终极状态
先给一个“终极状态”的特例:(请参考“终极状态”)
本文所涉及的内容默认为“正六面体三阶魔方”,可以很容易扩展到其它各类 魔方中去。为使结论尽量不产生偶然的冲突,特规定 旋转 180 度为 2 步!
为了阐述方便,下面先引入几个描述性的概念: 描述性理解的概念有:状态、终极状态、路过、偶尔路过、出路。
1.状态:本文所提的所有的“状态”均为从“初始状态”出发,由某一最少步 变换序列而产生的“状态”。通常我们用这个最少步变换序列表示这个“状态”。 一个“状态”往往可以有很多“最少步变换序列”! 比如:从 初始状态 出发,由最少步变换序列 r1 r1 产生的状态,记作: 状态 r1 r1 。当然 状态 r1 r1 有两个最少步变换序列: r1 r1 和 r3 r3 。
2.路过:如果 状态 A 的步长大于 1 ,并且最少步变换序列 A 是唯一最少步, 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列, 此时我们称 状态 A “路过” 状态 B 。 比如:状态 r1 u1 f1 是唯一最少步变换序列,则 状态 r1 u1 f1 分别 路过 状态 r1 、状态 u1 、状态 r1 u1 。
3.偶尔路过:如果 状态 A 的步长大于 1 ,并且变换序列 A 不是唯一最少步, 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列, 此时我们称 状态 A “偶尔路过” 状态 B 。 比如:状态 r1 r1 不是唯一最少步变换序列,则 状态 r1 r1 分别 偶尔路过 状态 r1 、状态 r3 。 这是因为 状态 r1 r1 和 状态 r3 r3 为同一状态的 两个最少步变换序列。
4.终极状态:设 c 为任意一个步长为 1 的变换,对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 B ,使得 A = B ,则称状态 A 为“终极状态”。 由 [宇宙飞碟] 的 离初始状态最远的图案 的定理可知: 任一 离初始状态最远的状态 都为 终极状态 ,但反过来说却是错误的!
5.出路:如果 状态 A 不是 终极状态,我们称 状态 A 有 “出路” 。 只有 状态 A 有 出路时,我们才有可能沿着状态 A 的 出路 构造比 状态 A 更远的 状态 !而寻找这种 出路 ,照目前看来,在没有更先进的理论面世之前, 也只能用“循环变换”理论更容易些了! 定理:任一 状态 不 偶尔路过 某一 终极状态 。
证明非常简单,因为若一个状态 P 偶尔路过 某一 终极状态,设状态 P 变换序列为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an ,其中 b1 b2 ... bm 为终极状态,那么对于这个 终极状态 b1 b2 ... bm ,存在一个由 c 结束的最少步变换序列 c1 c2 ... c(m-1) c , 使得 b1 b2 ... bm = c1 c2 ... c(m-1) c ,这时我们发现,变换序列 P 已经变为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) c -c ... an , a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) ... an ,即说明 P = a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an 不是 最少步变换序列,这与 状态 的概念矛盾, 故定理得证。
由上面的定理直接得到: 离初始状态最远的状态 不 偶尔路过 某一 终极状态 。
这个定理告诉我们,如果一个状态是 终极状态 ,那么它有可能是一个 离初始状态 最远的状态 ,如果它不是 最远的状态 ,那么我们不可能再通过这个 终极状态 来构造 其它任何 状态 ,当然更不可能通过这个 终极状态 来构造 离初始状态最远的状态 了! 呵呵,希望魔友们在寻找 离初始状态最远的状态 时一定要避开 终极状态 的暗礁呀!
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正六面体三阶魔方的最远状态,我考虑了一段时间,也用了些方法试过,却“无果而终”。 但我可以断言: 对于 正六面体三阶魔方 仅 旋转侧面( 上、下、左、右、前、后 ) 90 度 算 1 步,正六面体三阶魔方的最远状态为 偶数 步!(假如国外专家评估三阶魔方的最远状态 最少步为 22 步 或 23 步 是准确的话,即得:正六面体三阶魔方的最远状态为 22 步!)
看样子有些问题很难被证明,这使我联想起人们曾想证明“四色问题”和“阿当斯幻方”, 但最终“无果而终”。它们却都是被计算机“遍历”证明(算出)的!
四色问题:经计算机遍历全部情况,证明了平面地图最多用四种颜色即可使任意相邻区域 不同色!
阿当斯幻方(请参考“阿当斯幻方”):经计算机遍历全部情况,证明了“阿当斯幻方” 的答案仅有唯一的一种!
呵呵,我想,老猫先生不必担心你那“正六面体五阶魔方”会被人得到,不妨继续“悬赏”! 因为即便有最先进的算法(程序和产生的库)想要让现今最超快的计算机“遍历”证明(算出) 三阶魔方的最远状态,没有一年半载的时间都不可能实现!
[此贴子已经被作者于2005-12-15 9:52:37编辑过]
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