魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 求1米木棍倒下的时间？ [打印本页]

作者: 龚永明魔方 时间: 2011-10-16 11:33:27 标题: 求1米木棍倒下的时间？

条件假设木棍下支点很小，竖着微量倾斜状态，不用外力，忽略空气阻力，完全在地心引力作用下倒下成水平状态时需要多少时间？

如果是2米、10米呢？

有点难的问题！

作者: 华容道 时间: 2011-10-16 11:41:02

这得需要积分来算啊，得先复习一下高等数学。

作者: 回梦游仙 时间: 2011-10-16 11:49:03

变力作用下的四分之一圆周运动……纠结了我

作者: 小明的马甲 时间: 2011-10-16 11:59:42

早年尝试算过，椭圆积分，只能求出数值解貌似……

作者: 小明的马甲 时间: 2011-10-16 12:02:49

还有一些细节问题，比如木棍底下和地面怎么连接的？绞接，还是摩擦，还是光滑？木棍质量是否均匀等等……

作者: 钟七珍 时间: 2011-10-16 12:08:00

原帖由 小明的马甲 于 2011-10-16 12:02 发表
还有一些细节问题，比如木棍底下和地面怎么连接的？绞接，还是摩擦，还是光滑？木棍质量是否均匀等等……

　　与楼上同感！本不想问，但有人提到了，附和一下．

作者: yq_118 时间: 2011-10-16 15:16:43

这个可以列一个二级的微分方程来解。
不过所用的时间取决于初始的倾斜度，倾斜度越小，所用时间越长，没有倾斜就不会倒下来。

作者: jinlijie 时间: 2011-10-16 15:34:15

这个问题好难啊。。。。。。。。。

作者: lulijie 时间: 2011-10-17 20:35:07

木棍的运动是绕底部支点的变速转动。设木棍长度为L，质量为m，重力加速度为g。
设木棍初始角度为A(木棍和向上垂线的夹角），t时刻的角度为θ
那么，木棍转动惯量I为1/3*m*L^2
t时刻的力矩M=1/2*mgL*sinθ
t时刻的角加速度a=M/I=3/2*g/L*sinθ
即d(dθ/dt)/dt=3/2*g/L*sinθ
正如7楼所说，这是一个关于θ的二次微分方程。
而单摆的精确计算公式为 a=g/L*sinθ。
所以楼主的题目相当于长度为2/3*L的单摆。
运动时间与长度的根号成正比。2米长的木棍倒下时间是1米长的1.414倍。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-10-17 20:57 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2011-10-17 22:15:54

原帖由 lulijie 于 2011-10-17 20:35 发表木棍的运动是绕底部支点的变速转动。设木棍长度为L，质量为m，重力加速度为g。设木棍初始角度为A(木棍和向上垂线的夹角），t时刻的角度为θ那么，木棍转动惯量I为1/3*m*L^2t时刻的力矩M=1/2*mgL*sinθt时刻的 ...

在转过一定的角度之后，由于离心力过大，木棍会整体脱离地面

作者: lulijie 时间: 2011-10-18 09:40:56 标题: 标题

理想状态不同，当然结果也不一样。9楼的结果是基于底部支点不动，相当于一个能自由转动的轴承。当然若假设支点与地面不锁定，可以自由滑动，且没有摩擦力，又是另一种理想状态，结果自然不同，应该是支点的滑动和绕支点的转动的合运动，这样难度就很大了。

作者: lulijie 时间: 2011-10-18 10:29:31

若支点与地面没有任何摩擦力，可以自由滑动，那么如图所示：
棍子质量为m，长度为2L，中点为o，初始中点距地面距离为d。
那么在任何时刻，比如t时刻，棍子只受到两个力的作用，一个是重力=mg，一个是地面对棍子向上的力，经计算=mg(cosθ)^2.
所以任何时候的合力=mg-mg(cosθ)^2=mg(sinθ)^2,没有水平方向的力，所以棍子的质心o的运动是向下的直线运动（沿着图中那条细线向下运动）。
加速度a=g(sinθ)^2，即g(sinθ)^2=dv/dt=d(ds/dt)/dt 式1
而o的位移s=d-Lcosθ，即cosθ=(d-s)/L，代入式1得
g(1-(d-s)^2/L^2)=d(ds/dt)/dt
这样就得到关于s的二次微分方程。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-10-18 10:34 编辑 ]

附件: a1.png (2011-10-18 10:30:26, 10.45 KB) / 下载次数 132
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTYzMTM0fGE4ODU2YTg0fDE3NDQ0MzQxNTF8MHww

作者: schuma 时间: 2011-10-18 10:36:15

十几年前做过类似的题，飘过... 当时好像是要算什么时候木棍底端离地

作者: 钟七珍 时间: 2011-10-18 23:31:25

原帖由 yq_118 于 2011-10-16 15:16 发表
所用的时间取决于初始的倾斜度，倾斜度越小，所用时间越长。
没有倾斜就不会倒下来。

说到了关键之处！
没有倾斜，木棍处于不稳平衡，若不受一点外力，永远不会倒下来。
原题不定解！

作者: tm__xk 时间: 2011-10-19 03:43:06

非物理生表示无能为力..

作者: superacid 时间: 2011-10-19 15:08:40

原帖由 钟七珍 于 2011-10-18 23:31 发表说到了关键之处！没有倾斜，木棍处于不稳平衡，若不受一点外力，永远不会倒下来。原题不定解！

你给它一个足够小的外力它就可以倒下了，并且随着你外力的减小，倒下所用的时间虽然会变长，但它是收敛的，时间是有限的，要求的就是这个极限

作者: mowxqq 时间: 2011-10-19 16:14:18

初始角度为0，初始角速度为0，不要问它为什么可以动反正它动了，求它倒下的时间,嗯大概就是这样.

作者: yq_118 时间: 2011-10-19 18:56:20

可以证明，所需的时间是无穷的。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2011-10-19 19:01 编辑 ]

附件: 1.png (2011-10-19 19:01:29, 81.31 KB) / 下载次数 204
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTYzMjE4fGJkMjlhNjkyfDE3NDQ0MzQxNTF8MHww

作者: 骰迷 时间: 2011-10-19 19:59:18

原帖由 yq_118 于 2011-10-19 18:56 发表
可以证明，所需的时间是无穷的。

竟然不收斂!!

作者: ZJY 时间: 2011-10-19 23:06:47

16楼和18楼貌似矛盾了么？

作者: 通海吴 时间: 2011-10-20 08:38:42

大一机械生表示无能为力

作者: superacid 时间: 2011-10-20 09:21:10

额。。算错了，貌似是发散的，那么此题就毫无意义了

作者: 小明的马甲 时间: 2011-10-20 11:35:33

刚算了下……确实发散……尴尬……

作者: 钟七珍 时间: 2011-10-21 19:01:48

原帖由 yq_118 于 2011-10-19 18:56 发表
可以证明，所需的时间是无穷的。

　
　
　　有一个事实可以辅证：
　　以前跑江湖卖打药的人，经常有这样一个小节目。将一根木棍立稳在石头上，然后念咒语叫它不要倒下，可有时一转身就倒下了。往往要立好几次，才有一次让木棍站立较长时间。而每次倒下的时间是不一样的。

作者: 龚永明魔方 时间: 2012-1-9 10:26:10

这个问题分析得不错！
假设有1度偏移条件，求倒下的时间又是如何的结果呢？

作者: ares_g 时间: 2012-1-20 10:26:48

用秒表测一下。其实倒下时间跟“微量倾斜”的角度有关，如果是0度，那理想状态下永远也倒不下来。倾角越小，时间越长。

作者: 冰天百华葬 时间: 2012-1-27 20:49:15

这道题....有.....有几个问题想问一下：
木棒的质量？（多重）
与地面很小的接触到底是神马？（d=几mm的〇）
微量倾斜式神马角度？（斜角）
具体地理位置？（地球，木星或月球）
木棒落地会反弹吗？

作者: lsx 时间: 2012-2-1 23:28:02 标题: 标题

完全在地心引力作用下听着很蛋疼啊，要是有次说明没有摩擦力的话，那也是有支持力的啊，如果木棍只是放在摩擦力无限大的平面上收到扰动旋转倒下，那么就会途中脱离地面，最后不是“拍”在地上，那么也就不是水平状态，接下来是弹性碰撞么？什么时间算是终结状态呢？还有可以想象当扰动的大小不同时，响应的时间也不同，如果扰动无限小，这个倒下的时间也会是无限长

作者: jhcng 时间: 2012-2-1 23:37:03

文科生路过。。。。。。。。。。

作者: lidi496654724 时间: 2012-2-2 16:53:46

原帖由 小明的马甲 于 2011-10-16 12:02 发表
还有一些细节问题，比如木棍底下和地面怎么连接的？绞接，还是摩擦，还是光滑？木棍质量是否均匀等等……

以上都应该考虑还有如果没有摩擦那么是不可能静止住如果有摩擦放在那就会一直保持原来的状态

作者: andyyoko 时间: 2012-5-27 21:59:11

数学成绩不好的飘过
···看不懂

作者: qiouchina 时间: 2012-8-6 10:02:31

题目假设弱爆了，若初始速度极小，那么在理想状态下，木棍倒下的时间将趋于无限大，趋于宇宙的寿命都没问题，算都不用算就能知道的，起码给个初始力的描述才有的算。楼主再想想？

作者: ZDH 时间: 2012-8-12 16:21:16

lulijie 发表于 2011-10-17 20:35
木棍的运动是绕底部支点的变速转动。设木棍长度为L，质量为m，重力加速度为g。
设木棍初始角度为A(木棍和向 ...

天啊。。。。。。。。。。。。。。

作者: 天酬勤勤补拙 时间: 2012-8-12 16:25:56

本帖最后由天酬勤勤补拙于 2012-8-12 16:27 编辑

不受外力的话是不会倒的，牛顿第一定律啊

作者: 花无缺0228 时间: 2012-8-15 23:22:56

貌似……很简单的问题……如楼主所说“下支点很小”，应理解为几乎是“悬空”的状态，在此状态下倾斜时，无论是两米.十米，倒下时间是相同的！（参考两个铁球同时着地）

作者: shita 时间: 2013-4-3 13:48:00

superacid 发表于 2011-10-17 22:15
在转过一定的角度之后，由于离心力过大，木棍会整体脱离地面

会么？？？？？疑问中

作者: superacid 时间: 2013-4-4 00:07:09

shita 发表于 2013-4-3 13:48
会么？？？？？疑问中

一定会，高中物理做过很多遍这类计算

作者: 小鱼宝儿 时间: 2013-9-18 23:30:26

本帖最后由小鱼宝儿于 2014-1-11 21:36 编辑

啊，我不会，真的

附件: 未命名.JPG (2013-9-19 12:53:37, 245.7 KB) / 下载次数 140
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIyOTY0fGExMDQyOTYxfDE3NDQ0MzQxNTF8MHww

作者: wzccyj 时间: 2013-10-6 12:21:52

角度差一点就是10000年…

作者: VeryPuzzle 时间: 2014-4-8 08:58:36

如果支点滑动，地面和棍子弹性良好，你想让它弹多久才躺下？

作者: 神桥 时间: 2014-4-11 21:36:13

一辆客车过一座长XXX米的大桥用了X秒，它以同样的速度过一座长YYY米的大桥用了Y秒，问这辆客车的长度和它行驶的速度

作者: 聚元号 时间: 2015-7-16 12:49:09

若x不等于y则车长=0，车速=111m/s

作者: 聚元号 时间: 2015-7-21 19:55:37

因为与竖直方向夹角趋于0，所以木棍所受重力与地面的支持力二力平衡，木棍将静止，不可能倒下，所以木棍倒下的时间趋于正无穷

作者: 跑火入魔 时间: 2020-6-30 11:42:15

微量倾斜，这个不好说吧？没有给出具体度数。

作者: 菲神之迷 时间: 2020-6-30 12:39:10

我实验过，不行啊

作者: bob424200 时间: 2020-6-30 14:45:16

居然有人挖出了这个帖子, 列个拉格朗日方程+约束条件很好解

作者: 问心 时间: 2025-2-8 19:48:47

10年以前还有可能会，可惜我现在才9岁

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)