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标题: 一个证明题 [打印本页]

作者: jx215 时间: 2012-10-12 23:35:58 标题: 一个证明题

求证:平面上任意5个点(其中任意3点不在一直线上),则其中必有4个点构成凸多边形(以这4个点为顶点)

这个简单吗?

作者: 夜雨听风 时间: 2012-10-12 23:45:28

看到这个题目让我想到穷举法。。。

作者: jimofc 时间: 2012-10-12 23:57:32

任取不在同一直线上的3点1、2、3，那么为了构成凹四边形，第四个点只能在三角形123内部，

连接14，24，34,并延长，同理，为了第五点与124构成凹四边形，点5只能在三角形124内部，红色阴影区域。

三角形234和三角形134也一样，所以点5必须同时在图示三块阴影区域内，

目测得，不可能

QQ截图20120926150838.png

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作者: schuma 时间: 2012-10-13 01:21:34

本帖最后由 schuma 于 2012-10-13 01:29 编辑

任取不在同一直线上的3点1、2、3，那么为了构成凹四边形，第四个点只能在三角形123内部，

这个命题不正确。比如 A=(-1,0), B=(1,0), C=(0,1) 然后我再加一个点 D=(0,2), D就在三角形ABC的外部，并且ABCD是凹四边形。

编辑: 稍加改动就可以：如果1,2,3,4四个点构成凹四边形，那么一定有一个点在另外三个点构成的三角形内部。然后就管那个特殊的点叫4号，另外三个叫1,2,3号。然后穷举平面上所有的区域，包括三角形123内部的还有外部的，可以验证5号点不管在哪个区域里，都可以和某个三角形组成凸四边形，就行了。

作者: sokoban 时间: 2012-10-13 09:48:12

这种题目有一种证明方法就是用所谓凸包的概念。凸包就是想像这5个点是五根钉子，然后用一个橡皮筋把这五个钉子圈起来，橡皮筋收缩后围成的区域称为这个5个点的凸包。凸包一定是凸多边形。

按凸包的边数分类：凸包是凸五边形，凸四边形，凸三角形。

作者: 『残阳』 时间: 2012-10-13 13:22:13

表示全忘光了

作者: 西北天狼 时间: 2012-10-15 15:16:02

凸包为五边形或四边形，自不必言；
假设凸包为三角形（如图所示）：
证明题.png

123为三角形的顶点，45必落在三角形内部，连接45，取其中点A，连接1A延长交23连线于B，连接2A延长交13连线于C，连接3A延长交12连线于D，这三条线将三角形分割成六个区域，对顶分为一组，共黄绿蓝三组。45必在其中一组中，比如黄色（因为黄色与1不连），则2345肯定是凸四边形。（证毕）

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作者: superacid 时间: 2012-10-15 20:08:41

楼上多此一举
作出直线45，肯定和三角形123有两个交点，然后就出来了

作者: 西北天狼 时间: 2012-10-16 08:42:50

superacid 发表于 2012-10-15 20:08
楼上多此一举
作出直线45，肯定和三角形123有两个交点，然后就出来了

本欲详细表述“45必与其中2个顶点构成凸四边形”，反招蛇足之嫌，（限于篇幅，此处省略十二字）。

作者: 西北天狼 时间: 2012-10-16 08:44:07

本帖最后由西北天狼于 2012-10-16 10:30 编辑

变双胞胎了。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-10-16 12:02:28

西北天狼发表于 2012-10-16 08:42 本欲详细表述“45必与其中2个顶点构成凸四边形”，反招蛇足之嫌，（限于篇幅，此处省略十二字）。

你跳步了

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