在mf8群里提出过一个问题：球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。
前几天都没机会上网，不知道大家有没有得到答案^_^
呵呵猜错了。
我猜：2个点 100%
3个点 80%
4个点 50%
差不多吧？？
球面上最远的两个点就是任一根球的直径的两端，通过这两点的大圆有无数个。第三个点上去总是在这无数个大圆的某一个大圆的这半边或那半边或就在这大圆上。头二点距离不是最大时，通过这头二点也有一个大圆，第三个点也是不在这半球就在那半球，或就在这大圆上。总之三个点处于同一半球面的概率为1。
问题是上述大圆是否应该固定？如果固定，那么第四点上去时，它和前三点处于同一半球面的概率应该是0.5。
我还未想明白。
有个问题,
比如拿地球来说,
同在赤道上的两个点能说它们是属于南半球或者北半球吗?
这题有点难度呀
球面上最远的两个点就是任一根球的直径的两端，通过这两点的大圆有无数个。第三个点上去总是在这无数个大圆的某一个大圆的这半边或那半边或就在这大圆上。头二点距离不是最大时，通过这头二点也有一个大圆，第三个点也是不在这半球就在那半球，或就在这大圆上。总之三个点处于同一半球面的概率为1。
问题是上述大圆是否应该固定？如果固定，那么第四点上去时，它和前三点处于同一半球面的概率应该是0.5。
我还未想明白。
就是说,在第4点落下之后,那个大圆可以有很多种情况,怎样定下这情况,其中也是一个概率问题.
汗...没注意到乌木兄已经回答了.
就是这个意思,说得比我直白多了....
[em04]
这个问题已经困扰了我一个多月...
求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。
因为是均匀分布，所以取到每个点的概率密度与取到其对径点的概率密度是一样的。每个点都有一个对径点，这样便有n对点。在每对点中各取一点，共有2^n中取法，每种取法的概率密度是相同的。现在只要计算这2^n 种取法中，有多少种取法[记为F(n)]是落在同一半球上的，则所求概率为F(n)/2^n 。
上面有个假设，即认为F(n)的值只与n有关，而跟n个点的具体位置无关。这个是可以证明的（忽略两点重合，三点共大圆的零概率情况）。而且，还可以证明，F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于
n^2 - n + 2。于是所求概率等于 (n^2-n+2) /2^n 。
网上搜来的，按照此公式得出的概率是14/16
注意，不要被题目迷惑，它得出公式是算任意四点在半球面的概率的。
另外，要注意的一点是，如果三点在同一大圆上的情况已被排除。
谢谢牛眼看魔方兄的资料.
虽然现在还是有不明白,我再思考一下.
问题一:"共有2^n种取法"的"n"和"求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。"的"n"是同一个n吗?
这个问题比想像中的复杂很多，
我想了一下低一维的情况，就是说任意三点在同半圆的情况，你就会发现，第三点是否与前两点在同一半圆取决于两个方面，一个是过前两点的弧形大小，另外是第三点落在该弧形对称的另一个边那个弧形的概率。
那么同理，三维的问题也一样，第四点是否与前三点在同一个半球形取决于两个方面，一个是过前三点的球面面积大小，和第三点落在该球面面积的对径点的概率。
我觉得这对于我已经太高深了，没有一定的数学知识应该解决不了，就好象尺规是不能化圆为方一样。
2,如果是同一个n的话那不止2^n种取法吧?
3,均匀随机是个什么的概念?
另外,正如眼兄所说.
"过前两点的弧形大小"其实就可以看成在第一页里面您的提问"大圆"的含义.
这题目太难了。
大家先想一下二阶魔方任一颜色在同一半的概率吧
不好意思,我这里教育网上mf8上不了所以来晚了……今天好不容易找了个代理才上
回答乌木先生5楼的问题：半球是任意取的，就是说给了四点后只要存在一个半球面覆盖这四点即可。
再就是关于某几点在同一个大圆周上或两点在直径两端的这些情况，概率是0，可以不考虑的。
14楼转载的这个解法是对的，概率是1-1/8=7/8。
看来网上真是什么题目都有啊呵呵！
[此贴子已经被作者于2007-6-4 16:26:21编辑过]
1楼题目：“球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。”
14楼题目：“求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。”
好像不同吧？
4个点均布于一个球面，应是正四面体的四个顶点吧？然后这个内接正四面体在球内保持正四面体形状的同时，整体随机运动，随机叫停时，某个指定的半球获得这四个点的概率是多少？好像不可能吧？除非四个点中途变形，那么，又有什么“均匀”呢？或者，题目中的“均匀”作何解？
终于召唤到楼主了,不过依然不明白。
另外,今天我又想了一下,引申了些不知道有没有价值的东西.
这个问题跟以下两个问题有什么联系呢?
1,在一个圆上,任取三点,三点在一个半圆的概率是?(就是牛兄的题目.)
2,在一条线段上,任取两个点,这两个点之间的距离小于等于线段长的一半的概率是?
1楼题目：“球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。”
14楼题目：“求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。”
好像不同吧？
4个点均布于一个球面，应是正四面体的四个顶点吧？然后这个内接正四面体在球内保持正四面体形状的同时，整体随机运动，随机叫停时，某个指定的半球获得这四个点的概率是多少？好像不可能吧？除非四个点中途变形，那么，又有什么“均匀”呢？或者，题目中的“均匀”作何解？
个人认为“均匀”这两个字可以去掉，因为均匀的意思是每个点位于球面上任何位置的概率是均等的，即均匀分布！
再更正一下我上面那个帖子中的错误，我的问题的推广不是14楼的问题，而是“n维球上随机n+1个点，它们位于同一个半球面上的概率是多少”，n=2时即23楼的那个问题，是可以作类比的！
[此贴子已经被作者于2007-6-4 20:08:59编辑过]
那么，也就是说，四个点子各自独立，每个点子的落点都是独立事件。选定某个半球，一个点子落在其中的概率为0.5，（落在分隔两个半球的大圆上的话，是否人为规定一下，半周算这半球；另半周算那半球。不知可以吗？）四个独立点子都在指定半球的概率是0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625（对吗？概率问题我弄不大懂）。但是另半球也有0.0625的概率，而且也符合题目要求，故0.0625+0.0625＝0.125。
为何您的答案不是1/8（＝0.125），而是7/8呢？
个人认为“均匀”这两个字可以去掉，因为均匀的意思是每个点位于球面上任何位置的概率是均等的，即均匀分布！
再更正一下我上面那个帖子中的错误，我的问题的推广不是14楼的问题，而是“n维球上随机n+1个点，它们位于同一个半球面上的概率是多少”，n=2时即23楼的那个问题，是可以作类比的！
可以作类比,那就太好了.[em01]
可是1-1/8这条式子依然不懂.
Cielo兄有空不妨详细解释一下.还有，什么叫n维球？n>3时，是高维空间中的、抽象的“球”吧？
n＝3时，即我们的三维空间，n+1＝4，4个点子在三维球面上如何如何。
四维及再高维，就属于数学推广了。对吧？
哦那就是你14楼未注明了，所以你看到的就是一开始1楼的那个题目的推广了。（这是我们老师课上留的思考题，说是让我们先考虑3维球上四个点的情况）
还是让大家多讨论一下吧，直接给个答案也没什么用了。
[em07]可以先想一想cube-artist的那个圆周上三点的问题， 在结合 “牛眼”提供的答案（其实那就是正确答案了），可能就会想清楚了！
PS:球上四点这个题我也没做出来，但有同学做出来了的，个人觉得能做出来的都非常牛！
那么，也就是说，四个点子各自独立，每个点子的落点都是独立事件。选定某个半球，一个点子落在其中的概率为0.5，（落在分隔两个半球的大圆上的话，是否人为规定一下，半周算这半球；另半周算那半球。不知可以吗？）四个独立点子都在指定半球的概率是0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625（对吗？概率问题我弄不大懂）。但是另半球也有0.0625的概率，而且也符合题目要求，故0.0625+0.0625＝0.125。
为何您的答案不是1/8（＝0.125），而是7/8呢？
呵呵，乌木先生对题目的理解还是不清楚。因为半球不是指定的，是已经给了四点后，在无穷多个可能的半球中只要有一个覆盖了这四点就行！
可以先考虑这个问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？
可以先考虑这个问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？
"
请问一下,这个和
"圆上任给3点,在同一半圆的概率"一样吗?
噢，那么，我原来想的半球不固定还是对的。尽管牛兄的答案我还不懂（慢慢再说好了），我这里倒想插问一下：
牛兄说“F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于n^2 - n + 2。”
当n＝4时（n^2 - n + 2＝14），例子之一就是迪斯尼球，它就是8+6＝14片。对吧？
那么，按照本帖理论可以推论，迪斯尼球任意打乱后，那米老鼠的四块身子段无论怎么乱，在同一半球内的概率颇大，为7/8。
对吗？
[此贴子已经被作者于2007-6-8 10:52:32编辑过]
附件: [概率问题：球面四点] jdU9Khsf.jpg (2007-6-8 10:42:57, 15.46 KB) / 下载次数 16想做个实验，看看这破碎米老鼠落在同一半球的概率趋向。做不下去了－－题目是四个点，米老鼠是四大片；题目中半球可以随意动（即无穷多个），一旦有一个半球“覆盖”住四点就行。而魔球四条大圆固定死了。所以魔球情况还是不同于题目条件，我33楼想法好像有误－－四大块破碎米老鼠好像不能代表题目的四个点子的。对吗？
看来，魔球最多只能作为“4个那种大圆分割出14片球面”的一个模型。是不是？
14楼说：“……F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于n^2 - n + 2。于是所求概率等于 (n^2-n+2) /2^n 。”
30楼说：“半球不是指定的，是已经给了四点后，在无穷多个可能的半球中只要有一个覆盖了这四点就行！”
两者不能混淆，前者n有限，比如n＝4个大圆仅仅分割出8个半球；后者的半球数为“无穷多个”。区别在于，前者n个大圆仅用于求F（n）值，球面被分割出来的若干半球不是用来“覆盖”四个点的；后者无穷多个半球相当于一个运动着的半球正在“打捞”四个点，在试着能否“一网打尽”四个点。
所以，不能用迪斯尼魔球来做“覆盖”实验的。对吗？
正是接楼上乌木的有限无限问题,
所以我才在15楼问了那个n是不是等于那个n.
可以先考虑这个问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？
"
请问一下,这个和
"圆上任给3点,在同一半圆的概率"一样吗?
说实话我还没考虑过这个问题。
感觉不太一样，但也仅仅是感觉^_^
哎呀对不起大家了，之前一个帖子里我说错话了……我仔细看了一下，发现14楼的问题和我所认为的推广问题不一样。
我认为的是N维球面上N+1个点在同一半球面上的概率（这个太抽象我也想象不出）。而14楼的问题只是点数变多了而已，而且里面的解法太不清楚，用了很多诸如“可以证明”的话，所以大家不看那个证明也可以。或者把这个“可以证明”的结论证明出来^_^
而30楼的问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？这个问题稍简单一点，而且有助于对原问题的解决！
继续思考......实在真的确实的确很复杂.......
嗯接着说圆周上三点的问题
在圆周上有两个固定的点了，那第三个点在圆周上的什么位置就可以保证与前两个点在同一个半圆周上？而又在什么位置就可以保证与前两个点不在同一个半圆周上？
球面的太复杂,考虑不明白,先考虑一下二维的吧，即任意在圆周上给三点，这三点在同一半圆上的概率是多大。
我算了一下，3/4？
假设圆上随机有两点A、B（夹角0°≤α≤180°），那么分别作过这两点圆的直径，如图：
可知如果点C在红色区域与绿色区域所在圆周上均满足三点在同一半圆上。即C在圆周上的满足三点拱半圆的可能存在的角度范围为360°-α，也就是C在圆周上满足三点共半圆的几率为y=(360-α)/360=1-α/360，其中（0°≤α≤180°），不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4
[此贴子已经被作者于2007-6-25 21:03:10编辑过]
附件: sXnEdRKE.gif (2007-6-25 20:49:04, 3.39 KB) / 下载次数 27应楼上Arcan兄的帖子,前半部分我想到过,
可是到后半部分
"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"
就没有想到这个地步了,的确是高招.
"均匀变化"的根据,是不是因为任意两个点所形成的圆心角的大小是的概率是均匀的.?
第一点随机出现后，由于第二点分布在圆周上的位置概率是均等的，所以与第一点的夹角按顺时针为正来看是从－180度到180度概率一样的，求绝对值即从0到180度也是均匀的。
其实本不该用"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"这样的话的，不过微积分的知识基本上都还给老师了，应该可以用积分来求。比用上面那句话更好一点，但结果应该是一样的。
我觉得对于球面其实也可以这么解：
设球面三点A，B，C，三角形ABC三边夹角为a,b,c，a+b+c=180度，即π
根据立体几何知识可以求出球面上弧AB、弧AC在A点切线的夹角x，弧AB和弧BC切线在B点的夹角y，弧BC和弧AC在C点切线的夹角z。
根据球面上多边形面积公式S = [ (2-n) π + Σb i ] * R^2可以求出球面ABC的面积（n为多边形边数，这里取3，Bi为每个球面上角的弧度值，即刚才的x,y,z），那么能够保证四点同半球面的面积就＝球面面积-球面ABC面积（与二维的相似），那么球面四点同半球的几率就可以最终写成关于a,b,c的一个函数，然后对这个函数积分，应该可以得到结果吧。不过我在做到求弧的夹角的时候就不会了，高中的立体几何也已经还给老师了，所以就没做。
[此贴子已经被作者于2007-6-26 0:41:07编辑过]
第一点随机出现后，由于第二点分布在圆周上的位置概率是均等的，所以与第一点的夹角按顺时针为正来看是从－180度到180度概率一样的，求绝对值即从0到180度也是均匀的。
其实本不该用"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"这样的话的，不过微积分的知识基本上都还给老师了，应该可以用积分来求。比用上面那句话更好一点，但结果应该是一样的。
我觉得对于球面其实也可以这么解：
设球面三点A，B，C，三角形ABC三边夹角为a,b,c，a+b+c=180度，即π
根据立体几何知识可以求出球面上弧AB、弧AC在A点切线的夹角x，弧AB和弧BC切线在B点的夹角y，弧BC和弧AC在C点切线的夹角z。
根据球面上多边形面积公式S = [ (2-n) π + Σb i ] * R^2可以求出球面ABC的面积（n为多边形边数，这里取3，Bi为每个球面上角的弧度值，即刚才的x,y,z），那么能够保证四点同半球面的面积就＝球面面积-球面ABC面积（与二维的相似），那么球面四点同半球的几率就可以最终写成关于a,b,c的一个函数，然后对这个函数积分，应该可以得到结果吧。不过我在做到求弧的夹角的时候就不会了，高中的立体几何也已经还给老师了，所以就没做。
厉害！想法就是这样的！这本来是我们老师上课出的思考题，我也是球面的不会算，最后是听的一个同学讲的解法。
实际上，圆周上的问题可以转化为：圆周上任给两点，它们之间的劣弧（就是较短的那条）长的平均值是多少；
类似的，球面上的问题可以转化为：球面上任给三点，它们形成的球面三角形面积的平均值是多少。
第一个问题我当时是用积分做的，第二个问题由于我不知道球面多边形面积公式所以完全无法下手……那个同学的方法可能不算太严格，但可以通用于这两个问题，也算比较巧妙吧！所以大家再想想^_^
呵呵不好意思好久没上了!
先说说圆周三点的问题吧：正如41楼图中所示，A、B确定后，三点不共半圆的概率等于劣弧AB的长占圆周长的比例。所以原题就转化为：求圆周上任给两点，它们所夹劣弧长度的平均值。
仍然用41楼的图，对任给的两点A、B，设它们的对径点分别是C、D，我们从两组对径点的每组中取一个点，有以下几种情况：（A、B）（A、D）（C、B）（C、D），这四段劣弧长之和恰为整个圆周长，从而我们说平均长度为1/4圆周长。
类似地，球面四点问题可以转化为：球面上任给三个点，它们形成的球面三角形的面积的平均值是多少？此时对任三个点，也取它们的对径点，从每组对径点中选一个，共有2^3=8种情况，可以发现这8块球面三角形正好拼成整个球面，所以说平均面积为1/8球表面积。所以原问题答案是1-1/8=7/8（以上说法只是从直观上说的，感觉不太严格，希望大家继续讨论）
接楼上:
就是"它们所夹劣弧长度的平均值。"
我和我的老师在讨论,就是能否这样取.
如果确定能,就没问题咯!呵呵.[em01][em01]
不过球面,看到乌木兄的公式有点晕.
[em06]
我怎么感觉是大于50%呢?
四个点,任取两点确定一个圆周,根据第三个点的位置确定半球,显示处在第三个点的半球上的概率是50%．但是，显然不在这个半球上也可能在一个半球上，那就是作出这三个点在球面三角形上的垂心(应该能作的)，以这一点为中心作半球，第四个点落在这个半球上的话也是在一个半球中的．
想像一下，前三个点靠得很近的话，基本上是在1/2以上，3/4以下吧！
呵呵之前说答案是7/8，是大于50%了的。
是啊，所以主要是看第四个点在什么位置才能确定这四个点是否在同一个半球面上啊！
原帖由 dkanaiwen 于 2009-5-26 16:39 发表
我的答案是50%
首先：两个点的概率是100%
其次：三个点的概率是50%
再次：分两种情况，
情况a：前三个点在同一半球，那么第四个点出现在同一半球的概率是50%
情况b：前三个点补在同一半 ...
原帖由 yq_118 于 2009-5-26 17:18 发表
情况a：前三个点在同一半球，那么第四个点出现在同一半球的概率是50%
前三点所在的半球可能不唯一，所以不确定，但肯定大于或等于50%。
| 欢迎光临 魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/) | Powered by Discuz! X2 |
