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标题: 【不等式】求一个不等式的证明方法！ [打印本页]

作者: 魔_物理_控 时间: 2012-4-18 23:29:20 标题: 【不等式】求一个不等式的证明方法！

已知A+B+C=180度，求证：sinA+sinB+sinC≤ 3√3 / 2 .

吧里的各位大神们来解决一下吧……

PS:实在不想去百度贴吧……

作者: Cielo 时间: 2012-4-18 23:58:29

在C固定的情况下，sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]在A=B时最大，所以为了使左边达到最大值，有A=B；
同理A=C，B=C，所以都是60°时取到最大值，为右边。

作者: schuma 时间: 2012-4-19 10:45:35

原帖由 Cielo 于 2012-4-18 23:58 发表
在C固定的情况下，sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]在A=B时最大，所以为了使左边达到最大值，有A=B；
同理A=C，B=C，所以都是60°时取到最大值，为右边。

这个证明不完整吧？

A, B, C 一个固定数的情况下，变另外两个数不会增大，并不直接意味着同时变三个数不会增大。

作者: hjt0619 时间: 2012-4-19 11:52:18

不知道二楼的方法有没有错。
我的想法前面类似二楼的。先把所有三个角的情况按角C的大小分成无数类，然后每类里面都是角A等于角B时取最大值。然后比较每个分类里的最大值，得到当角C等于60时的是最大的。我这种方法可行么？

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2012-4-19 11:57:04 标题: 回复 3# 的帖子

其实思路是：若上述不等式左边的最大值在A=a, B=b, C=c时取到，则必有a=b=c。。。否则由2楼可推出矛盾（左边还没取到最值）

作者: hjt0619 时间: 2012-4-19 12:40:34 标题: 回复5楼

这样说来，2楼应该是正确的。

作者: schuma 时间: 2012-4-19 12:49:20 标题: 回复 5# 的帖子

对，这么写就严格了。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-4-19 17:01:36

使用分为无穷种情况讨论的方法多半是错误的

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2012-4-19 17:15:46 标题: 回复 8# 的帖子

特别是在这个无数还是不可列无数的时候。。。

作者: redcarrot 时间: 2012-4-19 18:09:37

琴生不等式…………
2楼的证法有点像调整法

作者: 魔_物理_控 时间: 2012-4-19 23:35:18

表示我最熟悉的基本不等式只有均值不等式……是不是还有柯西不等式和琴生不等式神马的……

作者: tm__xk 时间: 2012-4-27 01:15:04

直接Jensen..

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