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标题: 在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率 [打印本页]
作者: ggglgq 时间: 2006-4-1 11:49:52 标题: 在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率
在 10 进制中，首位数为 m 的自然数的概率 (1 <= m <= 9 ，m 为自然数 ) 为：
在自然界中，多个事物（人 或 数 或 ...）在各方面条件均相同的情况下，先下手者
为强！
作者: ggglgq 时间: 2006-4-1 11:52:51
在 N 进制 ( N > 1 ) 表示的数中，首位数为 m 的自然数的概率 (1 <= m <= N-1 ，
m 、N 为自然数 ) 为：
作者: 乌木 时间: 2006-4-1 12:48:57
Hi！
作者: 邱志红 时间: 2006-4-1 15:09:08
Have a look first.
作者: 邱志红 时间: 2006-4-1 15:21:41
ｌｇ(m+1) -ｌｇ(m)!!!!! 预言的可能性极大也.
因为∑[lg(m+1)-lg(m)]=(lg10-lg9)+(lg9-lg8)+(lg8-lg7)+(lg7-lg6)+(lg6-lg5)+(lg5-lg4)+(lg4-lg3)+(lg3-lg2)+(lg2-lg1)=1 (1≤m≤9)
各概率求和恰好等于1.是偶然还是必然,大有玄机.
[此贴子已经被作者于2006-4-1 21:48:38编辑过]
作者: 乌木 时间: 2006-4-1 21:05:17
那么，就是（猜想）说：
首1的概率为lg 2－lg1＝0.3010
首2的概率为lg 3－lg2＝0.1761
首3－－－－lg 4－lg3＝0.1249
首4－－－－lg 5－lg4＝0.09691
首5－－－－lg 6－lg5＝0.07918
首6－－－－lg 7－lg6＝0.06695
首7－－－－lg 8－lg7＝0.05799
首8－－－－lg 9－lg8＝0.05115
首9－－－－lg10－lg9＝0.04576
[此贴子已经被作者于2006-4-1 21:07:54编辑过]
作者: whitetiger 时间: 2006-4-3 10:56:38
以下是引用ggglgq在2006-4-1 11:52:51的发言：
在 N 进制 ( N > 1 ) 表示的数中，首位数为 m 的自然数的概率 (1 <= m <= N-1 ，
m 、N 为自然数 ) 为：
这个猜想是：
logN[1+(1/m)]
作者: ggglgq 时间: 2006-4-7 09:27:02
欢迎大家一起讨论，也可以在实数域探讨！
作者: whitetiger 时间: 2006-4-7 13:19:00
讨论这个问题，首先要解决概念问题：
怎样才叫首位数为m的数的概率？
作者: 乌木 时间: 2006-4-7 13:53:37
就是呀。什么条件之下的概率呢？否则，我还未想通的问题是，在另一帖http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardid=11&replyid=2109&id=2109&page=1&skin=0&Star=2
的13楼我说：
一位数：1～9 ，1首、2首、3首……9首各为1/9；
二位数：10～99，1首、2首、3首……9首各为1/9；
三位数：100～999，1首、2首、3首……9首各为1/9；
………………………………
N位数：1000……～9999……，1首、2首、3首……9首各为1/9 。
整体看时，好像看不出1首、2首、3首……9首有概率依次减小之事嘛。
此外，当N趋向无穷大时，各“段”之内的规律看来仍然是“1首、2首、3首……9首各为1/9 ”，可以这样讲吗？
哪位指点指点才是。
作者: ggglgq 时间: 2006-4-8 09:43:37
以下是引用乌木在2006-3-28 16:20:57的发言：
自然数集合中首位数为 m 的自然数是子集。子集是合集的“部分”，这两个都是无穷大，在无穷大的世界里，它们是一样大的，即可以是部分等于全部。缘于首位数是 m 的自然数集合与整个自然数集合是一样大的无穷大，比率（成分）是1/9的说法确是有问题的。
以下是引用乌木在2006-3-31 0:39:52的发言：
对所说概率算平均值是什么意思？是否如下：
自然数有无穷多，要想知道首位是 m 的自然数在所有自然数中的比率（成分）占多少，我们先要从自然数中取出一定量的数，算出其中的比率。取多少数、怎样取，应是随机的。应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均。
这个平均比率就是对数量不确定的自然数中取得首位是 m 的数的概率。（不知这样说法对不对。）
嗯，有道理！大家继续探讨。（注：我把 1 改成 m 了。）
作者: 老猫 时间: 2006-4-8 10:22:06
以下是引用乌木在2006-3-31 0:39:52的发言：
对所说概率算平均值是什么意思？是否如下：
自然数有无穷多，要想知道首位是 m 的自然数在所有自然数中的比率（成分）占多少，我们先要从自然数中取出一定量的数，算出其中的比率。取多少数、怎样取，应是随机的。应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均。
这个说法还是有点问题：
（取多少数、怎样取，应是随机的） 这个对。
（应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均） 这恐怕不行，因为取法也是无穷的。
作者: whitetiger 时间: 2006-4-11 09:55:59
我之前看到的一道题目是：
2的各次幂中，首位为1的比例是多少？
这道题的答案就是lg2=0.3010，很好理解。
不知道与本问题是否有关？！
作者: hw294 时间: 2006-4-14 16:27:24
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: 乌木 时间: 2006-4-14 18:15:55
不过我想这与本题相比，前提等不同吧？
作者: Dampire666 时间: 2006-6-13 23:47:33
看~~~~~~~
作者: Dampire666 时间: 2006-6-13 23:49:36
好像博弈論裏有這樣的定理
作者: chezone 时间: 2007-8-1 15:20:05
精华帖当然要顶一下，再看
作者: windywinter 时间: 2007-8-6 21:40:14
赶快注册，看看
作者: libiamo 时间: 2007-8-17 04:54:15
为什么要回复才能看呢?
作者: 钟七珍 时间: 2007-9-15 23:55:32
看看是怎么回事。
作者: ydd4646 时间: 2007-12-28 20:17:46
挖 看看 太棒了 
作者: 录 时间: 2008-1-14 20:37:40
學數學的一定要看下...
作者: fanjinzhi 时间: 2008-1-15 01:40:31
<P>看一个</P>
<P> </P>
作者: 无间行者 时间: 2008-2-2 20:52:17
Have a look
作者: 353745264 时间: 2008-4-5 16:35:52
看看啦................
作者: 东方白白 时间: 2009-3-6 12:24:14
路过看看看看
看看
作者: lulijie 时间: 2009-3-6 19:56:00
为了说明概率的求法，先从N=10，m=1开始说明：
先设一个自然数S，S内首位为1的概率表示为P(S),
那么P(1)=1，P(2)=1/2，P(3)=1/3，
P(19)=11/19……
所有自然数首位为1的概率P就是S趋向于无穷大时P(S)的极限。
作者: juventus66 时间: 2009-3-6 19:56:39
学习下
作者: lulijie 时间: 2009-3-6 20:18:30
先例举：
一：
S=19 首位为1的个数：11
S=199 首位为1的个数：111
S=1999 首位为1的个数：1111
……
S=2*10^k -1 首位为1的个数：[10^(k+1)-1]/9
所以 ，k趋向无穷大时， P(2*10^k -1) 的极限=
[10^(k+1)-1]/9 / 2*10^k -1 (k趋向无穷大)
=5/9。
二：
S=9 首位为1的个数：1
S=99 首位为1的个数：11
S=999 首位为1的个数：111
……
S=10^k -1 首位为1的个数：[10^k-1]/9
所以k趋向无穷大时，P(10^k -1)的极限=1/9
------------------------------------------
因为 P(10^k -1) 与 P(2*10^k -1) K趋向无穷大的概率是不同的，
所以P(S) S趋向无穷大的值是发散的，概率不存在，所以楼主的结论根本不成立。
就好比 1+（-1)^n 的极限不存在一样。
[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-6 20:21 编辑 ]
作者: 骰迷 时间: 2009-3-6 21:01:47
看看是什麼爭論先~~
作者: tonylmd 时间: 2009-3-6 21:35:26
先回复。。
作者: ggglgq 时间: 2009-3-7 09:08:03
原帖由 lulijie 于 2009-3-6 20:18 发表 
先例举：
一：
S=19 首位为1的个数：11
S=199 首位为1的个数：111
S=1999 首位为1的个数：1111
……
S=2*10^k -1 首位为1的个数：[10^(k+1)-1]/9
所以 ，k趋向无穷大时， P(2*10^k -1) 的极限=
[10^(k+1)-1]/9 / 2*10^k -1 (k趋向无穷大)
=5/9。
二：
S=9 首位为1的个数：1
S=99 首位为1的个数：11
S=999 首位为1的个数：111
……
S=10^k -1 首位为1的个数：[10^k-1]/9
所以k趋向无穷大时，P(10^k -1)的极限=1/9
------------------------------------------
因为 P(10^k -1) 与 P(2*10^k -1) K趋向无穷大的概率是不同的，
所以P(S) S趋向无穷大的值是发散的，概率不存在，所以楼主的结论根本不成立。
就好比 1+（-1)^n 的极限不存在一样。
嗯，如果从“求极限”的角度看，“首位数为 m 的自然数的概率”是发散
的，但......大家可以上网查阅相关的资料，比如魔方论坛的这个
首位数问题
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=2109&page=2#pid22975
应该说，网络上的那些资料对“概率”的理解有些“与众不同”，但我们
可以从中学习学习，也算是开阔一下视野嘛。呵呵！
作者: lulijie 时间: 2009-3-7 21:33:21
S以内所有的自然数 首位为1的个数 首位为1的概率 S以内所有的自然数 首位为1的个数 首位为1的概率
S=1 1 1
S=(2,9) 1 1/S S=(10,19) S-8 1-8/S
S=(20,99) 11 11/S S=(100,199) S-88 1-88/S
S=(200,999) 111 111/S S=(1000,1999) S-888 1-888/S
S=(2*10^(k-1),(10^k-1)) (10^k-1)/9 (10^k-1)/(9S) S=(10^k,2*10^k-1) S-8/9 *(10^k-1) 1-8 * (10^k-1)/(9S)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
求所有自然数中首位为1的概率，S必须足够大， 而S足够大时，
S在左边的范围时，概率随着S的增大从5/9逐渐减至1/9，S在右边的范围时，概率随着S的增大从1/9逐渐增至5/9。
所以概率是发散的，不存在极限值。
若一定要给它求平均值的话，可以这么求：
假设S足够大，S在(2*10^(k-1),2*10^k-1)内变动，概率先从5/9逐渐减至1/9，然后从1/9逐渐增至5/9。
假设S在(2*10^(k-1),2*10^k-1)的分布是随机的，每种取值的概率都是18*10^（k-1) 分之一。
那么所求的平均概率P=
{ ∑ (10^k-1)/(9S) (S从2*10^(k-1)到(10^k-1)) + ∑ （ 1-8 * (10^k-1)/(9S) ） (S从10^k到2*10^k-1) }/ 18*10^（k-1)
利用该公式 ∑1/i =ln (b+1)/a (i从a到b) 当i足够大时，
S足够大时，K也足够大，得到 P={ (10^k-1)/9 * ln5 + 10^k - (10^k-1) * 8/9 * ln2 } / 18*10^（k-1)
=5/81* ln5 +5/9-40/81 * ln2
=0.312608670861391
所有自然数中首位为1的概率平均值 为 5/81* ln5 +5/9-40/81 * ln2 ， 不等于 lg2 ,但二者基本相等。
作者: dkjiaoyang 时间: 2010-4-21 19:01:54
这个得好好看看，学习了
作者: bugthat 时间: 2011-1-18 08:18:15
我来看答案
作者: bugthat 时间: 2011-1-18 08:19:44 标题: Benford's Law
请各位看这里 http://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law
作者: 1045135716 时间: 2014-11-12 10:16:39
看看先
作者: 基本粒子 时间: 2015-4-30 00:18:15
还要回复才能看，看看。
作者: 至尊达哥 时间: 2015-4-30 15:31:39
作者: 神炎黄 时间: 2015-5-6 14:36:01
这个问题貌似听说过
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