[此贴子已经被作者于2006-6-8 7:31:06编辑过]
数学技巧主要是考虑 个位数字平方和 为 5 。
我是顺手编了个程序“算”出全部答案的，呵呵，真快呀！
两种方法：
一种方法是“凑”。
85^2=7225，它的一半是3612.5，所以只要检验短直角边为1～60的情况。（60种可能）
进一步，只要检验长直角边为61～84的情况。（22种可能；如果手边没有平方表，而且又背不出的话，计算量稍微大些。）
“主要是考虑个位数字平方和为5”，好像没什么用。
同样推荐用EXCEL表格，我想大家一拉，结果就出来了。
再给一个比较正规的方法：
大家知道“本原勾股数”的概念吗？
“勾股数”指能构成直角三角形的三正整数组；“本原勾股数”要求其两两互质。
“本原勾股数”有公式（一定能表达成以下形式）：
a=(m^2)-(n^2)
b=2mn
c=(m^2)+(n^2)
其中，m>n，m和n互质。
85=5×17
（1）以5为“本原勾股数”的斜边。
5表达成2个（互质）正整数的平方和，只有一种可能：5=(2^2)+(1^2)。
得到的“本原勾股数”为（3，4，5）。
对应于本题的解为（51，68，85）。
（2）以17为“本原勾股数”的斜边。
17表达成2个（互质）正整数的平方和，只有一种可能：5=(4^2)+(1^2)。
得到的“本原勾股数”为（15，8，17）。
对应于本题的解为（75，40，85）。
（3）以85为“本原勾股数”的斜边。
85表达成2个（互质）正整数的平方和，有2种可能：85=(9^2)+(2^2)=(6^2)+(7^2)。
得到的“本原勾股数”分别为（77，36，85）和（13，84，85），就是本题的解。
再说一个公式：
[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac+bd)^2]+[(ad-bc)^2]
就是说：两个整数平方和的积也能表示成两个整数的平方和！
当然，也有：
[(a^2)+(b^2)][(c^2)+(d^2)]=[(ac-bd)^2]+[(ad+bc)^2]
所以，大部分情况下，两个整数平方和的积能以2种形式表示成两个整数的平方和。
这样，就能通过5和17表示成整数平方和的形式，马上计算出85的2种整数平方和的表达方式！
甚至于，本题直接这样做就可以，认为85^2=5×5×17×17，是4个整数平方和的乘积！
（只不过，直接做，不容易对所有解好好把握，或者漏算，或者重复算。）
三十多年前我和老师都是用的8楼的方法。
设：a=N［(m^2)-(n^2)］
b=N(2mn)
c=N［(m^2)+(n^2)］=85
当N分别为1、5、17时，解不定方程，得到全部解。
[此贴子已经被作者于2006-6-8 7:31:43编辑过]
三十多年前我和老师都是用的8楼的方法。
设：a=N［(m^2)-(n^2)］
b=N(2mn)
c=N［(m^2)+(n^2)］=85
当N分别为1、5、17时，解不定方程，得到全部解。
“解不定方程”，其实就在“凑”满足c的m、n的数字。
说的简单，实际中间还是有许多技巧的！（我在9楼写的）
呵呵深表同意，哎像这种天才太牛了……
顺便指出楼上一点小错误：应该是高斯吧！
[此贴子已经被作者于2007-6-25 13:07:06编辑过]
这个题的数学算法如下:
85=5*17
17=4^2+1^2(4K+1的质数必能分为两个数的平方和)
5=2^2+1^2
(4+I)(2+I)=7+I
(4+I)(2-I)=9-2I
所以边长是:
7^2-1=48
9^2-2^2=77
(4^2-1^2)*5=80
(2^2-1^2)*17=51
楼上算出的值有误[此贴子已经被作者于2007-7-9 15:24:32编辑过]
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