魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 状态数是1的N阶魔方有多少种着色方法？ [打印本页]

作者: 黑白子 时间: 2012-7-16 09:44:23 标题: 状态数是1的N阶魔方有多少种着色方法？

N阶魔方的状态数因着色不同而有不同的答案。那么，状态数是1的N阶魔方有多少种着色方法？

作者: 乌木 时间: 2012-7-16 11:09:20

本帖最后由乌木于 2012-7-16 11:37 编辑

不会算，填色两个打不乱的魔方吧：
[java4=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=scrpt]U2 TD L TB R' D TF TL2 R2 D F2 B' TU' L MR' MD MF2 [/param]
  [param=stickersFront]1,5,0,1,0,3,3,5,5,3,3,0,1,0,5,1[/param]
  [param=stickersRight]1,5,0,1,0,3,3,5,5,3,3,0,1,0,5,1[/param]
  [param=stickersDown]1,5,0,1,0,3,3,5,5,3,3,0,1,0,5,1[/param]
  [param=stickersBack]1,5,0,1,0,3,3,5,5,3,3,0,1,0,5,1[/param]
  [param=stickersLeft]1,5,0,1,0,3,3,5,5,3,3,0,1,0,5,1[/param]
  [param=stickersUp]1,5,0,1,0,3,3,5,5,3,3,0,1,0,5,1[/param]
[/java4]

[java5=300,300]
  [param=scrptLanguage]PirzerENG[/param]
  [param=scrpt]U MDD2 U2 ML' L TR F' TR2 F MFF2 B' R MB' MD2 B2 MU' SU' SL2 CU2 TR TD CR2 U2 R SF2 D' MRR MFF2 MUU2 MBB ML MF' MB TD' CL2 MB TR' [/param]
  [param=stickersFront]1,5,4,0,1,0,3,2,3,5,4,2,6,2,4,5,3,2,3,0,1,0,4,5,1[/param]
  [param=stickersRight]1,5,4,0,1,0,3,2,3,5,4,2,6,2,4,5,3,2,3,0,1,0,4,5,1[/param]
  [param=stickersDown]1,5,4,0,1,0,3,2,3,5,4,2,6,2,4,5,3,2,3,0,1,0,4,5,1[/param]
  [param=stickersBack]1,5,4,0,1,0,3,2,3,5,4,2,6,2,4,5,3,2,3,0,1,0,4,5,1[/param]
  [param=stickersLeft]1,5,4,0,1,0,3,2,3,5,4,2,6,2,4,5,3,2,3,0,1,0,4,5,1[/param]
  [param=stickersUp]1,5,4,0,1,0,3,2,3,5,4,2,6,2,4,5,3,2,3,0,1,0,4,5,1[/param]
[/java5]

作者: 黑白子 时间: 2012-7-17 10:22:58

乌木发表于 2012-7-16 11:09
不会算，填色两个打不乱的魔方吧：
[java4=300,300]
SupersetENG[/param]

乌木老师给出了精彩解答，还漏掉了一种方案。

作者: rubik-fan 时间: 2012-7-17 11:10:47

楼主应该首先规定可以使用的颜色种类。
如果任意使用颜色的话，该题无解

作者: 黑白子 时间: 2012-7-17 11:52:17

rubik-fan 发表于 2012-7-17 11:10
楼主应该首先规定可以使用的颜色种类。
如果任意使用颜色的话，该题无解

颜色种类自选，只需满足该题的答案即可。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-7-17 12:17:24

黑白子发表于 2012-7-17 11:52 颜色种类自选，只需满足该题的答案即可。

是问你一共有几种颜色可以选择

作者: 黑白子 时间: 2012-7-17 14:03:37

PKUSMSBQ 发表于 2012-7-17 12:17
是问你一共有几种颜色可以选择

这正是问题的答案

作者: rubik-fan 时间: 2012-7-17 14:10:51

黑白子发表于 2012-7-17 14:03
这正是问题的答案

看来你真是没看懂我的意思。有多少个颜色，就可以做多少个纯色魔方是状态数是1.
只有限定：最多选用6个颜色或者几个颜色。才有解。本人认为。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-17 15:34:20

rubik-fan 发表于 2012-7-17 14:10
看来你真是没看懂我的意思。有多少个颜色，就可以做多少个纯色魔方是状态数是1.
只有限定：最多选用6个颜 ...

那就补充一点吧，给定m种不同颜色。请你算算有多少种答案？

作者: 乌木 时间: 2012-7-17 16:25:15

我对这题目的理解是，无论如何填色（包括不填色），也无论多少颜色，如何使一个N阶魔方打不乱（因而也就无所谓复原态和打乱态了）？
题意是这样吗？

作者: 黑白子 时间: 2012-7-17 16:27:34

乌木发表于 2012-7-17 16:25
我对这题目的理解是，无论如何填色（包括不填色），也无论多少颜色，如何使一个N阶魔方打不乱（因而也就无所 ...

正是这个意思

作者: rubik-fan 时间: 2012-7-17 16:56:43

补充了这一点之后，楼主的问题变得很有意思。
说一下思路：
1、n阶魔方之所以会出现多种状态，是因为同簇的块具有不同的颜色。
2、要想这个魔方不可能被打乱。就要做到同一簇的块，颜色完全一致。
3、接下来看看n=1、2、3、……时有多少个簇。而且要看楼主给定的m值的大小。

以n=3,m=6为例。即三阶魔方使用六个颜色可以做出多少个有唯一状态的魔方来？
三阶魔方有中心块、棱块、角块、三簇。只要保证中心块颜色全部一样，棱块全部一样，角块全部一样。这个魔方随便转动，不会被打乱。
那么，三簇块分别有六种颜色可以挑选，最后有6的3次方种配色。
推广到普通情况，n阶魔方，m种颜色可选。那么就有W种着色方案，其中：
1、m的（1/8 *n平方+1/2 *n +3/8）次方当n=2k-1时（k>=1)
W=
2、m的（1/8*n平方 +1/4*n）次方当n=2k时（k>=1)

作者: rubik-fan 时间: 2012-7-17 16:57:45

从楼主的文字里不能理解出乌木老师理解的那个意思，是我的一大遗憾。

作者: rubik-fan 时间: 2012-7-17 17:00:15

黑白子发表于 2012-7-17 16:27
正是这个意思

如果不着色也是一种选择，可以在我给出的答案上，m+1即可。表示：不着色=一种颜色（无色）。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-17 17:22:15

rubik-fan 发表于 2012-7-17 16:56
补充了这一点之后，楼主的问题变得很有意思。
说一下思路：
1、n阶魔方之所以会出现多种状态，是因为同簇 ...

关于第2点，边棱块也可以填2种颜色（您在2楼已给出了方案）。这个有多少种呢？
第三种方案就是各面单色（包括不着色），首先能想到的答案。即14楼的(m+1)种.

作者: 乌木 时间: 2012-7-17 17:24:20

本帖最后由乌木于 2012-7-17 17:32 编辑

要三阶魔方只有一个态，三个簇不必非用三种颜色不可。

此外，6色选3色的选法为6*5*4/（3*2）＝20种。

作者: rubik-fan 时间: 2012-7-17 17:26:47

本帖最后由 rubik-fan 于 2012-7-17 17:27 编辑

乌木发表于 2012-7-17 17:24
要三阶魔方只有一个态，三个簇不必非用三种颜色不可。
此外，六色选三色，不是6^3种选法，而是6*5*4种选法 ...

为什么六色选三色是6*5*4呢？三簇可以重复选色的时候不是6^3吗？例如一个纯红色的三阶魔方，是6^3种方案之一，而不是6*5*4种方案之一。

作者: 乌木 时间: 2012-7-17 17:35:26

rubik-fan 发表于 2012-7-17 17:26
为什么六色选三色是6*5*4呢？三簇可以重复选色的时候不是6^3吗？例如一个纯红色的三阶魔方，是6^3种方案 ...

16楼已修改。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-18 10:58:03

本帖最后由黑白子于 2012-7-19 13:44 编辑

如果是2阶魔方，答案是m种（不考虑不着色）。
2阶以上情况变得复杂了。
3阶魔方的情况，例如n=3，m=3时
因为3阶魔方共有3种簇，所以
1、3种颜色仅使用1种颜色时，有3种方法；
2、3种颜色仅使用2种颜色时
第一步：先确定使用哪2种颜色
先从3种颜色中任选2种颜色，有3种方法；
第二步：确定给哪些簇着色，共3种组合；
第三步：再用2种颜色给每种组合着色，有2种方法
根据乘法原理，共有3*3*2=18种方法。
3、3种颜色都使用时
第一步：确定给哪些簇着色，共3种；
第三步：再用3种颜色给每种组合着色，有3!=6种方法
根据加法原理共有3+18+6=27，即共有27种方法。3阶魔方最多能使用3种颜色。
这么思考有重复和遗漏吗？
4阶魔方也是3种簇，但中棱块簇既可以使用1种颜色，也可以使用2种颜色。情况更加复杂。

作者: 西北天狼 时间: 2012-7-18 11:35:40

归根结底，问题的实质是：状态数是1的N阶魔方最多能有几种颜色同时着色？

作者: 黑白子 时间: 2012-7-18 12:09:36

西北天狼发表于 2012-7-18 11:35
归根结底，问题的实质是：状态数是1的N阶魔方最多能有几种颜色同时着色？

不是，那只是“副产品”。主题是说已知m种颜色，从m种颜色中任意选取多种颜色（即可以不选、可以选1种、2种……m种，也可能用不到m种）为n阶魔方着色，使得n阶魔方的状态数是1，即无论怎么旋转魔方（转层也好、整体也行……），也不管用什么做参照物，任何人从任何角度看到这个魔方，状态完全相同。这样的魔方无法打乱，没有周期、没有最小步、没有扰动。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-18 17:24:47

计算难度比我当初想象的大。

作者: lidi496654724 时间: 2012-7-18 22:16:51

不会算的路过....................

作者: 黑白子 时间: 2012-7-19 10:57:28

本帖最后由黑白子于 2012-7-19 16:38 编辑

此题有个意外收获，就是可以算出n阶魔方最多需要几种颜色，使该魔方无法打乱。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-19 11:43:25

本帖最后由黑白子于 2012-7-19 13:43 编辑

19楼已更新

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-7-19 14:09:32

求n=1时有几种？
(就是奇数阶中心)

作者: 黑白子 时间: 2012-7-19 16:46:27

PKUSMSBQ 发表于 2012-7-19 14:09
求n=1时有几种？
(就是奇数阶中心)

n=1时，答案是m

作者: 西北天狼 时间: 2012-7-19 17:04:56

答案是M，哪M又是什么呢？把M定为可以同时染色的最大颜色数不是更完备吗？
同时能出现3种颜色，你给出M=100种，意义不大。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-19 17:08:31

西北天狼发表于 2012-7-19 17:04
答案是M，哪M又是什么呢？把M定为可以同时染色的最大颜色数不是更完备吗？
同时能出现3种颜色，你给出M=10 ...

m是给出的颜色种数。例如m=10时，是10种颜色。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-19 17:09:36

m可以是任意正整数

作者: 黑白子 时间: 2012-7-19 17:14:26

西北天狼发表于 2012-7-19 17:04
答案是M，哪M又是什么呢？把M定为可以同时染色的最大颜色数不是更完备吗？
同时能出现3种颜色，你给出M=10 ...

n是魔方的阶数，m表示颜色数量（种类），这样范围更广泛一些。

作者: 西北天狼 时间: 2012-7-19 17:19:13

N是自然数，M是自然数，你认为N×M比N范围更广泛？

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-7-19 17:26:39

西北天狼发表于 2012-7-19 17:19 N是自然数，M是自然数，你认为N×M比N范围更广泛？

二元函数和一元函数能一样吗？

作者: 西北天狼 时间: 2012-7-19 17:53:31

PKUSMSBQ 发表于 2012-7-19 17:26
二元函数和一元函数能一样吗？

难道函数值不唯一？没明白你指的是什么。

作者: pengw 时间: 2012-7-20 13:33:36

应该有无穷种方案

作者: 黑白子 时间: 2012-7-20 15:32:31

pengw 发表于 2012-7-20 13:33
应该有无穷种方案

n和m都是有限数字，怎么会有无穷种方案呢？

作者: 黑白子 时间: 2012-7-20 15:38:13

本帖最后由黑白子于 2012-7-20 15:42 编辑

再把题目的意思说一遍：
用m种颜色给n阶魔方着色，能够做出多少种状态不同且又无法打乱的魔方？

作者: 黑白子 时间: 2012-7-20 15:45:17

西北天狼发表于 2012-7-19 17:19
N是自然数，M是自然数，你认为N×M比N范围更广泛？

自然数的范围是一样的。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-20 15:46:39

PKUSMSBQ 发表于 2012-7-19 17:26
二元函数和一元函数能一样吗？

二元函数和一元函数不一样。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-20 17:02:53

目前我想到2个方案：
第一个方案是同簇同色；
第二个方案是边块簇着2种不同颜色，其它簇同簇同色。
具体有多少种状态正在计算中。
还有其它方案吗？

作者: 黑白子 时间: 2012-7-20 17:16:10

簇的基本性质：同一簇的块能互换位置（非中心块）或者相对位置不变（中心块），不同簇的块不能互换位置。
这一点对计算状态数很重要。

作者: 黑白子 时间: 2012-7-21 16:09:11

如下图，标记1的4个棱块称为同位棱块，标记2的4个棱块也称为同位棱块，1和2称为异位棱块。
同位棱块之间互换位置不变色，异位之间互换位置必变色。

同位棱.png

附件: 同位棱.png (2012-7-21 16:08:37, 1.74 KB) / 下载次数 41
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTg2Njg4fDUwMmIxNDgxfDE3Mzk5MTUxMjh8MHww

作者: 黑白子 时间: 2012-7-21 16:32:27

n=3，m=3时也可以这么计算。因为3阶魔方有3个簇，所以每簇各有3种颜色可以选择，故状态数为3^3=27，即一共有27种状态。
3阶魔方一般的m值，答案是m 的立方。

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)