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标题: 关于拓扑绳环的一点浅见 [打印本页]

作者: 忧天杞人 时间: 2012-3-15 12:31:28 标题: 关于拓扑绳环的一点浅见

普通绳环一般是九连环类的同理异形结构，它的特点是：绳套（或手柄）是封闭的，梁是开放的。
拓扑绳环则与之有着本质的区别，它的特点是：绳套是开放的，梁是封闭的。
如下图所示。

回想一下拓扑绳环的发展，“仙人摘桃”出现时间较早，且结构是基础形态，基本可以看做源头。
仙人摘~1.JPG

什么样的拓扑绳环可以解开呢？如下图，
死活扣.JPG

上面一排，两个绳头位于梁的同一侧，可以解下，我称之为“活扣”，下面一排，两个绳头位于梁的两侧，无法加下，我称之为“死扣”。
那么能不能把绳头位置当做判断有无解的依据呢？看下图
死扣.JPG

这个绳结的两个绳头位于梁的同侧，但是却无解。细看可知它是由一个“活扣”和一个“死扣”组成，“活扣”解开后，就剩下一个“死扣”了。
再回到刚才的问题上，到底怎么判断绳结的死活呢？
我们知道，绳子通过封闭的梁有有两种状态：进、出。把“进”用1表示，“出”用-1表示，
现在从绳子的一段开始，沿绳子走向记下每个单绳结的状态，最后把所有的状态值加起来，结果为零的就是“活扣”，否则就是“死扣”。举例说明死活扣.JPG

明白了死活的判断方法，那么面对一个拓扑绳环该如何来解呢？
首先要找出每个单绳结，然后让其中某些绳结沿梁滑动，把全部绳结合并到一处，进而判断其死活，如果是活结，解开就不是难事了。
以传统的“仙人摘桃”为例，首先找到两个单节，将其中一个沿梁滑动至另一个单节处，结果可以看出这是活结。
未命名.JPG

接下来的难题就是，什么样的环上的绳结能够合并到一处呢？可惜目前我还不敢得出明确的结论。我这里说说的我的猜想，（正确与否，有待验证），不管多复杂的梁，只要通过不断变形，如果最终能成为一个圆，我称之为“活梁”；最终不能形成一个圆的，我称之为“死梁”。只有“活梁”上的绳结可以合并至一处。
看图示例，ddk的“立交路”和“六出祁山”就是“活梁”
立交路~1.JPG

而这个就是“死梁”

结论：只有同时满足“活梁”“活扣”两个条件的拓扑绳环才是有解的。

[ 本帖最后由忧天杞人于 2012-3-16 21:50 编辑 ]

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作者: 问道者 时间: 2012-3-15 12:39:16

经常能看到这样关于绳环的拓扑解释，一定受益匪浅。而且通俗易懂。

[ 本帖最后由问道者于 2012-3-15 12:40 编辑 ]

作者: 管窥子 时间: 2012-3-15 13:51:16

获益匪浅！
支持理论研究。
钓金龟、双蜗揽月是拓扑绳环吗？

作者: 忧天杞人 时间: 2012-3-15 16:41:37 标题: 回复 3# 的帖子

不算吧，这俩都是摘环的。

作者: poe 时间: 2012-3-15 16:59:11 标题: 回复 1# 的帖子

猜想叙述不明确，”这个环上的所有绳结可以合并至一处“需严格定义。你的问题本质上是判断两个纽结构成的链环是否可分，建议参考纽结方面的理论著作（楼主经常提到拓扑或拓扑变换，最好先把它们的数学定义搞清楚）。这里我给出一个简便的方法：首先算出原始谜题对应链环的基本群，然后算出梁和绳圈分离之后（假定能分离）对应链环的基本群，若两个基本群同构则可解，否则不可解。（当然，判断是否可解的算法及求解的算法肯定是NP-困难的。）

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 17:01 编辑 ]

作者: poe 时间: 2012-3-15 17:17:54

对于梁和绳圈可以进行任意拉伸收缩变换的谜题，用上面我提到的基本群可以直接给出判别法则（算出梁和绳圈补空间的基本群（梁不是纽结也可以））。但是如果谜题有刚性限制，则不存在一般方法，需对具体的谜题引入具体的方法。

作者: 忧天杞人 时间: 2012-3-15 17:22:13 标题: 回复 5# 的帖子

遇到高人了。心生惭愧。电脑里有相关的几本书，随便翻了翻，但一看到概念名词就心生畏惧，一直未能细读。

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作者: 忧天杞人 时间: 2012-3-15 17:28:06

帖中所说只是本人用土办法得出的一点经验，远远说不上什么理论。

作者: poe 时间: 2012-3-15 17:36:48 标题: 回复 7# 的帖子

此贴已删除。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 22:46 编辑 ]

作者: poe 时间: 2012-3-15 17:49:34 标题: 回复 8# 的帖子

此贴已删除。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 22:46 编辑 ]

作者: poe 时间: 2012-3-15 18:20:47

此贴已删除。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-15 22:45 编辑 ]

作者: 问道者 时间: 2012-3-16 12:28:09

还是土办法好，受益面广。

作者: poe 时间: 2012-3-16 16:25:15 标题: 回复 12# 的帖子

对于能人工求解的谜题和实际操作而言，“土办法”比较有效。然而为了分析一般性原理，证明谜题解的存在性以及求解复杂的谜题，则需数学和算法作支撑。当然，数学还可以用于设计和推广比较简单的原始谜题。

[ 本帖最后由 poe 于 2012-3-16 16:27 编辑 ]

作者: poe 时间: 2012-3-16 16:54:49 标题: 回复 12# 的帖子

打个比方：小学算术受益面的确广，难道您喜欢一直停留于小学算术的水平？为了人类心智的荣耀，难道不想着再进一步探索？

作者: 忘记 时间: 2012-3-16 17:22:18 标题: 回复 14# 的帖子

个人觉得这是科学家的事情

作者: poe 时间: 2012-3-16 17:33:56 标题: 回复 15# 的帖子

我指的当然不限于科学方面的东西。如果你工作不纯是为了赚钱，学习不纯是为了考试，……不是一直在探索么。所谓生命迷宫中的探索。

作者: 忧天杞人 时间: 2012-3-16 19:10:59

解环充其量算“术”，数学才是至“道”。巧环玩到一定程度，肯定是要上升到数学层面的。

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