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标题: 小议《广义魔方存在3置换的一个充分条件》 [打印本页]

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:50:25 标题: 小议《广义魔方存在3置换的一个充分条件》

              鉴于某位“理论大师”（自诩）总是 “攻击、改帖、屏蔽、删帖”，本人不便   在“理论篇”发帖子讨论问题，另发一贴探讨《<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745">广义魔方存在3置换的一个充分条件</A>》，   敬请 earthengine 及大家理解！            <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745</A>

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:51:15

         earthengine 在<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745">《广义魔方存在3置换的一个充分条件》</A>中的原贴内容：     

<HR>


   因为pengw追问这个证明，我想我能给出一个充分条件，而这个充分条件在高阶魔方上应该是普遍成立的。 
首先明确定义。
 广义魔方：它包括一些节点，一些位置，以及允许的基本动作。它有一种以上的状态，在每个状态下，每个节点占据一个位置，但不会有两个节点占据同一位置，也不会有一些位置空着。每个基本动作将开始状态下一些位置上的节点移动到别的位置，从而形成新的状态。
一个公式是基本动作的序列，又可称为派生动作。如果两个公式总是把同样的开始状态变为同样的结束状态，则这两个公式叫做全等公式。一个公式能影响0个或多个位置上的节点，这些位置称为公式的相关位置。
由于节点数目有限，因此状态数目有限。从而任何公式重复若干遍之后必然回到之前出现过的状态，最小的这个遍数叫做周期。由于周期的存在，对于每个公式f，必然存在另一个公式f'能把f造成的影响复原。这个f'叫做f的逆。
如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。
如果两个公式有部分相关位置重叠，那么两个公式相交，否则平行。重叠的位置叫做交点。
如果存在一个公式能把一个位置上的节点移动到另一个，则这两个位置是同类的。所有同类位置叫做族。
在这些准备工作之后，我们来看看什么情况下能存在使三个节点的位置轮换的公式。
 引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。 证明：
 
举一个直观的例子：如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2，等等），f2的变换结果是(123457)，是把f1中6这个位置偷换到7所得到的。
现在我们来看公式(f1)(f2')的变换结果是什么。123456789经过f1变为612345789，再经过f2'(175432)变为123475689，正好是一个(567)，完成了一个三轮换，而所有其它元素不变。(不熟悉这种表示的人可能不理解，其实是(123456)将1变成2，(175432)则把2变成1，因此(f1)(f2')下1可以变回原位。而f1把5变成6，它不被f2影响，因此这就是最终结果。其余可以类推。为什么f2的逆不是(754321)呢？其实这样写也可以，但我习惯把最小的数放在最前面，反正循环的方向是固定从左到右，两种写法是等价的)
如果f1是四轮换，那么f2因为和它相似从而也是。这时pengw从四轮换生成三轮换的方法就是以上的另一个特例。为什么(f1)(f2')刚好是一个三轮换呢？其实很简单：对于f1中的元素，要是f1不把它变到1（会被f2'把它变成7）或者6（f2'不能把她复原），那么它会被f2复原。从而123456这些点中只有2个会变化，加上f2中多出来的7这点，一共3个点要变化。由于两个相似变换的奇偶性相同，因此它们的组合必然是偶的，3个点之间能发生的偶变化必然是三轮换。这一论证是普遍的，因而定理被证明。
 定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行 f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。 那么在这个位置族上存在一个三置换。 证明：
在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。
 
推论：
高阶魔方的任意族存在独立三轮换。
证明：高阶魔方的任意两个平行层的层转平行。任意一个面转动180度的周期为2。任意一个族有一个层转，它把某个面上这个族所在的行转动到侧面，而另一个平行的层转与它只有一个交点。从而，若选取一个面转为f1，相应的层转为f2，与它平行的层转为f3，则符合了上面定理要求的条件，证毕。

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:55:43

       好主题，earthengine 给出了一般魔方（广义魔方）存在三置换的一个判定   条件，具有划时代的意义！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216430&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
  定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行 f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。 那么在这个位置族上存在一个三置换。 证明：
在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。

“ f1 和 f2 平行”应该是“ f1 和 f3 平行”吧？         (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2') 应该是 (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3')(f2') 吧？           建议能把“ f1 和 f3 平行”的条件放宽为“ f1 和 f3 不相交”，这样更具一般性。   因为对于各类魔方来说，只要“ f1 和 f3 不相交”，定理也成立！

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216430&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217382&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。

呵呵，有些乱了，f1、f2、f3 在“三置换公式”与“相似公式”等概念中“搅扰”呀！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">             


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 11:22 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:56:50

原帖由 pengw 于 2008-8-18 19:37 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216896&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
回22楼，你不从“公理性”四轮换去推导三置换，你的证明没有说服力，也没有抓住问题的本质。五轮也好、三轮换也好都是四轮换工作的结果，这是一个不能否认的事实，四轮换才是魔方结构定义的最基本变换，没有人会认为四轮换是须要证明的，你首先应该证明三置换是如何来自四轮换，之后才能去证明三置换的一般性，这才是正确的思路，一定要尊重魔方上的基本变换特征。

原帖由 pengw 于 2008-8-18 19:22 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216871&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 再重复一次，我的问题是，魔方上只有四轮换，随便一转都是如此，怎么就变出了三置换？你可以推导给大家看看吗？你不用四轮换去推导三置换，你的结论会让人信服吗？

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 19:32 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216885&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
我的证明不依赖于任何四轮换或者类似的东西。你可以在一个具有五轮换特性的魔方上实践出三轮换。基本要求是存在两个相似公式，它们的相关位置除了一个之外完全相同，然后另有一个公式能把多出来那个位置移到第三个地方，但不会动其它的相关位置。如果能这样，那么三轮换存在。

支持， earthengine 回答的很好！

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:58:06

原帖由 pengw 于 2008-8-18 21:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217030&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
一切置换都源于四轮换，只有从纯四轮换推导出三置换才能令人信服，希望你理解我的说法并抓住问题的实质，不要迫于别人的追问而急于想去证明而失去冷静的分析而跌入圈套（看来会下套的人还不止一人嘛，哈哈哈），你一楼的证明显然不能令人信服，我想没有几个人能看明白你在说什么，你最好用图来表达你的意图，也不要轻易定义什么定理,要明白，三元置换，五元置换及所有可能的置换都是四元置换的派生置换，派生置换是不能自已证明自已的。

呵呵，荒唐。比如正十二面体三阶魔方（俗称五魔方）中的基本置换   不是“四轮换”，都是“五轮换”。 也就是说，魔方不都是正六面体魔方！

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:58:55

原帖由 乌木 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216965&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。）

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 21:16 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217007&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
按照我的定义，(UR)104和R'U'是全等公式。因此，它们可以互相代替。我前面的提法逆只是让逆公式的存在性变得明显而已。

不错，一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”   也应该有很多！  只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-8-19 10:59:32

楼主太专业了,这类问题大家看着很费劲啊,不过还是顶一下

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 10:59:55

原帖由 乌木 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216965&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。）

原帖由 乌木 于 2008-8-18 22:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217121&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>  
但大家对“逆公式”的含义已经约定俗成了呀。是否此处你得换个说法？一个打乱态的获得步骤很多很多，该乱态的复原步骤也很多很多，这两大帮步骤串之间，任一个步骤串的逆步骤串只有一个，别的等价物不等于逆步骤串，逆过程还得讲究一步步具体的“脚印”的重现，不仅仅初态终态之重现。

一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”   也应该有很多！  只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！          乌木先生理解数学概念不对呀！  earthengine 的说法是正确的！

作者: kexin_xiao 时间: 2008-8-19 11:00:40

顶一下！理论问题我水平还很不够，要好好学习！

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 11:21:52

<DIV class=quote>
<H5>引用:</H5>
<BLOCKQUOTE>原帖由 earthengine 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216430&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>

    对于定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f3平行 f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。 那么在这个位置族上存在一个三置换。 
</BLOCKQUOTE></DIV>3楼中g老师在引用中直接把“f1和f2平行”改为“f1和f3平行”，就不是“引用”了。这样直接改引用物，会让人看不懂下文的。

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 11:27:37 标题: 回复 9# 的帖子

他不是在讲什么“逆状态”，而是在讲“逆公式”。我认为“逆公式”涉及每一步所得的态都是重现，而不是仅仅看初、终态，否则只是他说的等价公式而已。

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 11:32:25

原帖由 乌木 于 2008-8-19 11:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217409&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
3楼中g老师在引用中直接把“f1和f2平行”改为“f1和f3平行”，就不是“引用”了。这样直接改引用物，会让人看不懂下文的。

感谢乌木先生提醒。帖子太多，编辑时改动过。

作者: earthengine 时间: 2008-8-19 11:42:08

原帖由 ggglgq 于 2008-8-19 10:55 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217382&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
      好主题，earthengine 给出了一般魔方（广义魔方）存在三置换的一个判定  条件，具有划时代的意义！      
        “ ...

谢谢。我后面还有更精彩的帖子。这个帖子我不打算完善了，因为很绕，一般人不容易掌握。请参考我的新帖子 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12795&extra=page%3D1

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 11:45:46 标题: 回复 13# 的帖子

不客气。你们都是高手，earthengine 的不少叙述非常有新意。我对他的提问是想更好地理解他的文章。加上g老师的指点，都是众魔友的福音。

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 15:56:37

原帖由 ggglgq 于 2008-8-19 10:58 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217388&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>             不错，一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”  也应该有很多！  只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！  ...

我注意到g老师提出了一个新名词“逆状态”。
 
我想，比如三阶纯色魔方的4.3×10^19个态的任何两个态之间都可实现互变，所以，我觉得其中任一态的“逆状态”有（4.3×10^19－1）个，不是只有一个。对吗？
 
如果固定某一态为初态，其余（4.3×10^19－1）个态都看作该初态分别做出的终态，那么，除了那初态外，任一态只有一个逆状态－－都是那初态，而初态本身则有（4.3×10^19－1）个各不相同的逆状态。对否？

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 16:48:47 标题: 回复 18# 的帖子

我再想想，也许g老师的“逆状态”的含义是指：态A经过f1得到态B；态A经过f1' （f1的逆公式）得到态C。f1的逆公式f1' 是唯一的，所以态A的逆状态－－态C也是唯一的。这里离不开f1，还隐藏着一个态B。这是一种猜测。还可以有别的猜测。先问问这种猜测对吗？

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-19 16:57 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 17:13:35 标题: 回复 20# 的帖子

另一种含义是不是这样：态A经过f1得到态B，则说态B的（关于f1的）逆状态就是唯一的态A。这里同样离不开f1。对不对？

作者: earthengine 时间: 2008-8-19 17:18:24

原帖由 乌木 于 2008-8-19 15:56 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217702&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

 
我注意到g老师提出了一个新名词“逆状态”。
 
我想，比如三阶纯色魔方的4.3×10^19个态的任何两个态之间都可实现互变，所以，我觉得其中任一态的“逆状态”有（4.3×10^19－1）个，不是只有一个。 ...

这里准确的用词应该是“变换”，变换是从一个状态变化为另一个状态的过程，可以通过公式，也可以不。因此变换总是存在逆，且这个逆是唯一的（在总能从同样的开始状态变换到同样的结束状态这个意义上）。状态和变换容易搞混的原因是每个状态都对应一个从初始状态变到它的变换。

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 18:29:12

原帖由 earthengine 于 2008-8-19 17:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217766&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 这里准确的用词应该是“变换”，变换是从一个状态变化为另一个状态的过程，可以通过公式，也可以不。因此变换总是存在逆，且这个逆是唯一的（在总能从同样的开始状态变换到同样的结束状态这个意义上）。状态和变换容易搞混的原因是每个状态都对应一个从初始状态变到它的变换。

1、就算有什么“不通过公式的变换”，总得通过转魔方层吧？把有关的一列转魔方层的动作统统看作“公式”并无不可吧？
2、你说：“变换总是存在逆，且这个逆是唯一的（在总能从同样的开始状态变换到同样的结束状态这个意义上）”，你这括号内的加注值得品味品味－－其实，任何态分别经受同一个公式后，所发生的变化模式是完全一样的，何必说“同样的开始状态”、“同样的结束状态”什么的呢？
3、你说：“每个状态都对应一个从初始状态变到它的变换”，此话也值得追究－－态A到态B的变换可不是唯一的啊！此处的“对应一个……”将如何个对应法呢？
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-19 18:50 编辑 ]

作者: 知Shmily足 时间: 2008-8-19 18:31:26

看完都很费劲啊，但还是顶一下

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 18:53:51

原帖由 earthengine 于 2008-8-19 17:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217766&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
这里准确的用词应该是“变换”，变换是从一个状态变化为另一个状态的过程，可以通过公式，也可以不。因此变换总是存在逆，且这个逆是唯一的（在总能从同样的开始状态变换到同样的结束状态这个意义上）。状态和变换容易搞混的原因是每个状态都对应一个从初始状态变到它的变换。

earthengine 的概念比较清晰，支持一下！

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 18:55:17

            对于乌木先生的概念混乱，我做一个解释，希望各位魔友不要犯   类似乌木先生的概念错误。            我们对魔方的复原状态进行变换 A 的操作后得到的状态称为   状态 A ；同样对魔方的复原状态进行变换 B 的操作后得到的状态   称为状态 B ，等等。           相关内容请参考：  <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8598">由魔方的相似变换分析整体翻转的性质</A>              <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8598">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8598</A>        

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-20 21:25 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 18:58:20

           魔方“状态 M 的逆状态” 的定义：          如果对于“状态 M ” 进行“变换 N”的操作后，得到“复原状态”，   则称“状态 N”为“状态 M 的逆状态”。         由“状态 M ”的逆“状态 N”得到，“状态 M ”、“状态 N”互为   “逆状态” 。并且  魔方的每一个“状态” 都只有  一 个     “逆状态”！              

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-20 21:25 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 20:05:16 标题: 回复 22# 、23# 的帖子

原来如此。所以，比如，某一态X经U得到态1；同向的态X经U' 得到态2，那么，态1和态2互逆。对吗？如果对了，谢谢又使我弄清了一个你说的“逆状态”概念。  
<HR>
           不对！       按照您的叙述，需要把“某一态 X”、“同向的态X”都改为“复原状态”。                                       ggglgq 回复              

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-20 21:26 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 20:25:11 标题: 回复 24# 的帖子

回复24楼g老师的批语，我认为在此问题上，任一态（上述态X）都有资格被指定为产生互逆态（上述态1和态2）的“初始态”。你23楼的定义中的“初始状态”是否可以扩充一下含义呢？ 
<HR>
          那样就“世界大乱”了！难怪您的“逆状态”概念如此混乱！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10">            建议今后乌木先生要正确理解把握 22 、23 楼的内容！                     另：此处“初始状态”的含义是：“复原状态”或“还原状态”。                                       ggglgq 回复            

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 20:39 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 21:58:55

原帖由 ggglgq 于 2008-8-19 10:58 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217385&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>         呵呵，荒唐。比如正十二面体三阶魔方（俗称五魔方）中的基本置换  不是“四轮换”，都是“五轮换”。也就是说，魔方不都是正六面体魔方！      &nb ...

嗯，五魔方中确有若干个“五轮换”获得“三轮换”的。

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 22:04:26 标题: 回复 25# 的帖子

回复25楼g老师的批语，我没想通之前，容我保留25楼我的看法，在此问题上，六面复原态并无其特殊性。我的看法并未排除复原态。通常取复原态仅出于直观和方便而已。如果由此引起什么什么大乱的话，不怪魔方，怪人脑不习惯。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-19 22:08 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-20 12:45:21

原帖由 乌木 于 2008-8-19 18:29 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217843&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

 
1、就算有什么“不通过公式的变换”，总得通过转魔方层吧？把有关的一列转魔方层的动作统统看作“公式”并无不可吧？
2、你说：“变换总是存在逆，且这个逆是唯一的（在总能从同样的开始状态变换到同样的 ...

<ul type="1">
<li>例如镜像变换不是通过转魔方层达到的，也不可能通过这种方式达到。
</li><li>你引入的概念变化模式和变换这个用词是同义反复。所以你还是需要定义何谓“一样的变化模式”。当然如果你理解了，也就不需要再解释了。
</li><li>版主已经指出你没有理解“初始状态”是已经确定，然后才有状态与变换的对应关系这个要点。
</li></ul>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-20 12:48 编辑 ]

作者: ocp 时间: 2008-8-20 12:50:27

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作者: earthengine 时间: 2008-8-20 12:52:05

原帖由 乌木 于 2008-8-19 22:04 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=218032&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
回复25楼g老师的批语，我没想通之前，容我保留25楼我的看法，在此问题上，六面复原态并无其特殊性。我的看法并未排除复原态。通常取复原态仅出于直观和方便而已。如果由此引起什么什么大乱的话，不怪魔方，怪人脑不习 ...

初始状态不一定是复原态。如果你要把某个花样比如六面皇后作为初始状态也无不可。但在定义了初始状态之后，状态和变换就有了一一对应。

作者: earthengine 时间: 2008-8-20 12:53:06

原帖由 ocp 于 2008-8-20 12:50 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=218602&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
啊？。。。！不可能通过转层来表达变换的也是合法变换？我考，哈哈哈。。。楼上真是宇宙飞碟的转世灵童！乌木，你还有话说吗？哈哈哈

在给定的基本动作下，它不是合法变换。但你可以把它定义为基本动作，于是就是合法变换了。

作者: ocp 时间: 2008-8-20 13:00:06

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作者: ocp 时间: 2008-8-20 13:04:24

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作者: ocp 时间: 2008-8-20 13:31:48

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 乌木 时间: 2008-8-20 17:06:02

25楼g老师说：“ 另：此处“初始状态”的含义是：“复原状态”或“还原状态”。”
30楼earthengine说：“初始状态不一定是复原态。……但在定义了初始状态之后，状态和变换就有了一一对应。”
我的看法同earthengine说的。此外，关于“逆状态”，我有不同于g老师的看法，写在另一帖《关于“逆状态”》了。
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-20 17:09 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-8-20 21:40:28

                很愿意同乌木先生进行有意义的探讨！          为了简明，举一个简单的例子：        我们知道：每一个整数都有且只有一个（唯一一个）相反数！        在“群论”中，我们称“整数的相反数”为“整数的逆”！并且每一个元素   （状态）的“逆”（逆状态）是唯一的。        这里最关键的问题是单位元（整数 0 ）。单位元（整数 0 ）在“群论”   中是唯一的（核心）！这个单位元（核心）在“群论”中是不能随便改变的！   否则，所有元素（状态）的“逆”（逆状态）都不唯一了。“群论”的基石“群”   也就荡然无存！  这显然是极其荒唐的事情！             用乌木先生的话说，其实就是“每一个整数都有很多（不唯一）个相反数！”        比如 3 关于 5（核心）的相反数为 7 。（乌木先生当然可以这么称呼）   这样称呼是很混乱的！           为了简明“概念”、“定义”等，更为了魔方理论体系的完备，这种混乱的称呼   必须要“规范”。  我更改了所有相关定义，也包括相似变换中的定义。本人对此持   严谨负责的科学态度！                            魔方“状态 M 的逆状态” 的定义：          如果对于“状态 M ” 进行“变换 N”的操作后，得到“复原状态”，   则称“状态 N”为“状态 M 的逆状态”。         由“状态 M ”的逆“状态 N”得到，“状态 M ”、“状态 N”互为   “逆状态” 。并且  魔方的每一个“状态” 都只有  一 个     “逆状态”！                  最后，请大家自行查找高等代数中矩阵的“逆”，或者“群论”中“逆”的   相关描述，正确理解“逆”以及数学中“逆”的“唯一性”！

作者: 乌木 时间: 2008-8-20 22:31:39 标题: 回复 36# 的帖子

谢谢。
 
你说“ 在“群论”中，我们称“整数的相反数”为“整数的逆”！并且每一个元素（状态）的“逆”（逆状态）是唯一的。”
 
这里，你把群论中的“元素”替换以“（魔方的）状态”，看来是可以的咯？（我是不懂的，问问。）
 
整数和整数的相反数可以排在一根数轴上，而魔方的状态和魔方的逆状态将如何排队？什么态相当于1，什么态相当于2，……3，……4，…………？相当于1的魔方态和相当于－1的魔方逆态如何区别？即谁算“1”谁算“－1”？如果它们已经像整数、整数相反数那样排好了，我捣乱地把复原态两边的、相应的两个魔方态的位置对换一下，能被发现吗？
 
或许这里谈不上仿照整数那样的“论资排辈”，那么，至少（比如）4.3×10^19－1个态要被分为两类，分别“堆”在复原态的两边吧？可是4.3×10^19－1是个奇数，怎么分为两部分呢？是哪一态找不到自己的逆了呢？
 
还有，30楼earthengine说：“初始状态不一定是复原态。……”，看来他错了？你不是说他群论好吗？

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-20 23:33 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-20 22:35:36

问得好！问得太有水平了！哈哈哈，真没有想到，被GGGLGQ斥为头脑木纳，概念错乱的乌木先生还有如此犀利的提问，你就不怕别人心肌梗死！

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-20 22:38 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-21 08:00:56 标题: 回复 37# 的帖子

“是哪一态找不到自己的逆了呢？”
 
对此问题，我想想，是否这样：魔方毕竟不同于数轴，若g老师所说是对的－－除了复原态之外，每态有自己的唯一的逆，那么，在此，还得把“消同态”时排除出4.3×10^19的、类似“UU态”和“U'U' 态”之一的态请回来亮亮相，或者说，4.3×10^19中，有些态的逆就是它自身，它（们）无须分堆于复原态的两边的。看来，魔方和数轴的区别不是一点点啊！还是别拿数轴出来瞎比划为好。
 
顺便，若把复原态和比如“UUUU态”也看作一对互逆的态，或把复原态看作“自身逆”的态，则在此问题上复原态就不特殊了，它也有逆－－自身。
 
问题是，除了复原态外，这种“双重国籍”般的态的数目一定要是奇数，才能使复原态两边的、互逆的态都能一一配对。
 
我不会证明那种态的数目一定是奇数，哪位证明一下？如果证反，岂不是有至少一个既“无逆”又非“自身逆”也不是复原态的态，这是什么怪物啊！

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-21 21:51 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-21 09:21:37

一个不懂魔方的家伙胡说八道也犯得着去认真对待，你也不嫌累。

作者: earthengine 时间: 2008-8-21 21:02:36

原帖由 ggglgq 于 2008-8-20 21:40 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=219137&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
                很愿意同乌木先生进行有意义的探讨！         为了简明，举一个简单的例子：    &n ...

我同意逆是唯一的。但唯一的是变换。如果用纯粹的数学术语，广义魔方就是置换群，或者群在一个集合（节点－位置映射）上的作用。群的元素本身并不是状态，节点集的具体映射才是状态。所以单位元在群这个层次上是唯一的，但在节点集这个层次上可以随意指定初始状态，然后得到状态和群元素的唯一对应。 更新：现在明白你和乌木的分歧了。他理解的逆状态是指一个变换的前后状态互逆，而你的逆状态则是状态对应的变换互逆。这根本就是两个概念。 

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-21 22:03 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-21 21:07:37

群起作用的仅仅是在同一个交群内，而魔方上有岂止一个簇，即岂止一个群，这些群与群之间到达是一种什么关系，还是没有关系？这才是须要懂群论的人发挥作用的关键地方，有人说得清楚吗？目前说清楚的人，只用了初中知识。

作者: bbshanwei 时间: 2008-8-21 21:20:35

太理论的问题看不懂。

作者: Cielo 时间: 2008-8-22 12:05:41 标题: 回乌木先生

原帖由 乌木 于 2008-8-20 22:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=219189&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
<H2>回复 36# 的帖子</H2>
<DIV class=t_msgfont id=postmessage_219189>
谢谢。
 
你说“ 在“群论”中，我们称“整数的相反数”为“整数的逆”！并且每一个元素（状态）的“逆”（逆状态）是唯一的。”
 
这里，你把群论中的“元素”替换以“（魔方的）状态”，看来是可以的咯？（我是不懂的，问问。）
 
整数和整数的相反数可以排在一根数轴上，而魔方的状态和魔方的逆状态将如何排队？什么态相当于1，什么态相当于2，……3，……4，…………？相当于1的魔方态和相当于－1的魔方逆态如何区别？即谁算“1”谁算“－1”？如果它们已经像整数、整数相反数那样排好了，我捣乱地把复原态两边的、相应的两个魔方态的位置对换一下，能被发现吗？
 
或许这里谈不上仿照整数那样的“论资排辈”，那么，至少（比如）4.3×10^19－1个态要被分为两类，分别“堆”在复原态的两边吧？可是4.3×10^19－1是个奇数，怎么分为两部分呢？是哪一态找不到自己的逆了呢？
 
还有，30楼earthengine说：“初始状态不一定是复原态。……”，看来他错了？你不是说他群论好吗？[ 本帖最后由乌木于 2008-8-20 23:33 编辑 ]</DIV>

魔方的状态确实可以构成一个群。但是它与整数加法群有点区别：
整数加法群是无限群，而且可交换（即满足交换律）；但魔方群是有限群，而且这个群的运算法则远比整数加法复杂，所以无法仿照整数“论资排辈”，但是可以作出魔方群的凯莱图（见《解集球》<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12838&extra=page%3D1" target=_blank>http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12838&extra=page%3D1</A>），这样能更直观的来看待魔方群。
 
也正因为如此，您想分为两类也是无法实现的。正如乌木先生在39楼所说，从复原态作U2，它和自身就互为逆状态，更特别地，复原态本身也是这样。

作者: ggglgq 时间: 2008-8-22 12:41:01

          Cielo 说的不错！           呵呵，36 楼仅是举例强调“逆”的“唯一性”。           乌木先生以上几个问题的冲突关键是：整数群是一个可交换的无限群，   而一般魔方是非交换的有限群，二者不可能构成一一对应的关系！           相关内容感兴趣的魔友可自行查阅相关资料！

作者: ggglgq 时间: 2008-8-22 12:42:22

原帖由 乌木 于 2008-8-21 08:00 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=219291&ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>  
“是哪一态找不到自己的逆了呢？”
 
对此问题，我想想，是否这样：魔方毕竟不同于数轴，若g老师所说是对的－－除了复原态之外，每态有自己的唯一的逆，那么，在此，还得把“消同态”时排除出4.3×10^19的、类似“UU态”和“U'U' 态”之一的态请回来亮亮相，或者说，4.3×10^19中，有些态的逆就是它自身，它（们）无须分堆于复原态的两边的。看来，魔方和数轴的区别不是一点点啊！还是别拿数轴出来瞎比划为好。
 
顺便，若把复原态和比如“UUUU态”也看作一对互逆的态，或把复原态看作“自身逆”的态，则在此问题上复原态就不特殊了，它也有逆－－自身。
 
问题是，除了复原态外，这种“双重国籍”般的态的数目一定要是奇数，才能使复原态两边的、互逆的态都能一一配对。
 
我不会证明那种态的数目一定是奇数，哪位证明一下？如果证反，岂不是有至少一个既“无逆”又非“自身逆”也不是复原态的态，这是什么怪物啊！

另外强调，您提到的正六面体 N 阶魔方所谓“双重国籍”身份的状态   （应该包含复原状态，因复原状态的逆也是自身）的总数一定是偶数！    您的说法不错！这个关于正六面体 N 阶魔方命题非常简单，大家可以自行   讨论证明！

作者: earthengine 时间: 2008-8-22 17:08:52

原帖由 乌木 于 2008-8-21 08:00 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=219291&ptid=12792" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
“是哪一态找不到自己的逆了呢？”
 
对此问题，我想想，是否这样：魔方毕竟不同于数轴，若g老师所说是对的－－除了复原态之外，每态有自己的唯一的逆，那么，在此，还得把“消同态”时排除出4.3×10^19的、类 ...

你以上的分析，不就已经证明了吗？这是典型的反证法：先假定奇数假设不成立。然后得出存在怪物变换。但是怪物变换当然不可能存在，因为违反了任何变换存在唯一逆的定理。于是假设被证明成了定理。

作者: 溪风 时间: 2008-8-22 22:39:49

学术精呀！！学习中。。

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