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标题: 关于等腰三角形的几何题 [打印本页]

作者: jx215 时间: 2012-5-10 12:20:27 标题: 关于等腰三角形的几何题

△ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于P，AD=AE；若 BE+PB=CD+PC，求证AB=AC

此题如何解?

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作者: k789m 时间: 2012-5-10 12:34:13

这种类型还真没接触过，可能要用到反证

作者: k789m 时间: 2012-5-10 12:49:49

假设AB=AC,则∠ABC=∠ACB,BE=CD
∴△EBC全等于△DCB,
∴∠ECB=∠DBC,又∵∠ABC=∠ACB
∴∠EBP=∠DCP，且BE=CD，∠EPB=∠DPC
∴△EPB全等于△DPC,
∴ BE+PB=CD+PC成立
所以AB=AC

作者: 奇遇 时间: 2012-5-10 13:20:09

不知楼上所云。。

作者: hjt0619 时间: 2012-5-10 13:27:27

3#.........

作者: qwecs666888 时间: 2012-5-10 14:09:51

连接AP
因为EP=DP AP=AP
所以三角形APE全等于三角形APD
又因为BE+PB=CD+PC 角BEP=角CDP 角BPE=角CPD
所以三角形BEP全等于三角形CDP
所以AB=AC
额。。。我这个思路有问题。。。在证明第一个三角形时少条件了。。。郁闷不会了。。。。

[ 本帖最后由 qwecs666888 于 2012-5-10 14:13 编辑 ]

作者: jx215 时间: 2012-5-10 15:16:17 标题: 回复 6# 的帖子

EP=DP 从哪里来?要有这个条件立马就证出来了

作者: jx215 时间: 2012-5-10 15:18:23 标题: 回复 3# 的帖子

还有这种证法,晕~
算不算循环论证啊?

作者: nnkken 时间: 2012-5-10 16:10:15

對於固定的A，B，D，E，先畫出等腰三角形ABC，再在DC上選出一點C1，DC的延長線上選出一點C2。
BD與CE交於P，BD與C1E交於P1，BD與C2E交於P2。
BE+PB=CD+PC
BE+P1B>BE+PB=CD+PC>C1D+P1C1
BE+P2B<BE+PB=CD+PC<C2D+P2C2
因此，對於固定的A，B，D，E，BE+PB=CD+PC僅當ABC為等腰三角形，即AB=AC。

以上只是我的思路，證明中省略了很多部分，也沒考慮特殊情況，但我想思路是可行的。

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作者: k789m 时间: 2012-5-10 18:08:09

我同学整理出3种证法，不想写了。。。。

作者: jx215 时间: 2012-5-10 21:32:33 标题: 回复 9# 的帖子

我觉得你的方法可行，但很关键一步你没证明,即P2C2>PC>P1C1

[ 本帖最后由 jx215 于 2012-5-10 21:38 编辑 ]

作者: liuximing1999 时间: 2012-5-13 20:12:23

这个，lz不会？
这不是小学的奥数题吗？
前几天我刚见过啊！

作者: jx215 时间: 2012-5-13 20:19:57 标题: 回复 12# 的帖子

你来证明一下,要用纯几何证法.(不要反证)

作者: 华容道 时间: 2012-5-14 09:45:21

找到一种直接证法，见附件。

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作者: jx215 时间: 2012-5-14 10:58:33 标题: 回复 14# 的帖子

有两个问题：
一，怎么证明PC与圆O相切于K？因为圆O并不是三角形AEC旁切圆，而且（2）-（1）只能得到BP-BI=CP-CJ
二，EH=EK=DI=DJ怎么来的？我只能得到EH=EK和DI=DJ（若K是切点的话）

作者: 华容道 时间: 2012-5-14 11:23:59

第一个问题的前半部分参见：http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... B%BB%AA%C8%DD%B5%C0
其余的问题注意切线长。

作者: jx215 时间: 2012-5-14 20:13:13 标题: 回复 16# 的帖子

那个定理虽没错,但用在这里哪个是A,,哪个是B呢? 还有你省了很多中间步骤,看不出EK=DI

作者: 华容道 时间: 2012-5-14 20:32:34 标题: 回复 17# 的帖子

∵AH=AJ，AD=AE
∴EH=JD
又∵EH=EK，DI=DJ
∴EK=DI

作者: jx215 时间: 2012-5-14 21:15:39 标题: 回复 18# 的帖子

你提及的那条定理在这里怎么运用?圆外是哪两点?

作者: 华容道 时间: 2012-5-14 21:21:44 标题: 回复 19# 的帖子

本题所使用的定理为：“若A、B两点到圆O的切线长之和等于AB，则直线AB与圆O相切”
它和链接中的定理：“若A、B两点到圆O的切线长之差等于AB，则直线AB与圆O相切”证法类似。

作者: jx215 时间: 2012-5-14 21:56:34 标题: 回复 20# 的帖子

所以我问怎么在这道题里确定两条切线和圆外两点,你指一下看.

作者: 暴力打开 时间: 2012-5-14 22:40:08

不妨假设AB>AC,
截取AQ=AC,
连DQ,EC交于F,
由对称性：
EF=FD,

再因为B在Q下面，所以P应该在线段FC上，而不是EF上，

那么，角PDE>FDE=FED=PED=>PE>PD
又BE>DC
所以PE+EB>PD+DC矛盾！

[ 本帖最后由暴力打开于 2012-5-15 19:54 编辑 ]

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作者: 番禺潜水王 时间: 2012-5-14 23:45:08

原帖由 暴力打开 于 2012-5-14 22:40 发表
搞定。。大家等我。。。

在等着呢，快快快~~~~~~~

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