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标题: 两个椭圆的问题 [打印本页]

作者: Cielo 时间: 2011-12-2 14:42:14 标题: 两个椭圆的问题

网上看到的，反正我是不会的……

平面上有两个椭圆 a 和 b（假设它们各自在对方的外部吧），
从椭圆 a 上的某一点 A_0 出发，作椭圆 b 的切线，交椭圆 a 于另一点 A_1，
再从 A_1 出发，作椭圆 b 的切线，交椭圆 a 于另一点 A_2，
……
重复上述过程，发现最后有一次这个交点恰好回到了 A_0（就是说某个 A_n 和 A_0 重合了），

求证：从椭圆 a 上任一点出发，经过上述过程，最后也能回到出发点~

作者: 奇遇 时间: 2011-12-2 14:49:21

我可以先抢个沙发再想问题吗？

作者: superacid 时间: 2011-12-2 14:52:18 标题: 回复 2# 的帖子

可以。。。

我猜测此题可以推广至各种二次曲线。。

作者: haoyifan0123 时间: 2011-12-2 15:17:22

椭圆。。。圆锥曲线是当时高中的时候最纠结的地方。。。。
我还是不看了吧。。

作者: ares_g 时间: 2011-12-2 15:27:28

切的时候肯定是来回切了，不可能只往b的一边切，那样只有两个点

作者: Cielo 时间: 2011-12-2 15:37:31

原帖由 ares_g 于 2011-12-2 15:27 发表
切的时候肯定是来回切了，不可能只往b的一边切，那样只有两个点

对，每次得到的点都和前一个不一样。

作者: mowxqq 时间: 2011-12-2 15:55:19

似乎是椭圆的对称性

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-12-2 15:56 编辑 ]

作者: Yubo 时间: 2011-12-2 15:56:22

每次回切的时候都跟椭圆a有交点，重复无限次的话肯定是要回来的~~~

证明难了。。

作者: 诡小丑` 时间: 2011-12-2 16:20:34

这个好像不是高中知识能解的吧？起码当时没做过类似题目……

作者: ares_g 时间: 2011-12-2 16:42:16

难道是大椭圆套小椭圆？

作者: Cielo 时间: 2011-12-2 16:44:40

原帖由 ares_g 于 2011-12-2 16:42 发表
难道是大椭圆套小椭圆？

我在一楼说的是互不包含，不过大的包含小的应该也差不多，只是图会好画一些……

作者: ares_g 时间: 2011-12-3 20:47:59

是不是要引入虚数啊？

作者: 京都不死之鸟 时间: 2011-12-3 20:50:33

竞赛内容？？。。高二刚学椭圆

作者: Cielo 时间: 2011-12-3 21:01:45

原帖由 ares_g 于 2011-12-3 20:47 发表
是不是要引入虚数啊？

我也不知道

因为我不会做啊……

作者: superacid 时间: 2011-12-7 18:46:02

由于椭圆是凸的。。。
所以n=4

作者: 钟七珍 时间: 2011-12-8 09:43:08

思考了两天，仍然找不到北。
可能自己“本钱”不够。
曾经思考过此题，留个脚印。

作者: Cielo 时间: 2011-12-8 13:22:12

原帖由 superacid 于 2011-12-7 18:46 发表
由于椭圆是凸的。。。
所以n=4

求详解！
但是如果是同心圆情形，n可以很大啊？

原帖由 钟七珍 于 2011-12-8 09:43 发表
思考了两天，仍然找不到北。
可能自己“本钱”不够。
曾经思考过此题，留个脚印。

感谢支持！说不定哪天突然就有好想法了~

作者: superacid 时间: 2011-12-9 16:18:22

原帖由 Cielo 于 2011-12-8 13:22 发表求详解！但是如果是同心圆情形，n可以很大啊？感谢支持！说不定哪天突然就有好想法了~

看来我的想法不是很有意义。。

作者: mowxqq 时间: 2011-12-10 16:03:33

这个压根就不成立的吧。。
比如下面这种情况（如果两椭圆长轴共线，且A0正好在两椭圆中心的连线上）

（A2应该不存在的，没擦掉，应该这样吧）

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-12-10 16:53 编辑 ]

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作者: Cielo 时间: 2011-12-10 16:18:32

楼上的图没错，但是不符合题目条件，当然“压根就不成立”。

作者: mowxqq 时间: 2011-12-10 16:23:05

那也就是不能说从椭圆A上任意一点出发都能回去（因为如果能找出我所画图中的两个椭圆，A0它无论如何是回不去的），或者椭圆A和椭圆B是给定的两椭圆，并不具备一般性。

作者: mowxqq 时间: 2011-12-10 16:39:30

这种情况我也不知道能不能找到，如果找到了也可能仅是特例，原题依然有它的研究价值

作者: Cielo 时间: 2011-12-10 16:42:18

不好意思，这个题目可能本来就不好表述清楚。而我20楼也没有指出错误来。

所有的 A_n 都是在椭圆 a 上的，所以图中的 A2 画错了。正确的 A2 其实是还是 A1，与题目要求的“另一点”不符。
题目是说，每个 A_i 和 A_(i+1) 都不同，直到某个 A_n 和 A_0 重合。

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