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标题: 【求算最小值】百人答题之后的数据猜想……[已有参考答案] [打印本页]

作者: migl 时间: 2009-6-18 12:37:37 标题: 【求算最小值】百人答题之后的数据猜想……[已有参考答案]

(1) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对一道题或一道题以上。
(2) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对二道题或二道题以上。
(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对五道题。

(6) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有90人，81人，95人，58人，86人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对三道题或三道题以上。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对三道题或三道题以上。

这种类型的题目的解题思路是怎样的呢？
数字的变化会影响结果吗？
大家来说说看。

====================

老感觉这标题有点像问卷调查，改成：求算最小值，显得专业一点。

要注意一点：以上七道题各自独立求解，互不关联。
当然，如果前五题只有相同的唯一解，就另当别论。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-19 09:34 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-6-18 12:39:17

由于本人手头上没有所谓的标准答案，所以能解此题者最好能给出解题思路。
如果只是猜想，倒是可以不用给出思路，但最好能标明“我猜想是……”这类的以示区别。
谢谢配合。

=====================

目前，这7道题已经证实了的参考答案为：（只证实有解，未证实其为“最小值”。）
95、91、80、76、68、86、82。

目前的最少值为：（分析过程在32#楼 By：noski ）
95、86、71、55、10、76、70。

=====================

06154 在7# 楼提供了参考答案。
本人在10#楼分析了此参考答案的思路。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-7-14 09:43 编辑 ]

作者: Icet0wn 时间: 2009-6-18 12:42:22

又见博弈论的东西

作者: bhw19930503 时间: 2009-6-18 12:58:06

是不是排列組合？？

作者: migl 时间: 2009-6-18 13:02:34

不会这么高深吧。我觉得只是一般的计算而已。

作者: Osullivan 时间: 2009-6-18 13:31:23

就是最简单的排列组合嘛，很简单~~~~~~~~

作者: 06154 时间: 2009-6-18 13:34:13

(1) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（95）人答对一道题或一道题以上。
(2) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（91）人答对二道题或二道题以上。
(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（80）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（76）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（68）人答对五道题。

(6) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有90人，81人，95人，58人，86人答对，那么，在这100个人中，至少有（86）人答对三道题或三道题以上。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（82）人答对三道题或三道题以上。

作者: 06154 时间: 2009-6-18 13:35:35

对没学过排列的我来说也完全没有难度。。。≡ω≡

作者: conwood 时间: 2009-6-18 14:57:41

请问这道题和博弈论的关联是什么

原帖由 Icet0wn 于 2009-6-18 12:42 发表
又见博弈论的东西

作者: migl 时间: 2009-6-18 15:55:46 标题: 回复 7# 的帖子

解题时最好能给出思路。
看了半天，推测你的思路为：

第四题有68人答对，（这 68人全对。）
在此基础上，又有8人答对第五题，则第五题有76人答对，（这8人答对一、二、三、五）
在此基础上，又有4人答对第一题，则第一题有80人答对，（这4人答对一、二、三）
在此基础上，又有11人答对第二题，则第二题有91人答对，（这11人答对二、三）
在此基础上，又有4人答对第三题，则第三题有95人答对。（这4人答对三）
所以，整个就是全对的为68人，5人一题未对。

哇噻，这么简单。

大家看看这条思路是否有欠妥之处。
如果这几道题互不关联，则仍然是这样来解吗？
会不会有更小的最小值？

作者: 06154 时间: 2009-6-18 16:03:13

原帖由 migl 于 2009-6-18 03:55 PM 发表
解题时最好能给出思路。
看了半天，推测你的思路为：

第四题有68人答对，（这 68人全对。）
在此基础上，又有8人答对第五题，则第五题有76人答对，（这8人答对一、二、三、五）
在此基础上，又有4人答对第 ...

哈哈哈，嗯，大概是这样。。。。我是懒得打出思路了。。。thanks。。。

作者: migl 时间: 2009-6-18 16:10:27

我感觉这个答案不赖。
至少证明了此题有解。

作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-18 19:02:59

学习了,有解法很好可以交流

作者: 骰迷 时间: 2009-6-18 19:14:18

原帖由 06154 于 2009-6-18 13:34 发表
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（68）人答对五道题。

錯，應為４４人

作者: yq_118 时间: 2009-6-18 19:22:03

这个问题其实很简单，

用反证法就可以了。

作者: 06154 时间: 2009-6-18 20:29:58

原帖由骰迷于 2009-6-18 07:14 PM 发表

[quote]原帖由 06154 于 2009-6-18 01:34 PM 发表
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（68）人答对五道题。

錯，應為４４人 [/quote]

骰迷说得很对，我是错了。第5题我居然按前4题照样处理，没作考虑。但是，您也错了。不是44人，是20人。现在我更正：

(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（20）人答对五道题。

作者: 06154 时间: 2009-6-18 21:06:39

发现第5题不能简单地按第1题那样思考，检查了一下，发现错的是3、4、5
更正：

(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（80）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（62）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（20）人答对五道题。

作者: 06154 时间: 2009-6-18 21:08:16

原帖由 06154 于 2009-6-18 09:06 PM 发表
发现第5题不能简单地按第1题那样思考，检查了一下，发现错的是3、4、5
更正：

(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（80）人答对三道题 ...

如果大家觉得这个答案还有质疑，我再画个大概思路图上来吧。。

作者: 骰迷 时间: 2009-6-19 07:45:39

我剛剛也知道錯了，可是我覺得應為十人
假設沒有人錯兩題，那麼對四題的共有９０人

作者: 未来生活 时间: 2009-6-19 08:02:06

懒得去想,飘过``````

作者: migl 时间: 2009-6-19 09:26:27

我看两位还是抽空把思路大概地说说吧。
说不定大家看过之后还能找到漏洞来。

作者: migl 时间: 2009-6-19 10:33:38

(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（ 70 ）人答对三道题或三道题以上。

我对第7题提点个人见解：（感觉这个特例好理解一点。）
100个人做五道题，则一共有500个选择，现在选对的有：82*5=410 个，则选错的有 500-410=90 个。
如果这90个错误选择被30个人均分，那就是每人错3题，对2题。
此时，有70人全对，剩余的30人均是错3对2。
符合题意的解为 70 。

通俗地来理解，就是有五个箱子，每个箱子里有100个铭牌，且数量上都是82个写着“对”，18个写着“错”。
现在有100个人依次从五个箱子里“抓阄”。
结果有70个人都是抓到了五个“对”，30个人都是抓到了3个"错"2个"对"。

作者: 骰迷 时间: 2009-6-19 17:09:16

樓上，這樣是不對的。不能這麼算。

(1) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（９５）人答对一道题或一道题以上。
(2) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（８６）人答对二道题或二道题以上。
(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（７５）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（５５）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（１０）人答对五道题。

(6) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有90人，81人，95人，58人，86人答对，那么，在这100个人中，至少有（７６）人答对三道题或三道题以上。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（８２）人答对三道题或三道题以上。
這是我得出的最後結果。樓主第七題的答案犯的錯誤是，８２，８２並不等於１００，６４。
唉，我真是太遜了。其實此題不難。

作者: migl 时间: 2009-6-19 17:13:34

８２，８２并不等于１００，６４

这个怎么来理解呢？

我并没有说剩下的30个人对的是同一题，错的也是同一题。
难道是说抓阄后，不能保证30个人类似随机般地刚好抓到3个“错”2个“对”？

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-19 17:33 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-6-19 17:26:10

我刚用抓阄的思路想出了一些东西。不如也一起鉴定一下吧。

第5题的解为：10。
一共有90个“错”。匀一匀，就是10人无“错”，90人各有一个“错”。

有五个箱子，每个箱子里有100个铭牌，1~5的箱子里写着“对”的铭牌分别有80个，91个，95个，68个，76个，其余的都写着“错”。
100个人依次“抓阄”。
结果有10人都是抓到了5个“对”，90人都是1个“错”4个“对”。

第4题的解为：55。
一共有90个“错”。匀一匀，就是55人无“错”，45人各有二个“错”。

有五个箱子，每个箱子里有100个铭牌，1~5的箱子里写着“对”的铭牌分别有80个，91个，95个，68个，76个，其余的都写着“错”。
100个人依次“抓阄”。
结果有55人都是抓到了5个“对”，45人都是2个“错”3个“对”。

第3题不能用此法。因为第4题只有68人做对。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-19 17:35 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-6-19 17:53:31

現在沒什麼時間看，感覺理解上面兩樓比較困難，先說我分析的方法
我是用五條橫線（五題），每條長度一百（人），然後逐一切開線
例如兩題，９５，９１
------------------/--------
95                   5
-------/-------------------
9                      91
這些  這些  這些
人對  人對  人對
一題  兩題  一題
然後再將對一題的合拼,不知道你能否理解呢

作者: 06154 时间: 2009-6-20 02:59:05

无意翻出那天的草稿，发现那么犯傻了，居然先用小的数的填，应该先填大的，再用小的才能得到最好的结果。还是重新把各题作个图吧。我的方法如下：

其实，题目可以这样转换：

2009年6月20日02时59分56秒.jpg

（唉，老矣。。。。。。这样的题目三年前能轻易搞掂。。。如今竟修改了2次。。。逝者如斯夫。。。）

[ 本帖最后由 06154 于 2009-6-20 03:10 编辑 ]

附件: 2009年6月20日02时59分56秒.jpg (2009-6-20 03:09:54, 325.06 KB) / 下载次数 8
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTYxNDZ8OTZhNjliZTh8MTcxNTY3NDI4MXwwfDA%3D

作者: 06154 时间: 2009-6-20 03:12:13

即

(1) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（95）人答对一道题或一道题以上。
(2) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（86）人答对二道题或二道题以上。
(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（71）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（56）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（10）人答对五道题。

(6) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有90人，81人，95人，58人，86人答对，那么，在这100个人中，至少有（76）人答对三道题或三道题以上。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（82）人答对三道题或三道题以上。

作者: migl 时间: 2009-6-22 13:30:55 标题: 思考了一段时间，大致说说我的思路。

只以第7题为例。（还是讨论一下 70 的可行性）
如果要使答对三道及以上的人数最少，那就要使答错的人数尽可能地多。但是错的形式也很有讲究。

与 06154 同样的道理，须使错3题及以上的人最多。而总共只有90个“错”的机会，90/3才能使符合题意的“错”的人最多，为30人。
由于所有的“错”的机会已经被那30人分光了，所以剩下的70人只能是五题全对。

既然刚才计算时是“/3”，即每人都是错3题，那么，就会有每个人都是3“错”2“对”。这种情形是否存在将是此思路成败的关键。（经骰迷提醒后，本人才注意到此问题。）

经过思考，初步得到这样的示意图。（ * 表示“对”，- 表示“错”。）
001 **---
002 **---
003 **---
004 **---
005 **---
006 **---
007 **---
008 **---
009 **---
010 **---
011 **---
012 **---
013 --**-
014 --**-
015 --**-
016 --**-
017 --**-
018 --**-
019 --***
020 --***
021 --***
022 --***
023 --***
024 --***
025 ----*
026 ----*
027 ----*
028 ----*
029 ----*
030 ----*

由于70人全对，在此略去。剩余的30人进行“模拟抓阄”时，可以形成示意图所示的结果。（每道题都还剩下12个“对”。）
由此看来，确实无法实现每人都能3“错”2“对”。
但是此时只多出了6个符合题意的人，即符合题意的解为70+6=76。

但是，上面提到的这个不是最好的结果。

001 *-*--
002 *-*--
003 *-*--
004 *-*--
005 *-*--
006 *-*--
007 *--*-
008 *--*-
009 *--*-
010 *--*-
011 *--*-
012 *--*-
013 -*-*-
014 -*-*-
015 -*-*-
016 -*-*-
017 -*-*-
018 -*-*-
019 -*--*
020 -*--*
021 -*--*
022 -*--*
023 -*--*
024 -*--*
025 --*-*
026 --*-*
027 --*-*
028 --*-*
029 --*-*
030 --*-*

确实可以每人都能3“错”2“对”，即符合题意的解为70。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（ 70 ）人答对三道题或三道题以上。

===========================================

其它题目用此法比较繁琐，而且很乱，希望能找到更简单合理的方法。

作者: 骰迷 时间: 2009-6-22 16:26:29

我的考慮有點不夠全面了。我只著重令最多人對最少的題，而非把對的題數集中，務求得到最優解。

作者: noski 时间: 2009-6-22 17:21:40

对以上答案略有异议，我算出的是下面的答案：

(1) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（95）人答对一道题或一道题以上。
(2) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（86）人答对二道题或二道题以上。
(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（71）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（55）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（10）人答对五道题。

(6) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有90人，81人，95人，58人，86人答对，那么，在这100个人中，至少有（76）人答对三道题或三道题以上。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（70）人答对三道题或三道题以上。

用的计算方法下楼详述。

作者: noski 时间: 2009-6-22 17:37:00

以第3、4、7题的计算为例：
(3) 对的题数为80、91、95、68、76，错的题数为20+9+5+32+24＝90，也即一共有90个错的机会（前面migl在25楼的说法）。
而由于需要找答对三道题或以上的人，那么就需要找出答错三道题的人予以排除（前面06154在27楼的想法）。
那么：
20 + 9 + 5 + 32 + 24 = 90；
90 / 3 = 30；
发现以上5个加数中，32比30大，划去32，得20 + 9 + 5 + 24 = 58，下面在58个错题中分配错2道题的人；
58 / 2 = 29；
发现29比余下的4个数中的任何一个都大，则最终结果可分配29个人错3道题。故答案为100 - 29 = 71。
(4)需要找出答错二道题的人予以排除，那么：
20 + 9 + 5 + 32 + 24 = 90；
90 / 2 = 45；
发现45比5个加数都大，则最终结果可分配45个人错2道题。故答案为100 - 45 = 55。
(7)需要找出答错三道题的人予以排除，那么：
18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 90；
90 / 3 = 30；
发现30比5个加数都大，则最终结果可分配30个人错3道题。故答案为100 - 30 = 70。

[ 本帖最后由 noski 于 2009-6-22 17:48 编辑 ]

作者: 06154 时间: 2009-6-23 03:07:17

这种方法不错，受教了。

作者: migl 时间: 2009-6-23 11:03:31 标题: 回复 noski 的帖子

95、86、71、55、10、76、70。

经过计算，本人赞同上述答案。

唉~~
我把题目的思路转变为“错”并进行了计算，但是计算后没能继续“错”下去，而是又转变为“对”的来进行计算，导致简单问题复杂化。

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