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标题: 求证面积比值 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2012-6-27 17:50:38 标题: 求证面积比值

QQ截图未命名.jpg

如图，四边形ABCD为任意四边形，E,F分别为BD,AC的中点，求证：S_ABCD=4S△PEF

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作者: LAMBO 时间: 2012-6-27 20:30:39

点p为延长线交点？？
我觉得应该是等量的转移
如ab=cd之类的
面积之间的转化

作者: wpolly 时间: 2012-6-27 21:05:21

S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4

作者: 石崇的BOSS 时间: 2012-6-27 22:51:51

wpolly 发表于 2012-6-27 21:05
S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4

详细说明一下，我怎么没有看懂呢？

作者: 洛阳狼王 时间: 2012-6-28 14:09:48

这道题非常简单。

作者: 天王老子2013 时间: 2012-6-28 18:19:34

是立体的？高中还是初中。。。

作者: tm__xk 时间: 2012-6-28 19:24:56

显然易证.
字数字数.

作者: 石崇的BOSS 时间: 2012-6-28 20:18:33

tm__xk 发表于 2012-6-28 19:24
显然易证.
字数字数.

请天马兄解答一下，谢谢

作者: 5885398pj 时间: 2012-6-28 21:18:56

我只能用一特例来证明成立哈。如图三角形△PBC为16个同样大小的等边三角形组成的大等边三角形.根据几何等积变形原理.图中要证明的三角形△PEF面积为3个小等边三角形面积和,而梯形面积为12个小等边三角形面积和. 所以证明S_ABCD=4S△PEF成立!

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作者: 石崇的BOSS 时间: 2012-6-28 21:30:46

洛阳狼王发表于 2012-6-28 14:09
这道题非常简单。

请高手写一下解答过程，谢谢

作者: 5885398pj 时间: 2012-6-29 12:33:02

wpolly 发表于 2012-6-27 21:05
S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4

S_PBF是个什么东东??,BF不是一条直线!!

作者: 5885398pj 时间: 2012-6-29 12:42:52

已知条件是否给够??

作者: tm__xk 时间: 2012-6-29 15:47:01

石崇的BOSS 发表于 2012-6-28 20:18
请天马兄解答一下，谢谢

E,F分别是BD,AC中点==>
PEF=(土PBF土PDF)/2=(土PBA土PBC土PDA土PDC)/4

这里ABP=CDP=0,自己调下符号..

作者: wpolly 时间: 2012-6-29 16:33:41

5885398pj 发表于 2012-6-29 12:33
S_PBF是个什么东东??,BF不是一条直线!!

连起来不就行了。。

作者: 水台 时间: 2012-6-29 17:52:06

特殊不能代表一般

作者: zxz149 时间: 2012-7-12 00:32:53

wpolly 发表于 2012-6-27 21:05
S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4

关键在于第一个等号S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)
共用同一个底PF，高的关系由中点给出
符号的正负跟图有关，可用有向（带符号）面积避免讨论

作者: appletree444 时间: 2012-7-14 23:36:57

S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4的思路不错。

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作者: 回梦游仙 时间: 2012-7-14 23:40:15

P到底是啥？如果是延长线的话那当ABCD是矩形的时候就木有P了啊……

作者: 15013420881 时间: 2012-8-26 22:49:05

S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4

作者: whenson 时间: 2012-8-28 23:09:51

解释三楼
S_PEB=S_PED S_BEF=S_DEF
S_PEB+S_BEF+S_PEF=(S_PED+S_DEF)+S_PEF
S_PBF=S_PEFD+S_PEF
S_PBF=S_PFD+S_PEF+S_PEF
所以 S_PEF=1/2(S_PBF-S_PFD)
S_PBF=S_PFA+S_BFA
S_PBF=1/2 S_BCA + 1/2 S_PCA
S_PBF=1/2 (S_BCA+S_PCA)
S_PBF=1/2 S_PBC
取AP重点M
MF平行PC
S_PMD=S_PMF=1/2 S_APD
因此S_PEF=1/2(S_PBF-S_PDF)=S_PBF/2-S_PDF/2=S_PBC/4-S_PAD/4=S_ABCD/4

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