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标题: 比较麻烦的几何题 [打印本页]

作者: jx215 时间: 2009-3-12 20:57:04 标题: 比较麻烦的几何题

大圆O内有四个半径都为r的小圆O1、O2、O3、O4，分别与大圆相切。大圆半径为R。四个小圆分别在大圆上移动，假定圆与圆可以重叠，求，四个小圆圆心连线围成的图形面积最大值。

未命名1.JPG

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作者: 美景 时间: 2009-3-12 21:06:14

迷糊！有点晕！

作者: purple 时间: 2009-3-12 21:12:35

这么多小圆，还是让小圆来解吧。

作者: lulijie 时间: 2009-3-12 21:32:45

其实题目就是求在以O为圆心，以OO1为半径（=R-r），的圆上任选4点，组成的图形的最大面积。
题目也就等价于求一个圆上任选4点，组成的图形的最大面积。（该圆的半径等于R-r）。

作者: tonylmd 时间: 2009-3-12 21:37:53

4#和我同桌分析的一样哈~
思路1：
S=1/2*(R-r)^2*(sin角1+sin角2+sin角3+sin角4)

[ 本帖最后由 tonylmd 于 2009-3-12 21:42 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-3-12 21:46:26

圆上任选4点，当其构成两个相互垂直的圆的直径时，面积最大，所以最大面积等于2*（R-r）^2。

作者: aben306 时间: 2009-3-12 21:47:45

这个题目是初三的几何题哦.应该到学习论坛去发一下呵.

作者: lulijie 时间: 2009-3-12 22:40:47

5楼的思路1：
S=1/2*(R-r)^2*(sin角1+sin角2+sin角3+sin角4)
恰好sin角1、sin角2、sin角3、sin角4，都取最大值1时，S最大，即每个角都等于90度。
----------------------------------------------------------
这个思路对于圆上4个点，可行。
但若是3个点、5个点，或一般情况的n个点，
那么这种思路就是求，n个角的正弦的和的最大值，这n个角的和等于360度。
答案就没有那么显而易见了。
--------------------------------------------------
题目：求圆上n个点，组成的图形的最大面积S。
判断：当且仅当n个点组成正n边形时，面积最大。
我觉得这样思考比较好。

假设圆上的n个点组成的面积已经是最大了，那么对于其中任何一点，比如A，与它相邻的两点是B、B‘，那么，A点必在BB’的垂直平分线上。
      因为如果A点不在BB’的垂直平分线上，那么作BB’的垂直平分线，与圆的交点为A‘，因为面积BA’B‘比BAB’大，
      所以用A‘代替A，组成的新的图形面积必比原先的大，与题意矛盾。
同理，其他各点也必在其相连的两点组成的线段的垂直平分线上。
只有当这n个点组成正n边形时，才满足上述的条件。
所以上述判断成立。

作者: tonylmd 时间: 2009-3-12 22:50:42 标题: 回8#

圆内正N边型 N越大越逼近圆面积越大

作者: jx215 时间: 2009-3-12 22:56:28

经4楼分析确实不难。
圆内接四边形以正方形面积最大。

作者: jx215 时间: 2009-3-12 23:02:51

原帖由 aben306 于 2009-3-12 21:47 发表
这个题目是初三的几何题哦.应该到学习论坛去发一下呵.

假如中考出这么一题，得分率不知会怎样？：）

作者: wgsjack199213 时间: 2009-3-13 11:51:38

平面四边形的面积等于对角线的乘积乘以其夹角的正弦
夹角正弦最大是sin90
每条对角线最大为2R-2r
所以很好解决
我高二喜欢面积法

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-14 19:08:09

都是高中知识吧，太遥远了，呵呵

作者: Cielo 时间: 2009-3-14 20:24:57

原帖由 lulijie 于 2009-3-12 22:40 发表
n个角的正弦的和的最大值，这n个角的和等于360度。...

答案是每个角都是 360°/n，这个可以由正弦函数是上凸函数来证。

当然，后面那个证法更好啦

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-3-21 15:18:57

估计是初一的题目。首先切点，两个圆心共线，所以题目变成圆上四个点，求四边形最大面积。然后，连接对角线，作两个三角形对角线边上的高。底边固定，当两高最大值面积可以最大。所以另外一条对角线是圆直径。原对角线垂直于该直径。同理可证，原对角线也为直径。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-3-21 15:19:39

估计是初一的题目。首先切点，两个圆心共线，所以题目变成圆上四个点，求四边形最大面积。然后，连接对角线，作两个三角形对角线边上的高。底边固定，当两高最大值面积可以最大。所以另外一条对角线是圆直径。原对角线垂直于该直径。同理可证，原对角线也为直径。

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