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标题: 有多少个三角形？ [打印本页]

作者: 华容道 时间: 2012-4-12 06:33:35 标题: 有多少个三角形？

由凸n边形及其全部对角线所组成的图形中最多有多少个三角形？

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作者: 玉逸风 时间: 2012-4-12 07:37:48

在n中取3的所有组合数，我的观点

作者: schuma 时间: 2012-4-12 07:52:38 标题: 回复 2# 的帖子

如果要求三角形的顶点必须是n个顶点里的，那就是你说的数。如果不一定用那n个顶点的话，就多多了

作者: 华容道 时间: 2012-4-12 08:59:30 标题: 回复 3# 的帖子

不一定用那n个顶点。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-4-12 12:20:06

C(n,3)+nC(n-1,3)+nC(n-2,4)+C(n,6)
(经8楼提醒，改成C(n,3)+nC(n-1,3)+nC(n-1,4)+C(n,6)

[ 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-4-13 11:28 编辑 ]

作者: Fenz 时间: 2012-4-12 16:55:15

约定组合函数C(a,b)=a!/(b!(a-b)!)，和楼上相同的记法
满足条件的n边形有n条边，C(n,2)-n条对角线，过一点的对角线有n-3条。
任意三条对角线可组成一个三角形，数量为C(C(n,2)-n,3)；
两条相邻边及一条确定的对角线可组成一个三角形，数量为n；
一条边和过其两个端点并相交的两条对角线，可以组成一个三角形，这其中三角形三个顶点都在多边形定点的有n(n-4)个，其余nC(n-2,2)个。
总数为：C(C(n,2)-n,3)+nC(n-2,2)+n(n-3)
此式适用于n>=4，当n=3时显然三角形个数是1

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-4-12 18:06:03 标题: 回复 6# 的帖子

怎么可能过任意3条对角线就一定能组成一个三角形呢？比如说n>=6时：A1A3与A1A4与A1A5这三条就搞笑了
再比如说n>=9时，A1A3与A4A6与A7A9也搞笑了

[ 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-4-12 18:09 编辑 ]

作者: hjt0619 时间: 2012-4-12 22:23:54

我的答案是C(n,3)+4C(n,4)+5C(n,5)+C(n,6)
跟暴强的就第三项对不到，不知道哪错了。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-4-13 11:27:53

原帖由 hjt0619 于 2012-4-12 22:23 发表
我的答案是C(n,3)+4C(n,4)+5C(n,5)+C(n,6)
跟暴强的就第三项对不到，不知道哪错了。

额。。。我打错了，我原来是想打nC(n-1,5)的，你的答案是正确的

作者: Fenz 时间: 2012-4-13 14:29:36 标题: 回复 7# 的帖子

是我错了，而且验证了4和5就没验证下去。我搞笑了
8楼的思路我看懂了，5楼的思路还是没看懂

作者: 华容道 时间: 2012-4-13 17:45:01

谢谢各位高手

作者: 咖啡味的茶 时间: 2012-4-14 03:02:32

呃。每两条顶点的线段都相交，所以交点有C（2，n）个，包括原本顶点，一共有（n^2+n)/2个。每三个顶点都有一个三角形，所以有C（3，（n^2+n)/2)个。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-4-15 00:00:30 标题: 回复 12# 的帖子

只算形内的交点...

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