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标题: 请教一个理论问题，高人帮解决下！ [打印本页]

作者: 湘益乡 时间: 2008-5-3 18:13:04 标题: 请教一个理论问题，高人帮解决下！

刚拆解一个三阶的地推货，不小心弄坏一个棱块（内部的塑料片断了）。于是用透明胶带将其与相邻的中心块固定，即该棱块与一中心块相对位置被固定，魔方其它部分都完好。
于是产生一个问题：这样的魔方经转动可能出现的块组合将减少多少种？
另外，打乱后我不会还原了，因为很多公式因为那两个固定的块而不可用，请高手、数学强人帮忙解决！
最好告诉我详细理论过程，谢谢！

作者: 路过魔尖 时间: 2008-5-3 18:47:16

晕，相当于十字的一个点已经做好了。应该没啥难度吧。

作者: 湘益乡 时间: 2008-5-3 19:03:09

才不是啊，你正常转后面过程的时候前面的十字也会有来回的变动啊，固定后就动不了了

作者: bbshanwei 时间: 2008-5-3 19:08:38

把它放到底层当转到他的时候把它转到其他侧面，也就是看情况想办法把他避开就好了。

作者: 乌木 时间: 2008-5-3 21:04:10

一个棱块和一个中心块“捆绑”之后，状态数怎么计算，好像烟兄会的。
 
捆绑之后，再打乱别的所有块，从道理上说，应该可以复原的，只要被捆绑的棱块和中心块的相邻面是同色的，即，这个棱块不需要翻色了。
 
的确要随机应变、灵活机动地应用公式，相当有趣。比如可以先复原其余11个棱块，再用多种调角、翻角公式复原角块。应用公式时的确要设法临时避一避“捆绑”引起的妨碍。

[ 本帖最后由乌木于 2008-5-3 21:14 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-5-3 21:12:06

楼主的意思是,一棱块与相邻的二个中心块粘死了,导致二个相邻转层无法转动.如果仅仅只是计算这个三个块相对固定不变后所有可能的状态,并不难.难在,限制了转层的运动,导致一些变换无法实现.这并不是一个简单的问题.

作者: 乌木 时间: 2008-5-3 21:17:45 标题: 回复 6# 的帖子

好像楼主是说一棱块和一中心块固定。如果一棱块和相应的两个中心块固定，看来复原难度更大。

作者: pengw 时间: 2008-5-3 21:19:31

这已经不是一个简单地满足某个条件的状态数计算问题,楼主的命题已经改变了魔方的转动性质,严格地讲,已经不能称为三阶魔方.

作者: kexin_xiao 时间: 2008-5-3 21:30:01

还原应该是可能的,但块组合情况将减少多少种我不好说

作者: 湘益乡 时间: 2008-5-3 22:59:20

我试过了，还原很简单，只要想办法避开那个不能动的就行，公式一样用，只是转化一下。用的时间也不会长太多
但那个计算理论问题还没出结果

作者: pengw 时间: 2008-5-4 07:05:43

棱块到底粘住一个心块还是二个?不管粘住几个,只要魔方还可以转动，从复原出发，任意变换，依据魔方变换可逆性原则,都是可以复原的,即至少可以原路退返，但是，如果粘连发生在非复原状态，将另当别论.由于这种粘连,破坏了魔方的转动性质,使得变换定律部分或全部失效，由此产生的问题需要谨防分析.这类问题的本质,跟大烟头的连体魔方是等价的.原则上说，这类魔方的复杂性低于转动不受限的单位魔方。粘连几个块后三阶已经不是三阶魔方。
------------
如果楼主的问题仅仅是让三个或二个块永远相邻,这样的计算并不复杂.
 
三个块相邻（二心块，一棱块）:
中心块状态数H=2^7
中棱块状态数M=11！*2^9
边角块状态数A=8!/2*3^7
扰动关系数R=2
总状状态数T=H*M*A*R
 
二个块相邻（一心块，一棱块）:
中心块状态数H=2^9
中棱块状态数M=11！*2^9
边角块状态数A=8!/2*3^7
扰动关系数R=2
总状状态数T=H*M*A*R

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-5-4 08:01 编辑 ]

作者: 湘益乡 时间: 2008-5-4 11:39:20

谢谢楼上的！　问题已解决

作者: 乌木 时间: 2008-5-4 15:00:41

“三个块相邻（二心块，一棱块）:
 中心块状态数H=2^7 
中棱块状态数M=11！*2^9 
边角块状态数A=8!/2*3^7 
扰动关系数R=2 
总状状态数T=H*M*A*R”
 
 解读：余下4个中心块的方向可能数H＝4×4×4×2＝2^7；
其余11个棱块的非扰动态数M＝扰动态数M＝（11！/ 2 ）×2^10＝11！×2^9；
角块的非扰动态数A＝扰动态数A＝（8！/ 2）×3^7；
非扰动态棱块态数M只能配非扰动态角块态数A－－M·A；扰动态棱块态数M只能配扰动态角块态数A－－M·A，所以总态数T＝H·（2M·A），冬兄说的H·M·A·R 中的R的含义即此。
 
一心块一棱块受绑时的计算类推。

[ 本帖最后由乌木于 2008-5-4 15:03 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-5-4 15:10:27

此外，非复原态时随意绑一心一棱或二心一棱的话，关于计算总态数的方法不变；但复原起来极可能因捆绑而造成无法复原。对吗？

作者: pengw 时间: 2008-5-5 07:52:46

回13楼： 解释得很到位，关于扰动关系，中心块簇转动之和是90的奇数倍，中心块簇是扰动态。依据三阶表层扰动方程S=M+H+A,显然簇是同时被扰动或同时不被扰动。所以T=2*（M*H*A),不是T=H·（2M·A）。虽然计算结果一致，但概念有异。

作者: pengw 时间: 2008-5-5 08:05:31

回14楼： 很对，讨论魔方问题，最好不要以限制魔方变换为前提，三阶魔方变换性质被改变了，还叫三阶吗？当然这个问题还是挺有意思的。当前关于魔方的理论，都是关于“健康”魔方的理论，正如关于汽车的理论都不讨论汽车掉进水中该如何行驶。

作者: 乌木 时间: 2008-5-5 09:23:53

原帖由 pengw 于 2008-5-5 07:52 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=126999&ptid=8401" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> ……关于扰动关系，中心块簇转动之和是90的奇数倍，中心块簇是扰动态。依据三阶表层扰动方程S=M+H+A,显然簇是同时被扰动或同时不被扰动。所以T=2*（M*H*A),不是T=H·（2M·A）。虽然计算结果一致， ...

啊，你纠正了我原来的一个概念错误。现在我试试能否说清楚。
 
原来，我把中心块脱离开棱、角单独考虑，认为，和初态相比，不能有奇数个中心块转过90°，没有联系棱、角扰动不扰动－－棱、角有扰动时，我仍以为“和初态相比，不能有奇数个中心块转过90°”。
 
现在知道，棱、角有扰动时，中心块转过90°的数目必须为奇数。
 
这一点，对于上例计算H＝4×4×4×2不冲突－－最后一个中心块的取向可能为2是指：当棱、角没扰动时，它的取向要满足全部中心块转过90°的数目为偶数；当有扰动时，它的取向得符合所有中心块转了90°的数目为奇数。综合说，最后一个中心块的取向可能所引起的倍乘因子为2。在此例中，中心块簇的扰动态数A＝非扰动态数A＝4×4×4×2。（我原以为两种态数之和为A。）
 
中心块簇在和棱、角簇组合时，非扰动的三簇可以组合－－H·M·A；扰动的三簇可以组合－－H·M·A，一共为2H·M·A。
 
举个实例供大家琢磨琢磨：
 中心块扰动问题.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-5-5 10:14 编辑 ]

附件: 中心块扰动问题.GIF (2008-5-5 10:14:03, 16.01 KB) / 下载次数 60
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTYxOTR8YjE1Yjk4NDV8MTczMjU4NTQ4OXwwfDA%3D

作者: pengw 时间: 2008-5-5 09:46:55

三阶所有的簇要么全是扰动态，要么全是非扰动态，簇内变换在扰动簇与非扰动簇上构造的状态数是相同，但状态互不相同。算式M*H*A中，每一个因子都是簇独立变换的结果，所以要连X在一起。扰动下态数是M*H*A，非扰动下态数也是M*H*A，所以三阶总状态是：2*M*H*A。 --------------- 除最后一句话,你的理解是正确的.注意,中心块簇也分扰动态和非扰动态. 三阶扰动方程:S=M+A+H,说明三阶所有簇,要么同为扰动态,要么同为非扰动态.
 

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-5-5 09:49 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-5-5 10:56:13

四阶及四阶以上，就不能像二阶三阶那样简单地理解为，要么全是，要么全非。下面是四阶的扰动组合: R0=C1+A,有二簇扰动 R1=B1，有一簇扰动 R0+R1=B1+C1+A，三簇都扰动 Φ，三簇都不扰动
共四种组合。 ---------------- 其中Φ表示全为非扰动簇 四阶状态数T=C1*A*B1*4/24=(24!/2)*(8！*1/2*3^7)*(24!/2)*4*1/24
----------------
下面为四阶簇结构
 
 未命名.jpg

----------------------------------------
理解了扰动关系，就明白状态数计算原理非常简单，进而可以推出N阶算式
 
N阶全色状态数T<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">=(A*H*M)*24!^(a^2-1)*2^(-a^2+a-2)*(H*M*24!^(a-1)*2^(-a-1)*24)^(b-1)
<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">N阶纯正色状数T1=T/W
<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA"><SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">M=12!*211
H=2^12
A=8!*3^7
<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">e=24*24*24*24*24*12=95551488
<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA"><SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">b=mod(n/2)<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'">，<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">a=int(n/2)=(n-b)/2
<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA"><SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">W=e^(a^2+(b-2)a-b+1)*2^11b

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-5-5 12:32 编辑 ]

附件: 未命名.jpg (2008-5-5 12:32:29, 7.8 KB) / 下载次数 65
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