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标题: 关于三阶魔方状态数的算法??? [打印本页]

作者: Caiii 时间: 2008-7-20 11:18:24 标题: 关于三阶魔方状态数的算法???

这是在魔方小站看到的三阶魔方的算法，谁能帮我解释一下？
 
最近刚学了数学的排列组合,  上面这条式子是怎么得到的？那位高手帮忙解释一下，多谢

附件: equation1.gif (2008-7-20 11:18:24, 4.23 KB) / 下载次数 29
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjEyNjR8NTJjNzNjZmR8MTcxNTY2Mzk5N3wwfDA%3D

作者: yzfa9860 时间: 2008-7-20 11:21:37

沙发~~~不懂

等待解释

作者: melbourne2006 时间: 2008-7-20 11:44:12

8！是角位置的全排列 3的8次方是每个角有三种状态。。
12！是棱位置的全排列 2的12次方式每个棱有2种状态..
 
下面那个不知道了..

作者: 大烟头 时间: 2008-7-20 12:07:44

8！是角位置的全排列，3的8次方是每个角在同一个位置上有三种色向状态。
12！是棱位置的全排列，2的12次方式每个棱在同一个位置上有2种色向状态。
 
以上四项的乘积是指不拆中块情况下随意组装的总状态数，如果把中块拆了随意组装就不止这个数了。
 
这种乘积的总状态数内含有：错装状态与合法状态，一个初始六色复原好的魔方及其所有打乱状态都为合法状态。
 
魔方的变化可分为：色向变化与位置变化。
 
在合法状态的情况下，从色向变化上来说，当8个角块中有7个角块色向确定后，最后一个角块色向是固定的，所以要除以3。同理，12个棱块中如11个棱块色向确定后，最后一个棱块色向是固定的，所以要除以2。从位置变化上来分析，三阶魔方不可能出现单独的两个块对换位置，所以还要除以2.
 

[ 本帖最后由大烟头于 2008-7-20 12:09 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-7-20 12:11:39

关于这个问题，吧里肯定有答案，可以搜索一下（顺便说一句，搜索功能确实很好用啊<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> ）。
 
既然楼主在小站上看到的，那上面也有啊：魔方总变化数的道理<A href="http://www.rubik.com.cn/group.htm" target=_blank>http://www.rubik.com.cn/group.htm</A>

作者: 大烟头 时间: 2008-7-20 12:13:45

顺便在忍大师的理论区里出一道题：
 
如果把三阶纯六色魔方的中块、棱块、角块全拆下随意组装，这随意组装的总状态数是如何计算？<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
 

[ 本帖最后由大烟头于 2008-7-20 12:16 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-20 15:57:41

烟兄此题不错，各位魔友不妨琢磨琢磨。我初步考查下来，抛砖引玉，求各位指正：
 
中心块簇运动之后，随意组装态总数是否再要×6！＝×720，然后再除以30即得×24种不同方位的、但六个中心块的相对关系都是正确的中心块状态。接着再除以2，排除它们和角块、棱块的搭配时得到的不可复原态。
 
综合下来就是×12，三阶纯色随意组装时，中心块也进来“添乱”的话，使总态数变为
 
12×4.3×10^19 个正确态。看来还好，并未“天下打乱”。
 
另一种思路是，任一三阶纯色的正确状态，固定其角块、棱块后，让中心块簇整体在铁扇公主肚子内翻滚的话，连同初态所得到的24种状态之中，不难判断出，只有12种正确。故直接得到12×4.3×10^19 。
 
至于中心块组非整体翻滚，一定属于不可复原态。所以，中心块再怎么被拆开随意组装，凡属不符合六个中心块正确相互关系的组合，可以一概抛弃，不必先求6！什么的。
 
当然，此题的参照系是建在魔方外的，不是建在中心块组上。否则的话，那些增加出来的11×4.3×10^19个态个个都要被消同态的。此题的前提不同之后的结果，和原来的参照条件下的结果并无矛盾的。当参照建在中心块组上时，A＝4.3×10^19个态个个不同，但是无论谁弄出第A＋1个态一定是A中的某一个的同态。但此题条件下，就不一定，下图就是举例说明从一个态由中心块组的运动所得的12个新态。
 
下图是请一个状态出来当所有4.3×10^19个态的代表，固定其角块、棱块，让中心块组整体旋滚后所得到的12个新态（指以魔方的周围环境为参照的新态）和12个非转出态。
 
 中心块簇运动的情况－2.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-20 23:02 编辑 ]

附件: 中心块簇运动的情况－2.GIF (2008-7-20 20:58:44, 46.1 KB) / 下载次数 29
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjEzNjl8OWFmNDJmNGN8MTcxNTY2Mzk5N3wwfDA%3D

作者: kexin_xiao 时间: 2008-7-20 17:05:12

来看看,学习学习.

作者: pengw 时间: 2008-7-20 17:14:34

A方法：定律计算方法，即簇内状态数之积*扰动关系数 B方法：原始计算方法，即组装状态数/（错误组装数+1）
---------
A方法 ---------- 纯色三阶魔方：8！/2*3^7*12!/2*2^11*2 全色三阶魔方：8！/2*3^7*12!/2*2^11*2^11*2
 
 
B方法 -------- 纯色三阶魔方：8！*3^8*12!*2^12/(11+1) 全色三阶魔方：8！*3^8*12!*2^12*2^12/(23+1)
  
说明
------
显然，A方法最简单和明了。B方法的分子分母都受制于魔方结构，完全由大烟头说了算，哈哈哈，这不，他已经开始发难了，哈哈哈。
 

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-20 17:23 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-7-20 17:35:22

回六楼：8*7^3*12!*2^12*6!*2^12，你这种偷换标识的玩法，完全就是G大师镜像邪说的翻版，不要祸害新人。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-20 17:56 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-7-20 17:52:27

如果用邱志红的色子阵魔方，簇与簇之间可以随意互换块，每一个块都有24个安装方位，这样的计算也许更有趣，有谁愿意去计算一下最基本的二阶？像大烟头这样的野心家，恨不得所有魔方性质都由结构说了算，也即，一种结构一套魔方性质！还好，现在有电子魔方，他的希望破产了，哈哈哈。所以大家不要被他诱骗到万劫不复的绝境。

作者: bbshanwei 时间: 2008-7-20 19:47:52

原来公式中的含义是这样的啊。

作者: Cielo 时间: 2008-7-21 08:56:59

原帖由 乌木 于 2008-7-20 15:57 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=188352&ptid=11436" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>...下图是请一个状态出来当所有4.3×10^19个态的代表，固定其角块、棱块，让中心块组整体旋滚后所得到的12个新态（指以魔方的周围环境为参照的新态）和12个非转出态。

大烟头此题说的是中心块也拆下然后随意组装，那应该不局限于中心块组整体旋滚吧！
 
所以我觉得应该是8!×3^8×12!×2^12×(3!+4!)

作者: 大烟头 时间: 2008-7-21 09:29:53

三阶纯六色魔方把中心块、角块、棱块全拆下然后随意组装，产生的总状态数为： 
8！（角位）×3^8（角色）×12！（棱位）×2^12（棱色）×6！（心位）/24（同态）

作者: 乌木 时间: 2008-7-21 09:37:27 标题: 回复 13# 的帖子

对。我这样只是取其中可复原的态，那就只能让中心块组整体旋滚了，因为一个正确态魔方的六个中心块的相互位置关系，就是复原后的魔方的六色的相互位置关系。

作者: 乌木 时间: 2008-7-21 09:50:29 标题: 回复 14# 的帖子

烟兄说“8！×3^8×12！×2^12×6！/24”，这6！个中心块情况之中，六个中心块的、位置上的相对关系，应该有很多不符合魔方复原态时的六面颜色的相对关系吧？两者只要不符合，魔方必然不能复原，应该排除吧？所以，是否要把6！＝720个中心块情况选出12个可用的才对？
 
当然，如果题目问的是，不管能否复原，统统计入，则另当别论。看来是这么回事，所以，烟兄此式不去修正3^8，2^12和6！这三个因子。
 
我7楼的答复搞岔了，自己把自己限于可复原态了。
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-21 10:33 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-7-21 10:03:45

乌木老师的那个好专业,大烟头的那个容易理解

作者: 大烟头 时间: 2008-7-21 10:39:23

三阶纯六色魔方把中心块、角块、棱块全拆下然后随意组装，产生的总状态数为：（包括错装状态与合法状态） 

8！（角位）×3^8（角色）×12！（棱位）×2^12（棱色）×6！（心位）/24（同态） 

纯六色中块随意组装数为6！＝720个，其中合法的状态应该有24个

作者: 大烟头 时间: 2008-7-21 10:43:55

这道题里的组装排列不难，主要就是考大家对三阶魔方中24同态的理解

作者: ocp 时间: 2008-7-21 10:45:28

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 乌木 时间: 2008-7-21 10:51:10 标题: 回复 18# 的帖子

“纯六色中块随意组装数为6！＝720个，其中合法的状态应该有24个”，
 
对，7楼中我起初也是这么想的。我之所以选用其中的12个，是因为另12个中心块态和同一合法的角块、棱块态的组合不可复原。例见7楼的图解。
 
如果只看中心块组本身，那么720个之中确实是24个正确。

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-21 10:56 编辑 ]

作者: lilijiji 时间: 2008-7-21 11:00:14

对于理论研究不多,感觉8!有些诡异,感觉不大对劲

作者: 乌木 时间: 2008-7-21 11:07:30

原帖由 大烟头 于 2008-7-21 10:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=188902&ptid=11436" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 这道题里的组装排列不难，主要就是考大家对三阶魔方中24同态的理解

嗯。我7楼中没有考虑“/24”问题，因为所用的“4.3×10^19”个态应该没有同态了，我就只考虑其中的中心块运动及其和角块、棱块的搭配了。7楼的思路（后来甚至抛开直6！，直接从4.3×10^19出发，让孙悟空在鉄扇公主肚子里翻筋斗），有点投机取巧、不伦不类吧。
 
烟兄式子中的“/24”当然对的，但就7楼的思路而言，是否还要“/24”？让我继续想想，也请大家帮我理理。

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-21 15:13 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-21 11:10:48 标题: 回复 22# 的帖子

8个位置布排8个角块，排列方式总数为8！。对棱块，12！的含义类推。3^8的含义是每个角块有三种色向；2^12指每个棱块有两种色向。六个中心块的排列数为6！。“/24”是把同一模样的魔方的24个不同方位，计为1种，以免重复统计。烟兄那式子包含了不可复原态，需要时可以再继续处理的。

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-21 11:28 编辑 ]

作者: ocp 时间: 2008-7-21 11:45:58

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 7阶4分 时间: 2008-9-26 11:25:35

8！是角位置的全排列 3的8次方是每个角有三种状态。。

12！是棱位置的全排列 2的12次方式每个棱有2种状态..

作者: 溪风 时间: 2008-9-29 09:47:39

来看看,学习学习.

作者: 加贝 时间: 2008-10-20 11:11:12

学习学习啊我是新手啊

作者: rubik-fan 时间: 2008-10-20 12:36:44

楼上的在什么地方都是说着一句话：学习学习啊。我是新手。真搞笑

作者: earthengine 时间: 2008-10-23 17:32:53

原帖由 乌木 于 2008-7-21 11:10 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=188927&ptid=11436" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
8个位置布排8个角块，排列方式总数为8！。对棱块，12！的含义类推。3^8的含义是每个角块有三种色向；2^12指每个棱块有两种色向。六个中心块的排列数为6！。“/24”是把同一模样的魔方的24个不同方位，计为1种，以免重 ...

这里，除以24的前提是： 任给一个组装态，经过翻滚后都正好有24个不同的态。要是其中有些态一样，这除以24就失败了。 你可以试着证明一下！

作者: 乌木 时间: 2008-10-23 19:22:42 标题: 回复 30# 的帖子

我想，只要有纯色三阶的如此这般地顽强的六个中心块在，正确魔方的任何一个转出态的24个不同的整体变向的表观模样，不会有重复的吧？
 
 好在固定中心块簇之后，奇阶魔方的态数计算就没有“ / 24”问题了。对吗？

作者: earthengine 时间: 2008-10-23 19:58:37

具体的证明方法很多，中心块族是一法。你也可以拿任意一个角块／棱块来参照。正如之前我们在另一关于块方向性的讨论帖子所看到的那样，在整体翻滚之下，一个角块或者一个棱块正好有24个不同的“方位”（方向＋位置）。从而重复是不可能的，因为当指定块方位不同时，显然对应的魔方完整态不会是重复态。

作者: 7阶4分 时间: 2008-10-28 18:21:45

来学习的！多谢高手们！！

作者: 黑白子 时间: 2013-9-3 22:03:10

大烟头发表于 2008-7-21 10:39
三阶纯六色魔方把中心块、角块、棱块全拆下然后随意组装，产生的总状态数为：（包括错装状态与合法状态）
...

我遇到过这种情况。话说05年5月，刚教会我的孩子复原三阶魔方，心里很是高兴，我们父子俩经常进行魔方比赛（三阶魔方）。有一次我刚下班回到家里，我的孩子说说给我出了一道魔方题，说能把这个样子的魔方还原吗？我想都没想，随口就说1分钟就还原（我的还原速度很慢），说着就动手复原，谁知当我把八个角块还原后，怎么也对不上中心块，心中大惑不解，也没多想，改用棱先法，当然也失败了，于是使用层先法，也没能够复原。最后，您猜，我该怎么办?拆了重装？不对。继续猜……

作者: 黑白子 时间: 2013-9-3 22:20:17

接上楼，我是先不管中心块，用角先法复原8个角块和12个棱块，最后发现中心块盖子装错了，我问他是怎么回事，他说是考我呢。还对我说：不要以为什么状态都能复原。我问他，角块和棱块为何能复原？他说那是迷惑我的，因为知道我喜欢角先法，第二是棱先法，最后才是层先法。要是角和棱装错了就被我很快发现的。
说实在的，在这之前，我压根就没想过错装。魔方散了，都是一块一块按顺序正常组装。这次之后，我就胡乱装了，有时也把角块色向装对，就是顶层角块上面颜色相同，下层角块底面颜色相同，其它就不管了。可见，明白点魔方道理还是很有用的嘛！

作者: 黑白子 时间: 2013-9-10 22:02:59

要是把题目改为：如果把三阶全色魔方的中块、棱块、角块全拆下随意组装，这随意组装的总状态数是如何计算？结果又如何呢？

作者: 黑白子 时间: 2013-9-10 22:05:30

答案是不是应该在纯色的状态数上乘以4^6?

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