了，但还有上述体对角线为轴的三次旋转同态，而色向引起的乘数因子还是为3^7，故总态数为（7！/3）×3^7（＝1680×2187＝3674160），再变为7！×3^6（＝3674160）。即，位置变化和消同态后为1680，色向变化为2187，不要去解释7！是何意，也不要解释3^6是何意，那7！×3^6纯粹是运算的中间结果！
 
对不对？

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 13:19:49 标题: 回复 18# 的帖子

也许是的，至少不必在理论区再讨论的了。
 
我只是顺便借楼主的帖子，想尽量对7！×3^6这一式子的含义弄弄明白。
 
看来，换参照物不是容易的事。

作者: pengw 时间: 2008-4-26 15:11:50

8！*3^7/24=8!*3^7/(3*8)=7!^3^6,只要理解左式，无须理会右式

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 15:53:18 标题: 回复 21# 的帖子

哈，倒也干脆！……………………

作者: pengw 时间: 2008-4-26 16:14:11

回22楼：
分析可知，提问者要么对魔方结构不理解，要么对变换不理解，所以问题很怪。一个单纯的算式并不说明什么问题，关键是计算原理，至于将色片拆下来再组织，有创意，但与魔方变换无关，曾一再提醒不要掉进着色游戏中，前段时间大王还在痛斥某个“中华民族的爱因斯坦“在玩着色游戏。

作者: pengw 时间: 2008-4-26 18:48:41

二阶计算原理： 1。簇内变换状态数A=8！/2 2。扰动关系数B=2 3。每一个置换状态下色向组合数C=3^7 4。同太因子D=24 总状态数T=A*B*C/D=8！*3^7/24=7!*3^6 -------------------- 明白计算原理，须要理解N阶定律。

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 18:50:21

新手或如我这样的半吊子加外行，问些怪问题或说些糊涂话，难免，也不必奇怪。但愿各位魔友多多少少在本论坛中得到提高，找到乐趣。

作者: Cielo 时间: 2008-4-26 19:15:15 标题: 回19楼

乌木先生说得对，除以3就是因为保证一个角位置不变，仍然有3种放法！ 忍大师认为没必要讨论这个，但这个问题可以作为一个简单的例子，让大家更了解原理啊！

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 19:24:37

原帖由 pengw 于 2008-4-26 18:48 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=120233&ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 二阶计算原理：1。簇内变换状态数A=8！/2；2。扰动关系数B=2；3。每一个置换状态下色向组合数C=3^7；4。同态因子D=24；总状态数T=A*B*C/D=8！*3^7/24=7!*3^6--------------------明白计算原理，须要理解N阶定律。

哈，我又耐不住了，试着解读解读。
 
8！/2 的意思：8个角块在8个位置中的的排列数为8！其中一半是扰动态－－无法经三轮换公式复原位置的态，它们最后会变成仅仅两个角块要求互换的状态；另一半是非扰动态－－可以经三轮换公式复原位置的态。这两种都会出现的态合计就是A×B＝（8！/2）×2＝8！。
 
这8！个态的每一个都有3^7×1个由于各块就地色向变化引起的不同态。最后一个块的色向只有一个可能性，才能满足整个魔方的色向和为零，故有个因子为×1。3^7×1＝3^7。
 
魔方的每一态都有24种取向，如果看作同一态的话，计算至此的态数8！×3^7之中有23/24的“水分”，必须排除重复统计，故除以24即得最后的总态数。
 
 
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-26 19:30 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-4-26 21:48:59

说得很对，本质上，状态数的计算方法（依据于N阶定律中的变换原理）是对N阶定律表达的变换原理最严格的检验，一个以预言正确状态为已任的定律，如果不能正确预言状态数，将是十分可笑的。还好，N阶定律非常幸运，正如一个以最小步为已任的什么理论，不能预言任意状态之间的最小步，将是十分可笑的。N阶定律在自已邻域的预言至今为止，都是成功的，我感到很欣慰。下一步，将增强N阶定律的可读性。正在做。

作者: 乌木 时间: 2008-4-26 22:32:09

原帖由 Cielo 于 2008-4-26 19:15 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=120269&ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 乌木先生说得对，除以3就是因为保证一个角位置不变，仍然有3种放法！

您且慢这么说。上面我所说的什么为了消除绕体对角线旋转造成的同态要除以3云云，还是讲不通－－那三种同态还是属于24同态之中的，既然7！×3^6＝3674160已经没有24同态了，何来的三个另一种同态？
 
看来，要么把无色向变化只有位置变化的二阶的态数问题留着慢慢琢磨；要么如冬兄说的根本不去理会7！×3^6这一中间结果！只要理解8！×3^7/24即可！

作者: Cielo 时间: 2008-4-26 23:56:47

呵呵，乌木先生不要认为24同态是个什么特殊的东西。 24同态的直观意思就是一个魔方有24中摆法（如果是五魔方的话估计同态数就稍微多点了吧，但也可以有个“多少多少同态”的）；如果我们已经固定一个角块放在左上前这个位置了，那就只有3种摆法了啊！

作者: pengw 时间: 2008-4-27 06:33:08 标题: 正确理解24同态

偶阶魔方的层转动可以构成魔方整体转动的等效，即整体转动得到的状态，相对块间参照是同一状态，相对坐标参照是不同状态。状态计算是相对坐标参照得到结果，所以要除以24。奇阶魔方的层转动不能构成魔方整体转动的等效。 -----------------
本质上，由于偶阶内部找不到可以用于块运动的参照物，所以须要外部坐标。奇阶由于中心块间相对位置不变换，可以用着其它块的运动参照，外部坐标可以用，但不是必须的。相对参照系，偶阶魔方的层转动可以构成魔方整体转动的等效，奇阶不能。这就是偶阶要除24的本质原因。
 
魔方状态：块之间的相互参照关系构成一个魔方状态，正如地球地理状态是板块之间相互参照关系决定的，不会因地球转动而改变。参照系的作用仅仅是，为了方便描述魔方变换性质和进行相关计算。
-----------------
此前一个自称“中华民族的爱因斯坦”的GGGLGQ大师用魔方整体转动改变魔方状态来批驳N阶定律，十分可笑，照他的说法，魔方完全可以用脚踢着玩，称着魔方足球，队长：GGGLGQ。这样的人也叫大师，实为理论界的耻辱。
-----------------
 注：三维坐标O点，在魔方几何中心，坐标架设以不影响魔方状态表达（错误架设将使得一些状态转不出来）为原则。
 

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-4-27 06:54 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-4-27 08:51:13

原帖由 Cielo 于 2008-4-26 23:56 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=120528&ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 呵呵，乌木先生不要认为24同态是个什么特殊的东西。24同态的直观意思就是一个魔方有24种摆法（如果是五魔方的话估计同态数就稍微多点了吧，但也可以有个“多少多少同态”的）；如果我们已经固定一个角块放在左上前这 ...

嗯。参照变换，相应的算法也要变，并且不能混淆两种算法。那问题的一种算法为 8！/ 24＝1680；座标变换后的算法为 7！/ 3＝1680。
 
此外。楼上冬兄的叙述蛮要紧，建议补充补充后作为另发的一个新帖。

作者: pengw 时间: 2008-4-27 09:37:58

乌兄又在忽悠，8！/24=8*7！/（3*8）=7！/3，应该跟坐标无关。计算结果的实质是，块所有可能的位置相互参照关系，但不含色向表达。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-4-27 09:40 编辑 ]

作者: 真知不易 时间: 2008-4-27 10:00:48

错误的装配会使魔方无法复原，那其实就是说有些状态是怎么转也不会出来的，那就是说有些状态计算当中有，实际上是没有的。

这难道不象一只蛋的家当？算起来很多，道理上也说得过去，如果跳不出来，一只蛋谁也是赔偿不起了。

作者: pengw 时间: 2008-4-27 10:20:03

错，大错。计算依据的原理，都来自合法变换性质。只有不理解计算原理的人，认为计算原理，是手工拿着块进行组装而计算出来的组合数，这个计算结果对二阶来说是：8！*3^8.更有甚者认为：六面，各有4个转动结果，所有状态数是：2^12,这可不是用来笑话别人的结果。如这还不算笑话，那2^12就意味着解决了最小步这个世界级难题，谁错了？ ------------- 有时不能太想当然地将自已的意志加在魔方上，搞出一个4^6这样一种可笑的结果，先玩而不是先猜，魔方性质最好让魔方来告诉你，不是你来告诉魔方。 

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-4-27 10:28 编辑 ]

作者: 真知不易 时间: 2008-4-27 11:34:52

难道说没有错误装配导致魔方无法复原的问题？或者说二阶魔方没有这个问题？

[ 本帖最后由真知不易于 2008-4-27 11:36 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-4-27 12:35:45

当然有，魔方变换定律显然不是指“魔方手工拆装组合定律”，魔方生产工艺多种多样，36楼是否认为魔方变换定律应该由工艺来决定？我认为，如果用组装来玩魔方，魔方将立马变成最弱智的玩具，一般别人只会问是如何转出来的，不会问是如何装出来的，虽然转出来的只是装出来的子集。计算装出来的状态非常非常简单，计算转出来的状态也许要难一点，上楼不妨试试，也看过上楼关于2^12的计算论文，的确非常有勇气，虽然很离谱。魔方工艺不会影响转动性质，是不是也不影响组装性质36有兴趣可以分析一下。如果36楼的确对组装问题感兴趣，请为本人的下文提点有益的意见。
 
<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=886&extra=page%3D1">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=886&extra=page%3D1</A>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-4-27 13:02 编辑 ]

作者: ocp 时间: 2008-4-27 13:23:39

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 乌木 时间: 2008-4-27 17:43:53

原帖由 pengw 于 2008-4-27 09:37 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=120600&ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 乌兄又在忽悠，8！/24=8*7！/（3*8）=7！/3，应该跟坐标无关。计算结果的实质是，块所有可能的位置相互参照关系，但不含色向表达。

我不是忽悠。我是指二阶有人用某一个角块作参照物时，计算位置变化引起的态数时，直接给出7！/3（并不经由8！/24，因为参照角块没位置变化了，谈不上8！了），并解释那除以3是因为参照角块位置固定之后，任一态魔方仍可以有三种摆法，但属于三个同态，故要除以3。至于7！/3＝8！/24＝1680，正好说明两种参照下的计算结果一致，这也就是你说的“跟坐标无关”。

作者: pengw 时间: 2008-4-27 17:49:48

独角坐标很不自然，限制三个转层不动。能描述一下计算方法否？

作者: 乌木 时间: 2008-4-27 17:52:38

原帖由 真知不易 于 2008-4-27 10:00 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=120626&ptid=8097" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 错误的装配会使魔方无法复原，那其实就是说有些状态是怎么转也不会出来的，那就是说有些状态计算当中有，实际上是没有的。这难道不象一只蛋的家当？算起来很多，道理上也说得过去，如果跳不出来，一只蛋谁也是赔 ...

您这是错觉啦。计算魔方态总数是指转出态总数，不是随机组装态总数（随机组装态数也是可计算的），更不含任何错装态数。
 
凡是计算中有的态，都是实际存在的。二阶的3674160个态个个都是真的；三阶的4.3×10^19个态也个个都是存在的。这里并无半点想像中的“鸡蛋家当”！
 
真不知您根据什么东西说魔方状态数被夸大了？劝君好好读读此前您的《被夸大的魔方状态数》一帖的跟帖。一个人总不能凭空说话吧？！您说是不是？葡萄，是有酸的，有甜的，但是，我负责地告诉您，“3674160”和“4.3×10^19”是甜的！－－→ <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8166&extra=page%3D1">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8166&extra=page%3D1</A>

[ 本帖最后由乌木于 2008-4-27 20:25 编辑 ]

作者: 猫猫妖 时间: 2008-4-29 15:50:47

不理解

作者: 撕裂阴阳 时间: 2008-4-30 19:28:35

太专业拉吧~~~~~~~~~~~

作者: lily748 时间: 2008-5-1 10:53:47

不懂

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