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标题: 一道求面积的题 [打印本页]

作者: 忧天杞人 时间: 2012-1-31 21:51:17 标题: 一道求面积的题

转自“果壳”的一道题，求a区域的面积

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作者: jhcng 时间: 2012-1-31 22:22:11

c区域的面积是关键。。。

作者: 谢老师 时间: 2012-1-31 23:39:08

好题！求C要有技巧！

作者: mowxqq 时间: 2012-1-31 23:43:46

125Pi-150arctan3/4-200

作者: 钟七珍 时间: 2012-1-31 23:56:12

　　设正方形的边长为A，则a区域的面积＝（Pi／4－5*3^(1/2)／16）A^2 ，约等于：24.41%A*2。
　　将边长Ａ＝20 代入，则a区域的面积＝100Pi－125*3^(1/2) ，约等于：97.65。
　　具体分析过程略。（思路可能不止一条）

作者: 钟七珍 时间: 2012-1-31 23:59:50

　　咦！我在５楼的结果怎么与４楼不同？
　　仔细检查，发现５楼思考环节发生错误，当然结果也错误。再议。

[ 本帖最后由钟七珍于 2012-2-1 00:21 编辑 ]

作者: 钟七珍 时间: 2012-2-1 00:59:07

　　重新分析了一遍，计算结果为：（Pi／4－3/4*arctan(1/2)－1/2）A^2。
　　将A＝20 代入，得：50Pi－300arctan(1/2)－200，约等于96.174，与4楼计算结果数值相同。

作者: 则卷同学 时间: 2012-2-1 01:18:20

额，我的第一反应是概率...

觉得求出abcd相交那点的坐标就行了...不过还是不会求，曲线周长怎么求...

[ 本帖最后由则卷同学于 2012-2-1 03:16 编辑 ]

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作者: mrmnm 时间: 2012-2-1 05:33:21 标题: 回复 8# 的帖子

我也是这樣想的, 把g的X軸座標搞出來, 積分一下就好
另外請問这图用什么軟件畫的?

作者: 则卷同学 时间: 2012-2-1 07:52:25

回复楼上，几何画板

可是...积分忘光...我再想想别的办法

作者: 谢老师 时间: 2012-2-1 09:30:16

boby吴博尉：【暴力解法】用微积分算出是：100*(4*arctan(3)+arctan(2)-Pi-2)，约等于96.1739 （没手算，直接扔给了wolframalpha.com）

作者: mrmnm 时间: 2012-2-1 09:49:33 标题: 回复 11# 的帖子

一直支持微积分!!

作者: mowxqq 时间: 2012-2-1 10:02:35

8#图中，G点坐标为（-6，2）
直接两弓形面积相加

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2012-2-1 10:07 编辑 ]

作者: 钟七珍 时间: 2012-2-1 10:08:31

　　谢谢谢老师为5楼加分鼓励！不过，我在５楼的结果是错误的。我重新计算后，在７楼的结果才是正确的，与４楼计算数值相同（96.174）。
　　此题如果不用反三角函数，用初中几何知识也可以求解，只是需要分步进行。已知∠CAF 的正切为2分之1（参见8楼图形），查出此角的数值；再计算扇形GAF 和扇形GCFR 的面积，相加后，减去半个正方形面积（即不规则四边形CFAG的面积），就得到阴影a区域的面积，即7楼的结果。

作者: 则卷同学 时间: 2012-2-1 10:54:15

这样不知道行不行，如图所示。角ACB和角ADB可求出对应扇形面积，然后减去包含三角形的面积即可。

[ 本帖最后由则卷同学于 2012-2-1 10:59 编辑 ]

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作者: 钟七珍 时间: 2012-2-1 11:28:51

原帖由 则卷同学 于 2012-2-1 10:54 发表
这样不知道行不行，如图所示。角ACB和角ADB可求出对应扇形面积，然后减去包含三角形的面积即可。

　　这就是我在１４楼的思路！两个三角形的面积之和，即不规则四边形DBCA的面积，其值等于半个正方形的面积（1/2*20^2=200）。而求扇形面积则必须先求∠DCB 的大小（tan∠DCB＝1/2）。

[ 本帖最后由钟七珍于 2012-2-1 11:44 编辑 ]

作者: 则卷同学 时间: 2012-2-1 11:41:43

回复楼上，就是这里没看懂，【其值等于半个正方形的面积】...

是你硬算出来的，还是？

作者: 钟七珍 时间: 2012-2-1 11:49:11

原帖由 则卷同学 于 2012-2-1 11:41 发表
回复楼上，就是这里没看懂，【其值等于半个正方形的面积】...

是你硬算出来的，还是？

　　借用１５楼图形，连接DC。从扇形的对称性很容易看出：三角形DBC与三角形DAC全等。而三角形DBC的面积等于1/4正方形的面积.

作者: strawberry 时间: 2012-2-1 11:53:16

我是想到用积分！

作者: 忧天杞人 时间: 2012-2-1 12:13:15

这其实是小学题。答案估计你们看了会吐血。。。
答案是：面积a=（20x20）-b-c-d
没要求算出面积的确切数据。坑爹啊……

作者: mrmnm 时间: 2012-2-1 17:39:25 标题: 回复 20# 的帖子

難度是要數格子?

作者: 忧天杞人 时间: 2012-2-2 06:00:21

△DAC与△BAC全等。
BC=CD=2AD=2AB=20
tan∠BAC=2，∠BAD= 2arctan2
扇形BAD面积为 100pi*2arctan2/2pi=100arctan2
同理，扇形BCD面积为 400pi*2arctan0.5/2pi=400arctan0.5
a的面积为
S=扇形BAD+扇形BCD-2△BAC
=100arctan2+400arctan0.5-200
=96.1379...

[ 本帖最后由忧天杞人于 2012-2-2 06:02 编辑 ]

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作者: 则卷同学 时间: 2012-2-2 10:14:48

回复楼上，三角函数我不会，扇形面积也不会求……如果是要我做的话，我果断数格子……

作者: superacid 时间: 2012-2-2 10:47:14

我只是想知道LS的截图是哪里来的

作者: 钟七珍 时间: 2012-2-2 10:53:44

　　借用22楼的图形：

设正方形的边长为A，A＝20。
△DAC与△BAC全等。
BC=CD=2AD=2AB=A=20
tan∠ACB=tan∠ACD=1/2，∠DCB= 2arctan(1/2)
∠BAC=Pi/2－∠ACB，∠BAD= 2∠BAC=Pi－∠DCB= Pi－ 2arctan(1/2)
扇形DCB面积为 (PiA^2)*2arctan(1/2)／(2Pi)=arctan(1/2)*A^2
同理，扇形DAB面积为 (PiA^2／4)*(Pi－2arctan(1/2))／(2Pi)=(Pi／8－arctan(1/2)／4)A^2
　　a的面积为：S=扇形BCD+扇形BAD-2△BAC
　　＝arctan(1/2)*A^2+(Pi／8－arctan(1/2)／4)A^2
　　＝（Pi／8＋3/4*arctan(1/2)－1/2）A^2
将A＝20 代入，得：S=50Pi＋300arctan(1/2)－200，约等于96.1739。

[ 本帖最后由钟七珍于 2012-2-2 11:18 编辑 ]

作者: lidi496654724 时间: 2012-2-2 16:34:45

用微积分很好做的哦

作者: 断言人在天涯 时间: 2012-2-3 16:34:14

如果我说初中的时候老师用了一节课讲这个图大家会相信吗？

作者: FDJFDJ000 时间: 2012-2-5 13:15:13

用积分就行了啊，好做得很，练习题...

作者: 双面胶 时间: 2012-2-6 11:53:42

22#的解很好诶……

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