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标题: 【不等式】我又来了……对付一下数竞 [打印本页]

作者: 魔_物理_控 时间: 2012-8-14 23:09:01 标题: 【不等式】我又来了……对付一下数竞

本帖最后由魔_物理_控于 2012-8-14 23:11 编辑

证明一个不等式：我直接简化到答案上省略的前一步，求大神详解具体等价步骤，答案跳跃得有点多，没看懂……

求证：左面那个不等式等价于右面那个不等式……

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作者: que 时间: 2012-8-15 07:13:15

找黄冈中学那些搞数学竞赛的

作者: 西北天狼 时间: 2012-8-15 08:48:11

左面不等式的左边通分相加，和右边交叉相乘，化简消去其他项，整理得右面的不等式。
在分母不为0的情况下，等价于右面的不等式！

作者: 烧干锅蔓 时间: 2012-8-15 10:51:05

好像见过！

作者: 魔_物理_控 时间: 2012-8-15 22:56:57

西北天狼发表于 2012-8-15 08:48
左面不等式的左边通分相加，和右边交叉相乘，化简消去其他项，整理得右面的不等式。
在分母不为0的情况下， ...

就没有更简单的了？觉得这个方法有点太坑了啊……这思路……

作者: 花无缺0228 时间: 2012-8-15 23:12:56

高中课程。基本不等式的应用：积定和最小，和定积最大。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-8-16 12:34:02

本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-8-16 13:11 编辑

先吐槽第二个不等式。。。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-8-16 12:55:07

本帖最后由 superacid 于 2012-8-16 19:53 编辑

本题等价于对任意a,b,c>0，sum{a/(1+a+ab)}<=1（sum表示循环和，sum{a/(1+a+ab)}=a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca)）
令a=ky/x,b=kz/y,c=kx/z，于是化简之后变成
sum{ky/(x+ky+k^2z)}<=1=sum{y/(x+y+z)}
移项后变为sum{y*(k/(x+ky+k^2z)-1/(x+y+z))}<=0
左边=sum{((k-1)(x-kz)y/((x+y+z)(x+ky+k^2z))}
=((k-1)/(x+y+z)*sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}
sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{kyz/(x+ky+k^2z)}
=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{yz/(x/k+y+kz)}
=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{xy/(z/k+x+ky)}=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{xy/(x+ky+z/k)}
=sum{xy*(1/(x+ky+k^2z)-1/(x+ky+z/k)}
=sum{xyz(1/k-k^2)/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}=xyz*(1-k)(1+k+k^2)/k*sum{1/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}
于是(k-1)/(x+y+z)*sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}=-(1-k)^2*(1+k+k^2)/k*xyz/(x+y+z)*sum{1/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}显然<=0
finish

作者: superacid 时间: 2012-8-16 20:22:49

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附件: [不等式解答] inequalty.pdf (2012-8-16 20:22:19, 14.55 KB) / 下载次数 24
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作者: 魔_物理_控 时间: 2012-8-16 23:54:35

superacid 发表于 2012-8-16 20:22

嗯嗯，这个解答很霸气……谢谢帮助哈……

作者: 武杰610206738 时间: 2012-9-1 13:05:02

推荐一个新思路，把第一个不等式倒是一下试试，（本人没试啊），或许可以简单一点把···

作者: 魔_物理_控 时间: 2012-9-1 23:20:26

武杰610206738 发表于 2012-9-1 13:05
推荐一个新思路，把第一个不等式倒是一下试试，（本人没试啊），或许可以简单一点把···

呃，不通分左边怎么倒……

作者: 武杰610206738 时间: 2012-9-6 16:17:32

魔_物理_控发表于 2012-9-1 23:20
呃，不通分左边怎么倒……

那换三角函数，可能能出来吧·····

作者: 魔_物理_控 时间: 2012-9-7 23:13:04

武杰610206738 发表于 2012-9-6 16:17
那换三角函数，可能能出来吧·····

呃，求详细……

作者: superacid 时间: 2012-9-7 23:22:28

武杰610206738 发表于 2012-9-6 16:17
那换三角函数，可能能出来吧·····

你可以自己稍微尝试一下再发表意见吗？

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