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标题: 球面上的四只蚂蚁 [打印本页]

作者: 钟七珍 时间: 2011-8-29 13:21:19 标题: 球面上的四只蚂蚁

　　有四只蚂蚁A、B、C、D，平均分布在半径为1的球面上，A追逐B，B追逐C，C追逐D，D追逐A。都是按照球面上的最短距离去追逐。四只蚂蚁速度都是1。那么，最终会怎样？四只蚂蚁能否碰面？能的话运动了多长时间和多长距离？。。。

　　有两种矛盾的思路：
　　一、根据对称，四只蚂蚁不会碰头。
　　二、.最后四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境。
　　除了上述两种思路外，是否还会有第三种？

作者: csgg 时间: 2011-8-29 13:57:33

七珍师傅好！！！

这两种思路矛盾吗？

表示愚笨，不太懂这题…………

作者: 6504839 时间: 2011-8-29 14:15:58

当然能............有很多种追法啊.......

附件: [比如这样，肯定有一种相遇的] 未命名.jpg (2011-8-29 14:22:29, 29 KB) / 下载次数 56
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTU3NzE5fDhmZmFkZjYxfDE3NDA4NDEyODR8MHww

作者: Cielo 时间: 2011-8-29 14:19:07

平均分布是指成一正四面体吗？

但这样的话，追逐的时候四只蚂蚁的地位是不对称的吧，纠结……

作者: 123wyx 时间: 2011-8-29 14:27:07

原帖由 Cielo 于 2011-8-29 14:19 发表
平均分布是指成一正四面体吗？

但这样的话，追逐的时候四只蚂蚁的地位是不对称的吧，纠结……

对，显然不对称。最终大概会落到一点上。

作者: 6504839 时间: 2011-8-29 14:29:40

感觉有好多好多的情况.......

题目不好

作者: Cielo 时间: 2011-8-29 14:34:33

原帖由 6504839 于 2011-8-29 14:29 发表
感觉有好多好多的情况....... 题目不好

利用正四面体的对称性（旋转、镜像），那么就只有一种情况了啊！

作者: 乌木 时间: 2011-8-29 15:16:06

球面上两个定点之间的最短距离是大圆；但是A追B的同时，B在不断（的追C的）运动，A被逼不断修正路线，A的路径是什么样的，我是弄不懂了。

作者: 海上晴天 时间: 2011-8-29 16:03:06

我认为没有第三种

作者: 塞翁 时间: 2011-8-29 16:38:11

只能是一，不可能是二。
它们永远在一个旋转的四面体的四个顶点上。

作者: 奇遇 时间: 2011-8-29 17:16:10

原帖由塞翁于 2011-8-29 16:38 发表
只能是一，不可能是二。
它们永远在一个旋转的四面体的四个顶点上。

感觉起来也是这样子，但是没有具体计算过
用微小位移来计算一下，看看彼此间距离是否发生变化即可得出结论

作者: 华容道 时间: 2011-8-29 17:24:08

顶楼上！我也认为是一。由于每只蚂蚁都一样，因此运动的路径也是完全一样的，所以它们永远在一个正四面体的四个顶点上。

作者: 乌木 时间: 2011-8-29 19:45:02

不过，似乎不单单是那个四面体整体旋滚，而是在旋滚的同时还有四个顶点之间相对的空间位置的循环。
下图红角、绿角、黄角和蓝角就是四面体的四个顶点，下图用鼠标整体旋滚来旋滚去，似乎总是得不到A追B追C追D追A的结果，整体旋滚的话只能得到三个顶角的三轮换而一个顶角在原位自转，或者是两个二交换的结果。不知是否我没有旋滚好？
[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=alpha]-60[/param]
  [param=beta]40[/param]
  [param=stickersFront]6,6,1,6,6,6,4,6,6[/param]
  [param=stickersRight]1,6,6,6,6,6,6,6,3[/param]
  [param=stickersDown]4,6,6,6,6,6,6,6,3[/param]
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  [param=stickersLeft]5,6,6,6,6,6,6,6,4[/param]
  [param=stickersUp]5,6,6,6,6,6,6,6,1[/param]
[/java3]

当然，旋转一下这借用来的三阶魔方图的表层180°再做整体旋滚的话，完全可以做到这四个顶角的四轮换的。这是否表明了，通常意义上的“魔方”和只能整体旋滚的这么一大堆东西（“全绑定魔方”）的重要区别呢？（即四个顶角要四轮换是这个四元体系由原来的偶态变换到奇态，而整体旋滚不可能变换奇偶性。）

如果以上说法成立的话，这四个蚂蚁究竟是如何走法的呢？如果它们始终处于（旋滚着的）四面体的顶点，又如何能实现这一四元体系从偶态变换为奇态呢？从（四面体顶点）A—B—C—D各自开步走，到第一次实现（四面体顶点）D—A—B—C，两个状态之间，是否并非始终处于四面体的顶点，而是有多种形态逐步变换来着，比如半途来个这样的状态：
[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
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  [param=stickersUp]6,6,6,6,5,6,6,6,6[/param]
[/java3]
也就是红处于追绿的半途，绿处于追黄的半途，黄处于追蓝的半途，蓝处于追红的半途，四者不在四面体的顶点，而在一个正方形的顶点。（当然，这个图是定性的示意，四个蚂蚁始终在球面上，这里说的正方形的四个顶点也在球面的一个大圆上。或者用球形三阶魔方画图更妥。）

[ 本帖最后由乌木于 2011-8-29 23:00 编辑 ]

作者: 忧天杞人 时间: 2011-8-29 21:10:12

我认为是这样：
1、如果出发时四者的瞬时运动方向是同一个圆的切线，也就是说四只蚂蚁按顺序处在一个大圆（比如赤道、经线圈），那么每只蚂蚁的目标都在正前方，他们就会永远追下去，不会碰面。如左图。还有就是相邻两只蚂蚁的距离不得大于半个圆周，否则后面的蚂蚁会掉头去追。
2、如果不满足1的条件，那么四只蚂蚁就会不断根据目标的移动修正自己的方向，最后他们会在一个点上碰头。他们的运动轨迹应该是螺旋线，如右图
未命名.JPG

[ 本帖最后由忧天杞人于 2011-8-29 21:18 编辑 ]

附件: 未命名.JPG (2011-8-29 21:18:48, 32.22 KB) / 下载次数 31
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作者: 塞翁 时间: 2011-8-29 21:11:42

噢，说旋转不对，应该叫翻滚。
换个角度想，是4条从一点射出，在空间两两等夹角的线，以相同的角速度依次追逐。
这样描述可以吗？

作者: 6504839 时间: 2011-8-29 21:33:13

这东东越来越纠结.........明天上高一的我就继续围观呐

作者: Cielo 时间: 2011-8-29 22:22:33

如果楼主的意思是，初始时位于球内接正四面体的顶点，
那么四只蚂蚁互相追逐，它们的地位不是完全平等的。

编号1、2、3、4，分析一下很短的一段时间内它们之间的相对运动，
1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，
以上两种相对运动不是一样的，所以我认为四只蚂蚁不会仍然维持“正四面体”的相对位置，
也就是说，不仅仅是简单的“翻滚”。
所以我猜最后会相遇……

作者: 钟七珍 时间: 2011-8-29 22:39:08

　　用小量分析的话，应该就是一个正四面体在球体里转。
　　不过这个小量分析应该采用相对于球心角度的微分增量。

作者: 乌木 时间: 2011-8-29 22:44:19 标题: 回复17楼

但是，对于2而言，也有相似的2与3关系以及2与4关系；
对于3而言，也有相似的3与4关系以及3与1关系；
对于4而言，也有相似的4与1关系以及4与2关系。
这里有个循环，所以，恐怕还是四者平等的吧？

[ 本帖最后由乌木于 2011-8-29 22:45 编辑 ]

作者: 钟七珍 时间: 2011-8-29 22:47:53 标题: 回复 17# 的帖子

虽然：“1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，”
　　但它们追逐的路线不是“正三角形”的边，而是球面正三角形的边。这个“球面正三角形”的内角和大于180°，它的三条边都是圆弧

[ 本帖最后由钟七珍于 2011-8-29 22:49 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2011-8-29 23:50:51

原帖由 钟七珍 于 2011-8-29 22:47 发表
虽然：“1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，”
　　但它们追逐的路线不是“正三角形”的边，而是球面正三角形的边。这个“球面正三角形”的 ...

我知道走的无穷小量是大圆弧。

我想说的是，正四面体的条件很苛刻的，必须每两者之间的相对位置都是一样，这里有 4C2 = 6 种。

而直观上我们只能看出 AB BC CD DA 这四组关系是一样的；AC BD 这两组的关系是一样的。

但我认为前四组和后两组还是有些区别。

作者: 华容道 时间: 2011-8-31 06:24:01

有个新的想法，请大家指正：
1、对于在球面上任意两只单方追逐的的蚂蚁来说，如果两只蚂蚁不沿同一个大圆运动，那么两者之间的距离是逐渐变小的，因此那四只蚂蚁不可能最终在正四面体的四个顶点上；
2、若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的，而球面上不存在这样的点；
3、若四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境，则每一只蚂蚁与球心的连线与大圆所在平面都应有相同的夹角，这样的平面存在么？
难道不存在“稳定态”？

作者: 123wyx 时间: 2011-8-31 16:50:30

------------------------
球面上计算有点困难，哪位高手指点一下？

[ 本帖最后由 123wyx 于 2011-9-1 18:59 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2011-8-31 22:09:41

原帖由 华容道 于 2011-8-31 06:24 发表
2、若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的，而球面上不存在这样的点； ...

蚂蚁的运动方向是时刻变化的，所以走的路线不是球面上的大圆弧。

作者: 焚寂 时间: 2011-8-31 23:08:11

怎么感觉永远都不会碰到呢？速度想同。。貌似蛇头咬蛇尾。。

[ 本帖最后由 q408196528 于 2011-9-3 23:25 编辑 ]

作者: 玩得 时间: 2011-8-31 23:08:54 标题: 4只蚂蚁死了

4只蚂蚁将会在球心同时相撞，然后4只蚂蚁一起撞死了

作者: 华容道 时间: 2011-9-1 06:17:10 标题: 回复 23#

回23#：每只蚂蚁的条件都可以看作是相同的，因此任意两只蚂蚁的路径要么“全等”，要么“镜像对称”。

作者: 华容道 时间: 2011-9-1 06:18:28 标题: 回复 24# 的帖子

我没说路线是大圆弧，而是在任意两只蚂蚁的路径“全等”或“镜像对称”的前提下的一个猜想。

作者: 华容道 时间: 2011-9-1 06:30:53

将正四面体翻滚一下可以看出A、B两只蚂蚁的条件是对称的，因此这两只蚂蚁的路径是对称的。所以这四只蚂蚁的运动路径两两全等或对称，进而得到“若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的”这个结论。

[ 本帖最后由华容道于 2011-9-1 06:38 编辑 ]

附件: a.gif (2011-9-1 06:30:53, 8.08 KB) / 下载次数 50
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作者: 123wyx 时间: 2011-9-1 17:30:20

看来我大概错了。
晚上好好研究一下，争取搞出精确解。

作者: c349694018 时间: 2011-9-1 17:53:00

感觉过程类似阿基米德螺旋线的形成- -不过这是3维的
不过这个最终轨迹形成的图案应该具有自相似性，且最终图案应当是个封闭的（或者具有一个实际不存在的交点？）
水平有限- -只是一点自大的猜测

作者: Bleachmoon24 时间: 2011-9-1 18:09:58

在运动中如B蚂蚁在运动时A蚂蚁的路线在不断改变，则若ABCD不在一个圆上的话四者的路线都会是不规律的？...那样应该是个收缩型的路线吧.....so那样的话应该会碰到一起的....

[ 本帖最后由 Bleachmoon24 于 2011-9-1 18:12 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2011-9-2 00:25:05

原帖由 华容道 于 2011-9-1 06:30 发表
将正四面体翻滚一下可以看出A、B两只蚂蚁的条件是对称的，因此这两只蚂蚁的路径是对称的。所以这四只蚂蚁的运动路径两两全等或对称，进而得到“若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的” ...

我认为路径需要全部全等才行，光对称是不足以保持正四面体的。
在17楼我也说过我的想法。

作者: lulijie 时间: 2011-9-3 01:00:39

建立空间坐标系，
以D点为北极点，坐标(0,0,1)
那么ABC构成的平面平行与赤道，假设A点的y坐标为0，那么
初始各点的坐标如下： sqrt()表示根号
A( sqrt(8) / 3,0, -1 / 3)
B(-sqrt(2) / 3,-sqtr(6) / 3, -1 / 3)
C(-sqrt(2) / 3,sqtr(6) / 3, -1 / 3)
D(0,0,1)
------------------------------------------------------
用计算机模拟蚂蚁变化过程，最小间隔时间设为dt。
那么dt值取得越小，那么变化过程越精确。
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。
取不同的dt值，最终汇聚的点不一样，这两点刚好关于球心对称。这有点奇怪，可能与中间曾出现4只蚂蚁和球心近似于共面的情况有关。（完全共面的话，应该是绕着这个面无限循环）。由于电脑计算是有有效数字的，不可能完全精确共面。可能这种近似共面非常不稳定，很快就会离散开这个面，由于计算的误差，造成汇聚的点不同。
-----------------------------------------------------------------------------------
所以4只蚂蚁到底汇聚于哪一点，或还是在某个平面无限循环，有待精确计算。
有空我分析分析，不同的dt取值，造成不同的结果，到底是在中间过程什么地方出现分道扬镳的，再判断哪种结果是正确的。

作者: lulijie 时间: 2011-9-3 01:12:29

dt=0.001

红图是A蚂蚁爬行过程的xy平面上的投影，
蓝图是A蚂蚁爬行过程的xz平面的的投影，
汇聚总共花费时间约37

附件: 4dian.jpg (2011-9-3 01:12:29, 33.3 KB) / 下载次数 42
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作者: 暴力打开 时间: 2011-9-3 01:13:38 标题: 回复 21# 的帖子

不靠谱，如果到一点，这个点是哪都不对称，是这个点凭什么不是该点旋转60度的对应点？

作者: Cielo 时间: 2011-9-3 13:00:30

原帖由 lulijie 于 2011-9-3 01:00 发表
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。
...

这现象很有趣，难道是混沌……

原帖由 暴力打开 于 2011-9-3 01:13 发表
不靠谱，如果到一点，这个点是哪都不对称，是这个点凭什么不是该点旋转60度的对应点？

仔细看看，那是个有向空间四边形，貌似没有60°的旋转对称吧？

作者: 123wyx 时间: 2011-9-3 20:53:08

原帖由 lulijie 于 2011-9-3 01:00 发表
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。

真有意思，这很奇怪，期待精确解。
没能力计算了，继续关注。

作者: lulijie 时间: 2011-9-3 21:45:41

建立空间直角坐标系，
初始各点的坐标如下： sqrt()表示根号
A( sqrt(8) / 3,0, -1 / 3)
B(-sqrt(2) / 3,-sqtr(6) / 3, -1 / 3)
C(-sqrt(2) / 3,sqtr(6) / 3, -1 / 3)
D(0,0,1)
最短计算时间间隔dt=0.0001
黑线是A的运行轨迹图，
蓝线是B的运行轨迹图
红线是C的运行轨迹图
绿线是D的运行轨迹图
------------------------------------------------------
图1是时间运行5.8时的轨迹图。
t=5.8时
A的坐标：0.904389813556976,-0.221282829232082,0.364846508308092
B的坐标：0.129370100716922,-0.672583138849374,-0.728625622922521
C的坐标：-0.902674536806781,0.224253775712471,-0.367272275951517
D的坐标：-0.13108537746854,0.669612192366583,0.731051390567817
ABCD从初始分散，逐渐运行到在一个斜向的大圆上运行
---------------------------------------------------------------------------
图2时间运行31时的轨迹图。
t=31 时：
A的坐标：.877821046086536,-.31855445480733,.357705563818336
B的坐标：3.90512772266487E-02,-.704747705869784,-.708382431201317
C的坐标：-.937755550854773,.214744847421119,-.272945374321357
D的坐标：-9.89857819916556E-02,.600938098483179,.793142620700073
ABCD已经开始从那大圆轨道上散开
-------------------------------------------------------------------------------
图3时间运行34.8时的轨迹图。
t=34.8 时：
A的坐标：-.408226901312468,-.707071993519018,.577407995290875
B的坐标：-.408187386267323,-.707142695013368,.577349345354676
C的坐标：-.408269677665463,-.707141565318317,.577292540137227
D的坐标：-.408309192685858,-.707070863706438,.577351190234896
ABCD已基本汇聚与一点。
------------------------------------------------

附件: 图1.jpg (2011-9-3 21:45:41, 39.53 KB) / 下载次数 39
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附件: 图3.JPG (2011-9-3 21:45:41, 56.11 KB) / 下载次数 51
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作者: lulijie 时间: 2011-9-3 22:10:15

1.当球心在ABCD构成的椎体外部时，ABCD将很快彼此距离越来越近，最后汇聚于一点；
2.当球心在ABCD构成的椎体内部时，球心将逐渐向椎体的表面移动，当到达某一表面时，恰巧椎体的另外一个顶点刚好与该表面共面（及4个顶点和球心五点共面），那么ABCD将在这个面上无限循环运动；
3.否则球心将移到椎体的外部，按照第一种情况的变化，很快汇聚于一点。
--------------------------------------------------
对于楼主的情况：根据计算机模拟的情况，ABCD在一个基本相同的轨道上足足运行了4圈后，才逐渐快速的汇聚一点。
所以楼主的四个点ABCD是按照第2种情况运行，还是按照第3种情况汇聚于一点（本来五点共面的，由于误差的积累造成不共面？）
dt=0.001和dt=0.0001的汇聚点不同，很可能就是计算误差造成的，
若球心从椎体的上面移出，ABCD将汇聚于下半球；
若球心从椎体的下面移出，ABCD将汇聚于上半球；
五点基本共面的情况下，由于计算误差，球心偏离在上面或下面一点点，就造成结果的迥然不同。

作者: Cielo 时间: 2011-9-3 23:24:40

大家看29楼的图，可以发现ABCD这个有向空间四边形是有180°旋转对称性的，
转轴是：AC中点与BD中点的连线。

所以，如果最后聚于一点，那么必然是这轴与球面的交点，刚好是两个对称点！

以上只是一个观察而已，对解决问题没什么实质帮助……

作者: mrmnm 时间: 2011-9-4 22:07:33

原帖由 钟七珍 于 2011-8-29 13:21 发表
　　有四只蚂蚁A、B、C、D，平均分布在半径为1的球面上，A追逐B，B追逐C，C追逐D，D追逐A。都是按照球面上的最短距离去追逐。四只蚂蚁速度都是1。那么，最终会怎样？四只蚂蚁能否碰面？能的话运动了多长时间和多长距 ...

我來猜一下
先在球上畫一個正4面体

標出4隻蟻

4隻蟻之間的最短距離

畫中軸, 其實这個步驟很重要, 4面体有6條棱, 螞蟻一隻追一隻, 只有4條線, 因此中軸只能向一個方向

小小的推論一下, 當中軸是y軸, 不論4面体沿z/x軸轉, 都是不對稱的, 所以只能沿y軸轉
因4隻蟻速度一樣, 所以不論何時ab=bc=cd=da, bd=ac, 但ab跟ac卻可以不一樣
若把"追逐"視作把距離縮短, ab+bc+cd+da会盡量短, 考慮到上下平衡, 会成為一個圓形

我想最後会變成这樣吧,

加幾張不同角度的

[ 本帖最后由 mrmnm 于 2011-9-4 22:32 编辑 ]

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作者: lulijie 时间: 2011-9-5 01:05:06

同意42#的结论。根据对称性：
A、B、C、D的地位是相等的，
AB、BC、CD、DA的地位是相等的，AC、BD的地位也是相等的。
在任何时候，蚂蚁的新位置为A'、B'、C'、D'，那么AA'=BB'=CC'=DD'，在整个过程中都成立。若最后汇聚于一点S，那么就要求AS=BS=CS=DS，在球面上是找不到这样一点的，所以是不会发生的。所以四只蚂蚁应该在一个大圆上无限循环，这个大圆根据对称性，应该是经过球心与AC、BD平行的平面与球截得的大圆。A'、B'、C'、D'分布在这个圆的四等分点上，不停的转动，转动过程中永远保持
AA'=BB'=CC'=DD'。就是我前面计算机模拟出的那个大圆。那个大圆就是精确的五点共面。最后计算机得出的汇聚于一点，是计算误差造成的。这也说明了，四只蚂蚁在一个大圆上运行是个不稳态，稍有偏离，就会演变到稳定态（即汇聚与一点）

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-5 01:07 编辑 ]

作者: mrmnm 时间: 2011-9-5 01:42:55 标题: 回复 43# 的帖子

你真厲害啊, 解釋得很清楚
請問40樓的畫图軟件是什麼? 謝謝

作者: lulijie 时间: 2011-9-5 02:31:34 标题: 标题

通过下面的叙述，大家对于为什么四只蚂蚁最后会在一个大圆上运行，会很好理解。
以球心作为原点，AC、BD的中点连线作为z轴，过原点平行于AC的直线作为x轴，过原点平行于BD的直线作为y轴，建立直角坐标系，我们用地球的经纬度来类比说明。
B、D在北半球，B所在的经度为0度，纬度为x度，那么：
初始位置：A东经90度，南纬x度
   B经度0度，北纬x度
   C西经90度，南纬x度
   D经度180度，北纬x度。
A追B，就要经过赤道（即xy轴构成的平面），同理，B、C、D都要通过赤道才能追上对方。在到达赤道之前，由于分布在赤道两边，是不可能追上对方的。随着时间的进行，蚂蚁离赤道越来越近，根据对称性，4只蚂蚁会同时到达赤道，并且位于四等分点上，从而四只蚂蚁永远在赤道
上周而复始的追赶着对方，永远不可能追上。

作者: lulijie 时间: 2011-9-5 02:35:12

回复44楼：
用的软件是自己用VB6.0编的程序。

作者: Cielo 时间: 2011-9-5 02:50:25

楼上两位说得对！

这个对称性本来应该很容易看出来的，只是一开始看到没有正四面体那么完美的对称，于是直接认为不对称了……

作者: 华容道 时间: 2011-9-5 06:16:45

猜想3：“若四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境，则每一只蚂蚁与球心的连线与大圆所在平面都应有相同的夹角，这样的平面存在么？”通过楼上几位的分析答案是肯定的，就是垂直于对称轴的那个大圆所在平面!太妙了！

作者: 钟七珍 时间: 2011-9-5 22:07:35

42楼：中轴的建立应是此题里程碑式的判断！
　　“畫中軸, 其實这個步驟很重要, 4面体有6條棱, 螞蟻一隻追一隻, 只有4條線, 因此中軸只能向一個方向”！
　　我的理解：尽管四面体有６条棱，但四只蚂蚁追逐的路线只有４条。而这４条线首尾相连接，围成了一个４边形曲面，这个曲面的法线就只可能有一根！就是这根“中轴”。
　　往下，就容易理解这四只蚂蚁追逐的最终结果是一个大圆了。
　　而这个大圆却是一个不“稳”的大圆。这点，１４楼及不少帖子有详细的讨论。用电脑编程要用到小量误差，而这小量误差造成了大圆的不“稳”，所以运算的结果就追逐相会到一点了！

作者: lulijie 时间: 2011-9-6 02:31:18

下面计算蚂蚁爬行曲线的方程，和蚂蚁到达赤道花费的时间。
还是按照45楼的方法建立空间直角坐标系。采用地球系统的经度、纬度表示法。东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负。
初始位置也和45楼的一样。
下面以B为例建立曲线方程。B(w,j)表示t时刻，B的位置在北纬w，东经j的位置。
B的初始位置(w0,j0), tan(w0)=sqrt(2)/2, j0=0
可以得到以下微分方程：
dw=-sinw/ sqrt(1+(sinw)^2))*dt 纬度的微分与时间的微分的关系。
dj= -dt/sqrt(1-(sinw)^4)                经度的微分与时间的微分的关系。（B的经度随着时间逐渐减少。）
两式联立消去dt，解出
j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))       式1
或w=atn(e^j/sqrt(2))             式2    atn：反正切
------------------------------------------------
从式2可以描出B的曲线方程。
当j=-π时，B刚好绕球体半圈，这时，w=1.7502341982899068216149234499044°，接近赤道。
当j=-2π时，B刚好绕球体一圈，这时，w=0.07565796826387070443024922587528°，已经非常接近赤道。
j=-4π时，w=0.000014128700504914625558898770742487°。
但无论B绕球体多少圈，w永远不会等于0，即B永远到不了赤道，只能无限接近赤道。
也就是说赤道平面是4只蚂蚁的终极目标，只能无限接近，永远不会到达。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-7 00:20 编辑 ]

作者: lanjingling 时间: 2011-9-6 11:52:14

楼上分析得很好，如果能有这四个点的坐标随时间变化的方程就最好了！

题中的四只蚂蚁位置对称，但是运动路径并不是两两对称，指向性为A→B→C→D→A，其中A→C、B→D方向空缺，这就造成直线AC、BD的特殊性，AC⊥BD，这两条直线可以确定一个平面，这个平面平行于AC和BD，且和AC、BD的距离相等。

作者: lulijie 时间: 2011-9-6 21:59:43

要求ABCD坐标随时间变化的方程，不一定要用直角坐标(x,y,z)的方法。可以用经纬度的方法。经度j，纬度w.
x、y、z和j、w满足以下关系式。
x=cosw*cosj
y=cosw*sinj
z=sinw
-------------------------------------------
ABCD的经纬度随时间的变化，只要知道一只蚂蚁的方程即可，其他蚂蚁可以用它推出。
假设任何时候，A的坐标(j1,w1),B(j2,w2),C(j3,w3),D(j4,w4).
那么以下任何时候都成立：
   w1=w3=-w2=-w4
   j2=j1-π/2    j3=j2-π/2 j4=j3-π/2  （即任何蚂蚁和自己所追的对方经度相差永远等于90度。）
------------------------------------------------
对于B蚂蚁：
因为 dw=-sinw/ sqrt(1+(sinw)^2)*dt
所以 dt=-sqrt(1+(sinw)^2)/sinw*dw
对上式积分就可求得B蚂蚁到达任何位置时的时间。
t=∫(w0,w){ -sqrt(1+(sinw)^2)/sinw}                ∫(a,b){f(x)}表示对f(x)从a积到b的定积分。
再加上 j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))
就可表示B到达任何位置的时间t。
而对 -sqrt(1+(sinw)^2)/sinw 的积分我不会求精确函数，不过可以求近似值。
另外当蚂蚁绕球一圈时，w已接近数值0，所以 sqrt(1+(sinw)^2)近似等于1
对于只要求-1/sinw的积分即可，求出的积分=-ln(tan(w/2))
蚂蚁绕一圈时，j=-2*π,此时w=atn(e^(-2π)/sqrt(2))=0.00132048065157392182498809843643
初始w0=0.61547970867038734106746458912399
绕一圈所花费的时间=∫(0.61547970867038734106746458912399,0.00132048065157392182498809843643){ -sqrt(1+(sinw)^2)/sinw} =6.265
对于绕一圈以上的可以用以下近似函数表示：
      t=6.265+(-ln(tan(w/2)+ln(tan(0.00132048065157392182498809843643/2))
   即t=-ln(tan(w/2)-5.106
也可写成  w=2*atn(e^(-t-5.106))    式a
加上       j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))    式b
就可表示B蚂蚁位置与时间的关系式.

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-6 22:10 编辑 ]

作者: lanjingling 时间: 2011-9-6 22:43:51 标题: 回复 52# 的帖子

你的计算表达真是太好了，起初我还以为这个函数表达式不会很复杂（幂指数、对数、三角、反三角等函数复合）。
另外，对于球面位置坐标，使用经纬度来表示比用直角坐标要简化很多，并且便于理解。

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