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标题: 求数列通项公式（希望三种以上） [打印本页]

作者: 阿魔老叟 时间: 2011-12-12 00:47:32 标题: 求数列通项公式（希望三种以上）

４、８、３、７、２、６、１、５、９、４、８、３、７、２、６、１、５、９、４、８、３、７、２、６、１…… 　　这是一个非常有特点的无限循环的数列，求通项公式。(注意，不能用取整函数，当然也不能用拉格朗日插值方式，呵呵呵，30多年前的一道数学题，目前有三种答案，不知道大侠们还有没有新的答案。

[ 本帖最后由魔金于 2011-12-12 12:11 编辑 ]

作者: ZJY 时间: 2011-12-12 01:10:11

483726159。。。

作者: 小明的马甲 时间: 2011-12-12 01:44:42

一看离散周期序列果断dft秒杀不解释。

作者: 奇遇 时间: 2011-12-12 11:47:14

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-12 01:44 发表
一看离散周期序列果断dft秒杀不解释。

作者: hubo5563 时间: 2011-12-12 16:56:37

an=((3+4n) mod 9)+1。

作者: 潜水艇 时间: 2011-12-12 23:34:01

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-12 01:44 发表
一看离散周期序列果断dft秒杀不解释。

虽然我不懂，但是看到这个ID就知道是正解了。

作者: 阿魔老叟 时间: 2011-12-13 02:17:11

原帖由 hubo5563 于 2011-12-12 16:56 发表
an=((3+4n) mod 9)+1。

胡教授的思路是对的，但可能您没看清楚，首项是4，不是8，您的答案可以改为;f(n)=[3+4(n-1)]mod9+1，再简化一下就是：f(n)=(4n-1)mod9+1

这是一种新的解法，谢谢胡教授，有机会见面一定要请您吃饭。尚有3种简洁的方法。其中有2种也是这个思路的。但第3种的思路是完全颠覆的，是完全不需要mod的。

PS：呵呵，能答出这道题的几乎全是数学家或程序员。2006年9月我在博客里与一些朋友讨论过，其实我也不知道到底有多少种解法，就像我不知道魔方有多少种解法一样，我一直期待有更新与更简洁的解法。希望吧里感兴趣的朋友一起破解。

[ 本帖最后由魔金于 2011-12-13 02:33 编辑 ]

作者: 小明的马甲 时间: 2011-12-13 02:33:03

其实我更好奇到底能用什么，不能用什么？比如不能用拉格朗日插值，那能不能用别的插值，函数都能用哪些之类的。。。

作者: 阿魔老叟 时间: 2011-12-13 02:45:32

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-13 02:33 发表
其实我更好奇到底能用什么，不能用什么？比如不能用拉格朗日插值，那能不能用别的插值，函数都能用哪些之类的。。。

其实最早在80年代出的时候这道题是没有什么限制的，但后来一些爱好者觉得不应该用普通人不熟悉的高等数学，建议用多数人都能快速理解的精确计算来给出答案。于是就限制了取整、插值等函数的计算。这样一来就增加了难度与趣味。有时越是简单的方法越是让人想不到，一旦想到了就是一种惊喜。

作者: 小明的马甲 时间: 2011-12-13 03:04:12

其实有个很无聊的解。。。4 8 12 16。。。把数字的每一位加起来。。。如果还是非个位数就再把它的每一位加起来。。。就是那个数列了。。。

作者: 阿魔老叟 时间: 2011-12-13 03:49:25

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-13 03:04 发表
其实有个很无聊的解。。。4 8 12 16。。。把数字的每一位加起来。。。如果还是非个位数就再把它的每一位加起来。。。就是那个数列了。。。

呵呵呵，不解释了，但还是希望有新的解法。（这么晚吧里还有人，感动！）

作者: superacid 时间: 2011-12-13 08:59:12

只要是个数学家，都不会去尝试解答这种题目

作者: Cielo 时间: 2011-12-13 12:01:55

一开始想到的当然是mod9了……

话说53747351/111111111可以吗

作者: 录 时间: 2012-5-27 22:33:14

沒看懂三樓的

作者: tm__xk 时间: 2012-5-28 18:58:59

不就是mod9的等差数列嘛..

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-3 14:25:54

周期函数？那就应该可以用三角函数啊= =假设他过那么几个点，设f(x)等于asin(x)+bsin(2x)...不知道行不行

作者: sdblackeyely 时间: 2012-6-3 18:08:31

这里净是高人呐。

作者: 阿魔老叟 时间: 2015-10-28 20:51:12

第三种方法，目前仍然没有人能写出来，我见过太多数学家、或者是自认是数学家的人，认为数学家就不需要解答这道题，哈哈哈哈，难道数学家都是逃兵吗？做不出来就说不用做，哈哈哈，我只提示一点，第三种方法超级简单。

作者: tm__xk 时间: 2015-10-29 07:05:37

这么无聊的坟还用这么无聊的理由来顶吖..真是呵呵了..

作者: TCBiang 时间: 2016-9-11 13:56:07

关键要用周期函数，总结下来有这几种思路：
1.同余（mod）；
2.三角函数（如a*sin（n*π/9）+……）；
3.复数（和三角函数类似，不过变成了模为1的复数的n次方）；
4.直接定义函数f（n），令f（1）到f（9）分别是483726159，并且f（n+9）=f（n）。

作者: 基本粒子 时间: 2017-3-12 20:15:03

a(n)=a(n-2)-1，如果遇到0，改为9。

作者: zhongjunzhang 时间: 2023-1-6 19:12:52

把数字两个两个分组，1组，4321987654321…，2组，876543219876…。
483726159循环
+4-5循环

作者: Kay_Young 时间: 2024-4-21 16:41:11

a_n = (9+4*e^16ipi/9+8*e^14ipi/9+3*e^4ipi/3+7*e^10ipi/9+2*e^8ipi/9+6*e^2ipi/3+1*e^4ipi/9+5*e^2ipi/9)e^(2niPi/9)+(9+4*e^14ipi/9+8*e^10ipi/9+3*e^2ipi/3+7*e^2ipi/9+2*e^16ipi/9+6*e^4ipi/3+1*e^8ipi/9+5*e^4ipi/9)e^(4niPi/9)+(18+12*e^4ipi/3+15*e^2ipi/3)e^(2niPi/3)+(9+4*e^10ipi/9+8*e^2ipi/9+3*e^4ipi/3+7*e^4ipi/9+2*e^14ipi/9+6*e^2ipi/3+1*e^16ipi/9+5*e^8ipi/9)e^(2niPi/9)e^(8niPi/9)+(9+4*e^8ipi/9+8*e^16ipi/9+3*e^2ipi/3+7*e^14ipi/9+2*e^4ipi/9+6*e^4ipi/3+1*e^2ipi/9+5*e^10ipi/9)e^(10niPi/9)+(18+12*e^2ipi/3+15*e^4ipi/3)e^(4niPi/3)+(9+4*e^4ipi/9+8*e^8ipi/9+3*e^4ipi/3+7*e^16ipi/9+2*e^2ipi/9+6*e^2ipi/3+1*e^10ipi/9+5*e^14ipi/9)e^(14niPi/9)+(9+4*e^2ipi/9+8*e^4ipi/9+3*e^2ipi/3+7*e^8ipi/9+2*e^10ipi/9+6*e^4ipi/3+1*e^14ipi/9+5*e^16ipi/9)e^(16niPi/9)

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