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标题: 趣题：皮筋上的蚂蚁 [打印本页]

作者: 123wyx 时间: 2008-6-7 21:24:20 标题: 趣题：皮筋上的蚂蚁

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class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 28pt; mso-char-indent-count: 2.0">这是我在杂志上看到的一道题，题目大意如下：<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com

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ffice" /><o:p></o:p>
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class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 28.5pt">一个绷直的均匀皮筋，两个端点分别在A、B两点。一只蚂蚁站在皮筋上，在皮筋上从A点向B的方向行进。（已知若皮筋不动，蚂蚁在皮筋上的运动速度为<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com

ffice:smarttags" /><st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="3" UnitName="cm">3cm</st1:chmetcnv>/s）与此同时，皮筋右端点从B开始以<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="2" UnitName="cm">2cm</st1:chmetcnv>/s的速度向右移动（伸长过程中左端点始终固定在A点），AB=<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="10" UnitName="cm">10cm</st1:chmetcnv>.求蚂蚁追上皮筋右端点所用的时间。<o:p></o:p>

作者: 123wyx 时间: 2008-6-7 21:25:08

据说这是小学的一道奥赛题，由于出题人的失误，其正确解答远远超出了小学生的知识水平。各位魔友不妨一试。

作者: 123wyx 时间: 2008-6-7 21:27:22

好像出了点问题，重新发一遍

一个绷直的均匀皮筋，两个端点分别在A、B两点。一只蚂蚁站在皮筋上，在皮筋上从A点向B的方向行进。（已知若皮筋不动，蚂蚁在皮筋上的运动速度为3cm/s）与此同时，皮筋右端点从B开始以2cm/s的速度向右移动（伸长过程中左端点始终固定在A点），AB=10cm.求蚂蚁追上皮筋右端点所用的时间。

作者: 水泮居 时间: 2008-6-7 21:30:41

等待答案。

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-6-7 22:33:50

这个我回过贴，怎么没有了

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-6-7 22:34:38

应该是10S吧，楼主是怎么算的。时间与路程的关系。

作者: 123wyx 时间: 2008-6-7 22:37:23

显然不是10s，皮筋在均匀伸长，所以蚂蚁的速度超过了3cm/s

作者: 123wyx 时间: 2008-6-7 22:40:58

我忘记答案了。这题的解答有一定难度（超出了初等数学范围）。下周我再去查一下答案。

作者: 乌木 时间: 2008-6-7 23:06:31

B点的速度一直为2，A点的始终为0，A、B之间的各点的橡筋质点的伸展速度各不相同，x点的速度正比于Ax / AB（对吗？）；蚂蚁的合成速度显然随时在变，越来越快。极接近B点时的蚂蚁合成速度极接近3＋2＝5。蚂蚁实际做匀加速运动，速度从3均匀地增加到5；B点做匀速运动，速度始终为2。
 
不知我想得对否？

[ 本帖最后由乌木于 2008-6-7 23:10 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-6-7 23:30:53

乌木老师的贴回得不错哦，不过具体答案应该是多少呢？

作者: 艾♂街球 时间: 2008-6-8 00:29:57

打个岔```我首先想到的是皮筋质量好吗？
别打小蚂蚁弹飞那就不用算了！
呵呵...

作者: 123wyx 时间: 2008-6-8 10:32:05

原帖由 乌木 于 2008-6-7 23:06 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=151709&ptid=9621" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> B点的速度一直为2，A点的始终为0，A、B之间的各点的橡筋质点的伸展速度各不相同，x点的速度正比于Ax / AB（对吗？）；蚂蚁的合成速度显然随时在变，越来越快。极接近B点时的蚂蚁合成速度极接近3＋2＝5。

乌木老师这段分析是对的

作者: 123wyx 时间: 2008-6-8 10:34:20

但是您如何断定蚂蚁做匀加速运动？实际上蚂蚁的运动并不是匀加速直线运动。

作者: JYX 时间: 2008-6-8 10:41:33

答案是什么啊？好像很难

作者: hzhenr 时间: 2008-6-8 10:43:10

期待答案................

作者: 123wyx 时间: 2008-6-8 10:46:36

如果按匀加速直线运动来计算，可以算得用时5s。
我记得答案小于5秒，是个无理数（好像还是超越数）

作者: 金眼睛 时间: 2008-6-8 11:25:14

这道题需要求解微分方程，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
假设蚂蚁的运动速度为V1，皮筋的运动速度为V2，皮筋的初始长度为L，则t时刻后，蚂蚁运动到S(t)的位置。
 
S(t)处皮筋的运动速度为V2*S(t)/(L+V2*t)，因为皮筋上各点的速度从0~V2是成正比例增加的。
 
蚂蚁相对于地面的速度为：dS(t)/dt=V1+V2*S(t)/(L+V2*t)，初始条件S(0)=0
 
解此微分方程可以得到：S(t)=V1*[ln(L+V2*t)-ln(L)]*(L+V2*t)/V2
 
而t时刻后皮筋的长度是：L(t)=L+V2*t
 
我用计算机计算了S(t)-L(t)=V1*(ln(L+V2*t)-ln(L))*(L+V2*t)/V2-L-V2*t  (V2=2;V1=3;L=10)的零解，得到t=4.73867020527338(s)
 
呵呵，又得到了零解的表达式T=(exp((V1*ln(L)+V2)/V1)-L)/V2
 
从这个表达式可以看出，就算蚂蚁的速度V1很小，只要蚂蚁的寿命足够，还是能爬到皮筋的另一端的，o(∩_∩)o...

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-6-8 12:00 编辑 ]

作者: cj503 时间: 2008-6-8 14:03:27

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作者: 123wyx 时间: 2008-6-8 18:46:49

我也有同感。这解答好像是对的

作者: kexin_xiao 时间: 2008-6-8 21:20:40

我现在看见这样的题就晕,白河和乌木老师喜欢,让他们吧

作者: Cielo 时间: 2008-7-8 19:39:57

这也许是高中物理竞赛题？但要用到微积分……
 
也可以这样看，将皮筋AB想象成一个周长为10cm的圆（AB两点重合），蚂蚁从A点开始爬，同时这个圆开始以恒定速度膨胀，这样蚂蚁的角速度可以算出来。
再列微分方程，左边是角速度对时间的积分，右边是周角2π
最后解方程就行了

作者: 业余魔术师 时间: 2008-7-8 19:49:02

反正挺麻烦，高数的东西忘得差不多了，就不算了。

作者: 极度郁闷 时间: 2008-7-9 12:41:13

蚂蚁应该是在做匀减速运动 
 
哦，错了，应该在半程前是减速半程后是加速吧？感觉是，嘿嘿……

[ 本帖最后由极度郁闷于 2008-7-9 12:44 编辑 ]

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