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标题: 二阶齿轮(Gear Shift)介绍,附解法 [打印本页]

作者: Cielo    时间: 2012-3-30 02:39:09     标题: 二阶齿轮(Gear Shift)介绍,附解法

背景介绍:

前几天,在微博看到一个gif图,大致和这个视频里差不多,当时就想到了二阶齿轮魔方。
这条微博的回复里面,有魔友(好像是豆钉?)说二阶齿轮不是魔方,我同意他的看法,参见我以及SMAZ大师的回帖。为什么这么说呢?待会我会说说我的理解。

二阶齿轮在小懿介绍 Oskar 的帖子里已有提及,不过他的帖子内容很多,所以不可能每一款魔方都详细介绍,我这里就有可乘之机来稍微补充一下了。

说回上面那个神奇的东西,我找了一下,发现是日本的 Haruki Nakamura 原创的纸模型,叫做 Gears Heart,而他还做过一个 Gears Cube gear cube.jpg
纸模型的制作方法可以在网上找到,Gears HeartGears Cube~


后来在TP上找到Oskar自己介绍 Gear Shift 的帖子,他说这款魔方是基于 Bram Cohen 的想法,转动方式会让人想起  Haruki Nakamura 的那两个纸模型,而拉伸的机制以前在大烟头的介绍 Magic Ball 的帖子里也出现过。

这款魔方最早只能在 Shapeway 上买到,后来 Meffert 量产了。这里要说一句,M 授权国内生产的齿轮魔方,居然在包装上写齿轮魔方是Meffert发明的,实在是无语……

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转动方式:(下面都是借用Oskar的图)
solved.jpg
它有8个角,其中4个大角(有8齿),4个小角(有5齿),大小角交错分布。由于外形很像二阶,所以形象地被称为“二阶齿轮”。
可以从三个方向拉开它,拉开之后,每一半的4块能一起转动。
从上下方向拉开 pull.jpg
再旋转上半部分 U.jpg
然后再把它合拢 push.jpg
从左右方向拉开 pullLR.jpg
…完全打乱之后 scrambled.jpg

所有8个角都只能原地转动,也就是只有方向能变化,位置是不会变的,这是 Gear Shift 不能称之为“魔方”的原因之一。
原因之二,我觉得这跟原因更本质一些,就是 Gear Shift 满足“交换律”!

一般的魔方都是不满足“交换律”的,比如三阶,做 RU 和 UR 肯定会产生不同的效果,这是因为 U 层和 R 层之间有相交块。
我们从复原态先做 RU,如果接着做 RU 的逆,那当然回到复原态了;但如果交换一下顺序,做 UR 的逆,会得到 RU(UR)'=RUR'U',这是一个 commutator,而在群论中,commutator 就是用来刻画交换性的。

但 Gear Shift 却不一样。这个“魔方”的所有转动都是可随意交换次序的,也就是 RU=UR,U3 R2 F5 L4 = L4 U3 F5 R2……这里说下我对于UDLRFB的定义。
U 表示先从上下方向拉开,然后将 U 层的一个大角顺时针转动 1 个齿(360°/8=45°),再合拢。此时 U 层的两个大角都顺转 1 齿,两个小角都逆转 1 齿。
其余的都类似定义。

我们可以用一组数字来描述  Gear Shift 的状态,就和三阶盲拧四步法中对角块方向的描述差不多。
可以想象成每个角块上标了一个数字,用来表示这个角块离复原态有多远,比如:
0表示该角块方向正确,已经是复原态;1表示该角块处于从复原态转动1个齿(大块是顺时针,小块是逆时针)所到达的状态。这样大块的状态可能是0~7,小块是0~4.

以右图为例 gear05.jpg
黄色为 U,蓝色为 R,橙色为 F,那么这个状态是 7 个角已经复原(即这些角块状态为0),只有 URF 角(小角)逆时针转动了 3 个齿(即该角块状态为3)。

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解法:

举个最简单(也可以说最复杂)的例子吧!现在的打乱状态是 7 个角已经复原,只有 URF 角(小角)逆时针转动了 1 个齿(即该角块状态为1)。

下面开始一个神奇的步骤——设未知数、解方程!

设从该打乱态复原需要转动 u次U,d次D,l次L,r次R,f次F,b次B,

考虑URF角,只有转U、R、F时这个角会变化,转完之后到达复原态,所以
1+u+r+f=0(mod5),
其他块的初态和末态都是复原态,所以有
u+l+b=0(mod5)
d+l+f=0(mod5)
d+r+b=0(mod5)
u+l+f=0(mod8)
u+r+b=0(mod8)
d+r+f=0(mod8)
d+l+b=0(mod8) //这里 mod 表示同余,即 右边=左边除以5(或8)之后的余数。

解这个方程可得一组解(其实是有无穷多组解的,找个比较简单的就行):
d=l=f=0,u=-8,r=-8,b=8
也就是说:摆放魔方使得URF位置是小角,此时只需要逆时针转 U 层一个大角8个齿(恰360°)、逆时针转 R 层一个大角360°、顺时针转 B 层一个大角360°,就可以实现只顺时针转URF小角一个齿(360°/5=72°)的效果。而且上面三个转动步骤的先后顺序是无所谓的。

类似地,摆放魔方使得URF位置是小角,此时只需要逆时针转 U 层一个小角5个齿(恰360°)、逆时针转 B 层一个小角360°、顺时针转 L 层一个小角360°,就可以实现只顺时针转 URB 大角两个齿的效果。

以上两个“公式”就可以解出二阶齿轮了。当然,实际复原时还是先用层先法,最后几个角的时候再用公式会快一些吧。

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留个思考题:能否出现只有 1 个大角转了一个齿,其它 7 个角都复原的状态?

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作者: schuma    时间: 2012-3-30 06:14:29

你有这个东西的实物么?我知道这个理论,不过倒是想在实物上试试。真拿着这个东西的话我大概不会去解方程寻找解答的。顶多是把高斯消去之类的方法变成一个步骤来做。

我在给那个关于commutator的讲座的时候,Bram Cohen 也坐在观众里。完了以后他就拿出这个东西说事。应该说他本人还是很喜欢这个玩具的。

思考题:不会出现。只看大齿轮的话,由于任何旋转都会转偶数个大齿轮,所以所有大齿轮的状态之和一定是个偶数。而且模8的时候也是分奇数偶数的。如果把这个命题往小齿轮上套的话,得不到任何结论,因为模5的算术是不分奇数偶数的。

[ 本帖最后由 schuma 于 2012-3-30 06:45 编辑 ]
作者: 耗子哥哥    时间: 2012-3-30 09:14:02

话说啊……在魔方收藏讨论一个你认为不是魔方的东西,还专门进行论证,这应该算是一个悖论?
作者: 大烟头    时间: 2012-3-30 09:43:19

个人认为有多个转层,转层间有相交块会产生位置变化的才算魔方。这二阶齿轮不合这条件。

附上一个在淘宝上看到的二阶齿轮的纸模
纸模齿轮魔方.jpg

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作者: Cielo    时间: 2012-3-30 09:49:49

原帖由 schuma 于 2012-3-30 06:14 发表
你有这个东西的实物么?我知道这个理论,不过倒是想在实物上试试。真拿着这个东西的话我大概不会去解方程寻找解答的。顶多是把高斯消去之类的方法变成一个步骤来做。
...

有实物,我试过了
嗯确实不需要解方程的,我是解出来之后发现找到的解其实比较直观,应该是能直接想出来的。

原帖由 耗子哥哥 于 2012-3-30 09:14 发表
话说啊……在魔方收藏讨论一个你认为不是魔方的东西,还专门进行论证,这应该算是一个悖论?

移到别的区也可以啊!
另外,引用一下“本版规则
本区主要内容为魔方及相关产品收藏展示,在本区发帖除特殊情况(如收藏集合帖或指导帖)应带有相关图片、视频等内容。本区不欢迎任何性质的商业广告(包括贴图水印),原则上也不认可转让帖的出现。
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原帖由 大烟头 于 2012-3-30 09:43 发表
个人认为有多个转层,转层间有相交块会产生位置变化的才算魔方。这二阶齿轮不合这条件。

附上一个在淘宝上看到的二阶齿轮的纸模
177951


那么有些滑动类的也算魔方吗?比如巴比伦塔、匈牙利环。

想起来这个纸模的图烟头以前在群里发过的,我居然忘记了

[ 本帖最后由 Cielo 于 2012-3-30 10:19 编辑 ]
作者: Vicki    时间: 2012-3-30 09:58:53

烟头发的齿轮纸模和量产的二阶齿轮有区别~
作者: aqianaqian    时间: 2012-3-30 11:01:26

这篇文章写得好。

文章中的情况,小齿逆转三齿等于顺转两齿,
偶数就好办,把这个“顺转两齿”分解到R、U两个面,各操作同样的方式,目的是两次让该小齿各逆转一齿,它就回去了。
这个不用算,直接操作即可,转R面大齿360度,看几次能让小齿逆一下,那么U面也几次,它就又逆了一下。
然后B面大齿反转那些次,把肯定会相同转数的两个新小齿抵消。

大齿只能转偶数齿,拍一张看看。
转2齿.JPG

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作者: schuma    时间: 2012-3-30 11:58:15

这个东西就跟魔表性质一样吧:都属于交换的,零件只能旋转的谜题。要是可以讨论魔表,就可以讨论这个吧。
作者: way85    时间: 2012-3-30 16:08:37

C罗解法取胜,哈哈,不过齿轮真的是我比较喜欢的魔方,除了砖,呵呵
作者: otischeng    时间: 2012-3-30 18:14:06

C羅的解法很高深, 有點不太明白......

嗯. 收藏區確實可以展示與魔方相關的東東沒錯~不過C羅展示的都是轉來的照片啊 要是用自己拍的照片就更好了

不過不管怎麼說, 確實是很不錯的展示. 把Gear Shift的背景, 設計師, 機械原理及解法都介紹得一清二楚, 頂一個!
作者: rc5277    时间: 2012-3-31 19:41:20

精彩的文章,收藏起来慢慢思考,谢谢C罗的分享了。
作者: 打败Erik    时间: 2012-4-1 14:47:06

哈哈 commutator 换位子 这学期我正在学抽象代数 群论好难
作者: Donald_LYC    时间: 2012-4-2 19:51:13

有深度,但我的齒輪不在我手上。。。
作者: 阿魔老叟    时间: 2012-4-3 03:41:51

高手就是高手解法寫得都這麽專業,超贊!
作者: 黄敏捷    时间: 2012-4-3 22:11:10

这种齿轮我不知到有没有事物,但这公式太深奥了吧,有的话我也想要一个
作者: audreychenjj    时间: 2012-4-4 08:42:06

Gear Heart的图来了,其实不是个魔方,和Gear Shift 齿轮二阶很接近,每个齿都可以原地转;除了没有中间那个框架结构,那个是可以支持齿轮二阶像东西或南北方扯开来转动的。

还打算等我的本土M齿轮齿轮出来后我组装一个“黑人牙膏” 黑底白齿的三阶齿轮3代然后一起发收藏贴的。借C罗的技术强帖,发个3D打印的齿轮心的图大家可以一睹为快啦。

附件: Gear Family 1.JPG (2012-4-4 08:42:06, 217.05 KB) / 下载次数 61
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作者: audreychenjj    时间: 2012-4-4 08:48:37

忘了说明,我的这个gear heart和楼主发的纸质模型是不一样的,这个齿轮心更接近M出的二阶齿轮,就差那个框架。有空我发个拆解图给大家看哈。
作者: otischeng    时间: 2012-4-4 09:16:11

原來Gear Heart真的有3D打印的實物啊? 真不錯啊. 網上搜索了一下, 居然搜不出原設計師是誰. 我覺得這個叫Thinkiverse的網頁似乎靠譜一點. 另外還有shapewayEtsy, 寫的設計師都不一樣. 難不成設計師還是看了Oskar Van Deventer的Gear Shift之後改成心形?我看主帖Haruki Nakamura的那個圖好像跟波姐那個不太一樣...


作者: audreychenjj    时间: 2012-4-4 10:11:09

o仔你发的3个里Shapeway的和那个纸模型大致一样,块的大小有所不同;Thinkiverse和Etsy的是一样的,和那个纸模型差别很大。严格说都不算魔方,没有办法真正打乱,异形是可以,但是一直转就复原了。

原帖由 otischeng 于 2012-4-4 09:16 发表
原來Gear Heart真的有3D打印的實物啊? 真不錯啊. 網上搜索了一下, 居然搜不出原設計師是誰. 我覺得這個叫Thinkiverse的網頁似乎靠譜一點. 另外還有shapeway和Etsy, 寫的設計師都不一樣. 難不成設計師還是看了Oskar V ...

作者: Cielo    时间: 2012-4-4 19:39:09

原帖由 audreychenjj 于 2012-4-4 10:11 发表
o仔你发的3个里Shapeway的和那个纸模型大致一样,块的大小有所不同;Thinkiverse和Etsy的是一样的,和那个纸模型差别很大。严格说都不算魔方,没有办法真正打乱,异形是可以,但是一直转就复原了。


对,Shapeway网页的介绍里说 "A tribute to papercraft artist Haruki Nakamura's sculpture, Gear's Heart. The assembled heart measures 8.5 cm in height (8.5 cm x 8.2 cm x 5.1 cm)."
所以是和纸模型一样的。

Thinkiverse 那个确实和 Gear Shift 非常像啊~

原帖由 audreychenjj 于 2012-4-4 08:42 发表
还打算等我的本土M齿轮齿轮出来后我组装一个“黑人牙膏” 黑底白齿的三阶齿轮3代然后一起发收藏贴的。 ...

期待kissis的齿轮合辑哈!
作者: zaybxc    时间: 2012-4-13 20:29:47

想起了一句:条条大路通罗马!
作者: 魔嗜    时间: 2012-4-13 21:27:36

很漂亮也很新颖,赞一个




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