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标题: 一个几何悖论 [打印本页]

作者: jx215 时间: 2012-4-20 22:02:04 标题: 一个几何悖论

如下图，ABCD为矩形，在矩形外选取一点E，使得DC=DE。G、F分别为BC、BE中点，然后过G、F分别作垂线，两条垂线相交于H。连接H与ABDE四点，就形成了下图，为了让证明过程更清晰，已经把一些相等的线段染成了同一种颜色。

因H在AD的垂直平分线上，故AH=DH。因H在BE的垂直平分上，故BH=EH。因DC=DE且ABCD为矩形，故AB=DE。至此，ΔABH和ΔDEH的三边都相等，根据“边边边”（初中平面几何里学的全等三角形判定条件之一），ΔABH与ΔDEH全等。因此∠BAH=∠EDH。上式两边分别减去∠HAD和∠HDA（因等腰三角形，这二角显然相等），则可得出图中α、β二角相等！显然，α为直角，而β为钝角！

这肯定是错误的,请说明错在哪里.

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作者: 祭司zhangcy 时间: 2012-4-20 22:13:48

H点在矩形内部、、、、、、、

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2012-4-20 22:27:48

= = 让我想起了一部分几何选择题的做法——精确做图，测量取整。。。

作者: 杰然不同 时间: 2012-4-20 22:39:47

不能确定所有点都在同一个平面上的。

作者: chuchudengren 时间: 2012-4-20 22:40:32

因为HD 是CE的垂直平分线，所以很容易看出HDE这个三角形是“反的”。

作者: jx215 时间: 2012-4-21 22:04:19

原帖由 chuchudengren 于 2012-4-20 22:40 发表
因为HD 是CE的垂直平分线，所以很容易看出HDE这个三角形是“反的”。

怎么看出HD 是CE的垂直平分线的?

作者: 华容道 时间: 2012-4-22 06:33:29

△BCE的外心H的位置有问题。

作者: hubo5563 时间: 2012-4-22 08:35:52

作图不准确导致的，精确作图D点应该在三角形BEH内。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2012-4-22 08:37 编辑 ]

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作者: 乌木 时间: 2012-4-22 11:29:04

好像“精确”作图后，悖论还是存在——△HAB和△HDE还是三边分别相等，但是看上去两个三角形不像是全等的。怎么会的？不像是视觉误差呀？！是不是画得还不够精确才使两个三角形看上去不相等的？
一道几何悖论题.png

好像E点位置取成这样的话，虽然D点处于△HBE内部了，但是和楼主问的悖论不同了，对吧？是否还是要像1楼图片那样，但是再画得精确些，再探讨楼主指出的两个角不等的悖论。

[ 本帖最后由乌木于 2012-4-22 21:53 编辑 ]

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作者: phileas 时间: 2012-4-22 11:39:32

充分说明了使用作图来证明几何定理是不够严谨的(虽然看上去没有图只是起方便理解的作用，但是有些性质是直接从图上看出来的)
只有通过几何公理推导才放心。

作者: 乌木 时间: 2012-4-23 09:16:19 标题: 回复 9# 的帖子

昨天把9楼我画的图给一位物理老师看了，他认为还是作图不准造成的。他说夹角很小的两直线相交，交点用眼睛估，就不能保证正确位置了。用ACAD作图（见下图），就能较准地定位，有自动数值计算。
一道几何悖论题（正确作图）.png

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作者: 乌木 时间: 2012-4-24 18:37:42

1楼的问题是否这样考虑：E点在矩形外面，E逐渐向左靠近C点时，H点迅速下移；HE连线迅速靠近HD连线；但是HE连线不可能越过D点侵入矩形。（当极限情况——E移动到和C点重合时，G点也和F点重合，GH和FH线相交（H点）在无穷远处，HE连线和HD、CD线重合，即D点EH线上，因此在E逐渐向左靠近C点的整个过程中，直到极限，HE连线始终在矩形D点的外侧。）
所以，不可能出现1楼图片所示的情况，即D点不可能落在ΔHBE的外面，因而就不可能出现所谓“钝角β”的情况。图画错，结论就错了。
对吗？

[ 本帖最后由乌木于 2012-4-25 10:20 编辑 ]

作者: jx215 时间: 2012-4-25 21:06:50 标题: 回复 12# 的帖子

后来看了一下,发现H点是三角形BCE外心,因此DH垂直平分CE,那HE应该在DH的右侧.

作者: tm__xk 时间: 2012-4-27 01:33:08

A,D在EH同侧.
字数.

作者: gqc294981 时间: 2012-4-28 10:47:33

要是能做个立体的东西就好了哈哈估计就不是悖论了

作者: qajlyhqpy 时间: 2012-5-1 21:03:48

早就看过了

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