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标题: 解一个抽象函数的解析式。求其他解法。 [打印本页]

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-2 14:09:52 标题: 解一个抽象函数的解析式。求其他解法。

本帖最后由三硝基甲苯于 2012-6-2 14:11 编辑

数学课上卷子里的，f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)。本来不需要解析式的，只是选择题，我想解出来玩玩。
本来想列一个微分方程的，令x=X+dx,y=dx，移项之后左边凑成了了一个两阶导，右边打死凑不出来(高中生，学的不多，勿喷)。就换了一个思路，假设f(x)为一个麦克劳林级数，比较左右多项式次数，得到a(m+n)=a(m)*a(n)*(1+(-1)^m)/2，也就是奇数次项系数均为0，偶数次满足a0=1或0,a(n+2)=a2*a(n)。
算了N小时才发现本来a2就是那个任意常数，就得出了原式的解:f(x)=cos(kx)（K为任意常数）;f(x)=0;f(x)=1.
其中K可以是复数，取i的时候就是cosh(x)（话说这个到底怎么读= =）

我就在想，如果要列微分方程，左边肯定是两阶导无误，但是就是想不出来。求分享思路与解法。

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刚解出来的时候是f(x)=cosh(kx)，不过我最开始猜的是cos(x)。

作者: jimofc 时间: 2012-6-2 15:09:07

分别令y=0和x=0
得f(0)=1,f(x)=f(-x)

所以是偶函数且f(0)=1，容易想到x^(2n)+1和cos(kx)，代入得解

作者: jimofc 时间: 2012-6-2 15:22:39

还有一种方法。。。
另x=y代入
f(2x)+1=2f(x)^2
移项f(2x)=2f(x)^2-1，显然是cos倍角公式

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-2 15:52:38

jimofc 发表于 2012-6-2 15:22
还有一种方法。。。
另x=y代入
f(2x)+1=2f(x)^2

但是我要找到它全部的解= =

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-6-2 17:33:24

本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-6-2 17:35 编辑

原题有没有说这个函数的连续性或可微性？
如果不是，那么一切dx的思想都不可行

作者: 玉逸风 时间: 2012-6-2 18:05:22

f（x）=0
一样满足条件，楼主试试。。。。。。。。。。

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-3 13:23:55

玉逸风发表于 2012-6-2 18:05
f（x）=0
一样满足条件，楼主试试。。。。。。。。。。

恩，我写了，一个恒为0，一个恒为1，都可以。

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-3 13:25:01

PKUSMSBQ 发表于 2012-6-2 17:33
原题有没有说这个函数的连续性或可微性？
如果不是，那么一切dx的思想都不可行

高中数学= =应该是在定义域内连续可导的吧..不可导函数没考虑过= =没学过

作者: sdblackeyely 时间: 2012-6-3 18:16:18

高中生怎么就这么厉害蹑？

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-6-4 11:12:18

三硝基甲苯发表于 2012-6-3 13:25 高中数学= =应该是在定义域内连续可导的吧..不可导函数没考虑过= =没学过

你可以自己加一个连续可导的条件来挑战自己，但你不能随便乱该题目

作者: wpolly 时间: 2012-6-4 23:00:50

这种函数方程题如果不假设连续性的话会有很多怪异的解。。

转化为微分方程的话可以这么做：
先证f(0)=1,f(y)=f(-y)
令y=dx充分小，则有f(x+y)+f(x-y)-2f(x)=2f(x)(f(y)-f(0))=f(x)(f(y)+f(-y)-2f(0))
即f''(x)=f(x)f''(0)
将f''(0)设为任意常数解之即可

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-12 14:53:41

本帖最后由三硝基甲苯于 2012-6-12 14:54 编辑

PKUSMSBQ 发表于 2012-6-4 11:12
你可以自己加一个连续可导的条件来挑战自己，但你不能随便乱该题目

= =你是指我加上这个连续可导条件还是把高中数学题瞎改= =
知识受限，只能假设连续可导= =

话说如果不可导的话，那么泰勒级数也不能用了？
那还有什么办法呢？除了f(x)=cos(kx)还有f(x)=0,f(x)=1之外它还会有哪些解呢？求教。

作者: 三硝基甲苯 时间: 2012-6-12 14:56:50

wpolly 发表于 2012-6-4 23:00
这种函数方程题如果不假设连续性的话会有很多怪异的解。。

转化为微分方程的话可以这么做：

多谢，我再去看看= =上次凑了半天没凑出来，知道左边肯定是两阶导，没想到右边还有一个= =

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