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标题: 又一个关于魔方的数学趣题 [打印本页]
作者: 小鸿99    时间: 2012-12-8 21:20:24     标题: 又一个关于魔方的数学趣题

最近迷上最少步，研究的时候发现一个问题：
当一个三阶魔方已还原n个面时（注意，是面，面！），魔方可能有几种形态？
举例：当n=0时，为总形态数（那个数我背不过）
　　　当n=6时，只有一种形态
　　　当n=5时，同n=6
问题：
（1）当n=1/2/3/4时，各有多少种形态？
（2）当不为三阶魔方时（如二阶、高阶），以上数目各为多少？
（3）当包括拆散重拼情况时，又各有多少种情况？

我智商不行，琢磨半天也想不出来，求大神指教
PS：最好给出计算过程，不给也可以
作者: 晓小吃迪    时间: 2012-12-8 21:26:14

请问魔方如何还原5个面。。
作者: 余挺    时间: 2012-12-8 21:43:06

4个面都没见过
作者: 乌木    时间: 2012-12-8 21:57:46

晓小吃迪 发表于 2012-12-8 21:26
请问魔方如何还原5个面。。

1楼说“当n=5时，同n=6”，意思就是，纯色三阶无法只复原5面，留下一面未复原。也就是，复原5面后，第6面也一定复原了。
作者: 前度！    时间: 2012-12-8 22:29:05

哈哈哈，数学没学好~·
作者: 乌木    时间: 2012-12-8 22:29:13

三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位置变化数也是4！＝24，所以这一面的状态数为4！*4！＝576。这第一层没有色向变化。
余下4个角块和8个棱块，位置并色向变化数为
4！*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
(除以2是因为整个魔方不能单单交换两个块，并非余下12个块之中不能单单交换两个块。如果第一面含有单单交换两个块，则余下的12块必须含有单单交换两个块；如果第一面不含有，余下的12块也不含有。)
所以，单单一个面同色的条件下，相对于中心块而言，该三阶纯色魔方的状态数为
576*4！*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
不知对不对，请各位指正。
作者: 小鸿99    时间: 2012-12-8 22:32:34

乌木 发表于 2012-12-8 22:29
三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位 ...

乌木大哥神技术，回帖真快
这个思路应该是正确的，但是除以2那一步不太明白
作者: 乌木    时间: 2012-12-8 22:38:42

余挺 发表于 2012-12-8 21:43
4个面都没见过

从复原态出发，想办法仅仅破坏两个面（或邻面，或对面），就相当于只复原4个面。
作者: 乌木    时间: 2012-12-8 22:50:00

本帖最后由 乌木 于 2012-12-8 22:55 编辑
小鸿99 发表于 2012-12-8 22:32
乌木大哥神技术，回帖真快
这个思路应该是正确的，但是除以2那一步不太明白


三阶魔方不能单单交换两个块（无论角块还是棱块），想必你是知道的。

但是，交换两个角块和两个棱块，或交换两个角块和再交换另两个角块，或交换两个棱块和再交换另两个棱块，则都是允许的。
所以，上面我的叙述中，第一面若有（就第一面而言的）单单交换两个块的情况，此时，第二层和第三层就一定也有单单交换两个块的情况，整个魔方就是转得出态了。
第一面若没有（就第一面而言的）单单交换两个块的情况，此时，第二层和第三层就一定也没有单单交换两个块的情况，整个魔方也是转得出态了。

上面的计算中，与位置变化数有关的因子是4！，4！，4！和8！，都是角块和棱块拆下后再随机组装的变化数，它们的乘积有一半是转不出态（即含有单单交换两个块的态），只要简单地除以2就排除了。
作者: 晓小吃迪    时间: 2012-12-8 23:07:52

乌木 发表于 2012-12-8 21:57
1楼说“当n=5时，同n=6”，意思就是，纯色三阶无法只复原5面，留下一面未复原。也就是，复原5面后，第6面 ...

好吧是我脑残了= =。。
作者: 假木瓜    时间: 2014-1-29 14:39:34

还原完后，U2 M2U2 M2，四面就出来了。
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-1-31 20:20:17

楼主的问题，我几年前见过，当时也没搞懂呵！不过对于n=0,5,6,这三种情况，我认为楼上几位说的不太确切。楼主说：“当一个三阶魔方已还原n个面时（注意，是面，面！）”这句话，意思是“仅还原n个面”还是“不少于n个面被还原”？我理解的是前者。按我理解，n=6时当然是一种状态，就是复原时的状态；n=5时，我认为这种状态数为0，因为我们不可能仅仅还原5面而剩余一面不还原；而n=0时，也不是魔方总状态数，因为魔方总状态中包括n=1,2,3,4,6的情况。
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-1-31 20:21:55

乌木 发表于 2012-12-8 21:57
1楼说“当n=5时，同n=6”，意思就是，纯色三阶无法只复原5面，留下一面未复原。也就是，复原5面后，第6面 ...

不还是n=6嘛，n=5的情况不存在。
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-1-31 20:27:54

乌木 发表于 2012-12-8 22:29
三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位 ...

乌木老师果然无处不在啊！
楼主的问题，我几年前见过，当时也没搞懂呵！不过对于n=0,5,6,这三种情况，我认为楼上几位说的不太确切。楼主说：“当一个三阶魔方已还原n个面时（注意，是面，面！）”这句话，意思是“仅还原n个面”还是“不少于n个面被还原”？我理解的是前者。按我理解，n=6时当然是一种状态，就是复原时的状态；n=5时，我认为这种状态数为0，因为我们不可能仅仅还原5面而剩余一面不还原；而n=0时，也不是魔方总状态数，因为魔方总状态中包括n=1,2,3,4,6的情况。
呐，貌似乌木老师理解的后者哎，这可咋办。
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-1-31 22:39:05

本帖最后由 小鱼宝儿 于 2014-2-1 08:01 编辑

0000000000

附件: 未命名.JPG (2014-1-31 22:38:55, 237.56 KB) / 下载次数 63
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjMyOTcyfDQ3YzQ0YTk4fDE3MzI5NjI4Mzl8MHww
作者: 与魔为友    时间: 2014-1-31 23:40:49

余挺 发表于 2012-12-8 21:43
4个面都没见过

这简单，u2，r2，u2，r2
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-2-1 08:03:46

不好意思，上面的想错了。 未命名.JPG

附件: 未命名.JPG (2014-2-1 08:03:02, 245.88 KB) / 下载次数 36
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作者: 乌木    时间: 2014-2-1 09:42:24

15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：
此时角块不能动了吧？.png
好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复原的“其余四面”就不能保持都复原，也就是说此时角块不可能有2^4种位置变化了吧？

附件: 此时角块不能动了吧？.png (2014-2-1 09:36:28, 182.59 KB) / 下载次数 36
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjMyOTc4fDM1ZTI3ZGEyfDE3MzI5NjI4Mzl8MHww
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-2-1 16:47:00

乌木 发表于 2014-2-1 09:42
15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：

好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复 ...

有道理，让我想想..
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-2-1 16:55:34

乌木 发表于 2014-2-1 09:42
15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：

好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复 ...

的确是我错了，最终答案是不是3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57？
作者: 乌木    时间: 2014-2-1 20:46:39

本帖最后由 乌木 于 2014-2-1 21:03 编辑
小鱼宝儿 发表于 2014-2-1 16:55
的确是我错了，最终答案是不是3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57？


其实我对这类排列组合问题是搞不大清的，搞不好就弄错。下面试试说一下“相对两面未复原而其余四面已复原”的状态数，不知说的对不对。

设顶面和底面未复原，此时角块都已复原来着，且不可变化，唯一可变的是FU和FD，RU和RD，BU和BD，LU和LD四对棱块分别交换或不交换，所以，变化数为
          〔(2^4)/2 - 1〕x 3＝21 。
除以2是因为二交换的总次数必须为偶数，排除奇数次二交换的状态。
减去1是因为有一个状态是顶面和底面也复原，即魔方有六面复原了，不属于四面复原态。
乘以3是作为顶底色的颜色对子数目为3对。
作者: 小鱼宝儿    时间: 2014-2-2 16:47:41

乌木 发表于 2014-2-1 20:46
其实我对这类排列组合问题是搞不大清的，搞不好就弄错。下面试试说一下“相对两面未复原而其余四面已复 ...

乌木老师谦虚了，我们高中学的排列组合也只是皮毛而已。不过这次“相对两面未复原而其余四面已复原的状态数“，我们确实达成了一致，思路是完全一样的，你列的 ”〔(2^4)/2 - 1〕x 3“，和我的”3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57“等号左边加号之前的部分含义一样。



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