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标题: 我找到的一个趣味几何题 [打印本页]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-27 18:49:54 标题: 我找到的一个趣味几何题

现有单位圆（即半径为1的圆）
一求在圆内作一个尽可能大的正方形，使得圆内不能再放下这样的正方形
二求在圆内作二个尽可能大的正方形，使得圆内不能再放下这样的正方形
三求在圆内作n个尽可能大的正方形，使得圆内不能再放下这样的正方形

由于正方形的特性，最多的摆法一定会使所有正方形的边长所在的直线要么平行要么垂直。
N=1，2的已经找到了：

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-1-29 00:15 编辑 ]

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作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-27 18:51:26

关于n=2的证明：因为两个正方形是一样的，所以组成的图形至少满足它们是中心对称图形才可以，如下图。
正方形边长：圆的半径是cos∠ABC的值，当C是正方形一边的中点时有最小值。也就是上图所示。

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-1-29 00:11 编辑 ]

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作者: 4324900 时间: 2009-1-27 18:52:48

再战二楼啊 .

作者: R'cube 时间: 2009-1-27 19:02:32

LZ想表达什么呢。。。。3个，4个。。。。N个该怎么做？

作者: 骰迷 时间: 2009-1-27 19:49:30

N個。。。會不會是N分圓形，得出N條線，再每條線作一正方形？

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-27 20:52:12

没懂你的意思

作者: 谢老师 时间: 2009-1-27 22:16:57

n=3时，应该是品字形，
n=4时，应该是田字形……

作者: 骰迷 时间: 2009-1-28 14:12:22

像謝老師那樣加下去，必定不是答案。
因為當題目要求五個或以上正方形時，中心就得有一個正方形。
該是沒有通用方法的吧，應該每題都有一個最優解，沒有什麼規律的吧。

作者: 超级魔导 时间: 2009-1-28 20:38:19

还真是不太好想的说哟。

[ 本帖最后由超级魔导于 2009-1-28 21:11 编辑 ]

作者: tiawing 时间: 2009-1-28 20:56:50

填充问题是数学上很难的问题,有很多变种,有平面的,还有立体的,许多题根本就难以证明,例如大正方形中填10个一样大小的小正方形,要求小正方形边长最大等等类的问题.

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-28 23:23:07

四个应该是田字没有错的，九个是井字格，可以证明。我去弄个图哈

因为N=4，9的时候是完全平方数，得到的构图应该既是中心对称有时轴对称，然后又得到下图，而且再也不能放下更多，如图所示

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-1-28 23:58 编辑 ]

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作者: R'cube 时间: 2009-1-29 00:06:37

完全平方数的正方形都是这么画的。。。只不过你的踢要难的多。。。对于其他一般个数的正方形很难画。。。可能计算面积还会相对简单点。。。
不过随着这个完全平方数的增大。。。没个正方形的边长逐渐减小。。。。以至于。。。在圆中剩下的几个弓形里面也能容的下小于该极限边长的正方形时。。。问题就更加复杂了

不过考虑到极限的话。。。就不难理解了。。。正方形边长a无限趋近于零。。。那个时候。。。。。。圆面积S近似为na^2

[ 本帖最后由 R'cube 于 2009-1-29 00:18 编辑 ]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-29 00:16:13

算面积的话不行啊。。。弓形面积远远比方形要大
没错，如果弓形确实在N比较大的时候可以放下去。

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-1-29 00:19 编辑 ]

作者: wpb93 时间: 2009-1-29 19:38:37

所有的正方形都是一样大的吗？

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-29 22:08:12

是，每个一样大。

作者: o嗬飽彈o 时间: 2009-1-29 22:10:03

貌似好深奥~
研究一下先

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-30 15:39:02

来学习一下

作者: flwb 时间: 2009-1-30 15:41:31 标题: 回复 1# 的帖子

在圆内作一个尽可能小的正方形，使得圆内不能再放下这样的正方形,这样还有点意思!

作者: 骰迷 时间: 2009-1-30 17:03:45

LS：這沒難度啊。。。

作者: hqjer 时间: 2009-1-30 17:16:32

我觉得这是找不到通法的（或者很难找到）只能一个一个来

作者: computerzzt 时间: 2009-1-30 17:22:42

进来学习的......

书本还没学到..

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