魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 秤称球问题 [打印本页]

作者: lulijie 时间: 2009-10-27 00:05:32 标题: 秤称球问题

有9只球，已知其中有3只非标准球，6只标准球。每只标准球的重量是10g，每只非标准球的重量是9g。
两种球的外形一模一样，不能凭外观区分。
现在有一杆秤，由于磨损，只能辨认在36g至41g之间的刻度。
要求利用这杆秤，把上面的非标准球和标准球分开，请问至少需要称多少次才能确保成功？

作者: ursace 时间: 2009-10-27 00:11:54

占楼想，先发答案是三次，如果错了就请楼下说明

作者: ursace 时间: 2009-10-27 00:28:07

是秤不是天平哦，那又得想想了

作者: superacid 时间: 2009-10-27 11:59:31

占楼思考

作者: phileas 时间: 2009-10-27 13:15:06

6次可以确保成功。不知道5次行不行。

[ 本帖最后由 phileas 于 2009-10-27 14:14 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2009-10-27 16:21:47

　　
　　

初步考虑了一下，10 只球，已知有 3 只非标准球， 5 次是不可能把

非标准球和标准球分开的。图中的两个布局就无法靠五角星的五条边区分。

不知道还有其他分析方法没有了。

作者: ggglgq 时间: 2009-10-27 16:23:29

　　
　　


对于 9 只球，已知有 3 只非标准球，下图中 5 次好像也不可能把

非标准球和标准球分开。当然不排除还有其他分析方法，此法仅供参考。
　　

作者: lulijie 时间: 2009-10-27 16:55:01

ggglgq的方法：将每一条边上的4个球当做一次称法。
这种称法，任意两次都必有1个球重复，并且只有1个球重复。
这样就排除了好多其他的称法：比如有两个球重复的称法等等。

作者: ggglgq 时间: 2009-10-27 21:19:25

　　

由于下午事情比较多，被惯性思维搞出个 7 楼的错图（图中竟会出现 3 个

节点），有些对不住大家，在这里向大家表示歉意！

现另补图说明如下：

   9 只球，已知有 3 只非标准球，上图中 5 次好像也不能把非标准球

和标准球分开。（这个与 8 楼的说法有些不同，这才是我下午的意思）

当然不排除还有其他分析方法，此法仅供参考。
　　

楼主 8 楼提醒得很好，我 6 楼、9 楼的图算是为楼主的问题做铺垫！


楼主的问题实际是“根据前面称球结论再做下次筛选的问题”，不算很难。


最后希望大家接着思考楼主这个有趣的问题！有点儿意思！

　　
　　　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-10-28 12:09 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-10-27 21:54:26

本题叙述中有一句话：现在有一杆秤，由于磨损，只能辨认在36g至41g之间的刻度。
该句话的目的只有一个，就是限制每次只能称4个球，根据称重的结果可以知道其中有几个非标准球。
-----------------------------------------------------
所以题目推广的话可以写成如下：
有n个标准球和m个非标准球，
每次你拿k个球，告诉你其中有几个非标准球。
问：为了区分这些标准球和非标准球，至少需要拿几次才能确保成功。
若用f(n,m,k)来表示确保成功的最少次数。
那么本题实际上就是求 f(6,3,4) 的值。
不知 f(n,m,k)能否用含n、m、k的表达式来表示。
显然 f(n,m,1)=n+m-1

作者: 钟七珍 时间: 2009-10-29 01:05:17

我找到了四次称出三个非标准球的方法。自认为肯定能称出来。

作者: 骰迷 时间: 2009-10-29 18:26:31

M和N其實等價，昨夜搞了一些東西出來，好像沒什麼價值。。。
算了M+N<7,K=2所有的值，但紀錄的那張紙竟然不見了哭
不過沒什麼明顯的規律

拿的人知道Ｍ和Ｎ的值嗎？還是只知道Ｍ＋Ｎ？那就複雜了。
還有，把球分成兩堆後，需不需要知道每一堆多重？（１，１，２）的值是０還是不能得出？
樓主不是很喜歡把題目扩展的嘛，为什麼不扩展到三堆球呢，Ｌ＋Ｎ＝２Ｍ的情況複雑得吓死人。

作者: 骰迷 时间: 2009-10-29 18:36:22

等待ＬＳ的答案，４次應該不能再少了吧

作者: tm__xk 时间: 2009-10-29 21:41:04

易证3次不可以..(2^3<9)

作者: 骰迷 时间: 2009-10-29 22:03:15

十分質疑四次。。。
第一次結果為３標１非，以後如何？
每次進行到３標１非的情況，就難以推算下去。

作者: 钟七珍 时间: 2009-10-29 23:11:24

经仔细核查，发现四秤方案行不通。经认真推导，我找出了一套五秤方案：
　　我的五秤方案：每秤四球，根据如下号码称五秤：
　　第一秤：1，2，3，6；
　　第二秤：1，2，5，7；
　　第三秤：1，4，5，8；
　　第四秤：1，4，6，7；
　　第五秤：3，4，5，9。
　
　　根据五次称量的不同结果，就可以判断是哪三个是轻球。

作者: 钟七珍 时间: 2009-10-29 23:22:07

　　楼上有错。　　第四秤应改成：1，4，7，9。
　　五秤方案：
　　第一秤：1，2，3，6；
　　第二秤：1，2，5，7；
　　第三秤：1，4，5，8；
　　第四秤：1，4，7，9；
　　第五秤：3，4，5，9。

作者: Light 时间: 2009-10-30 11:38:42

我感觉四次可以，待补充说明……我觉得所谓9个球，如果知道8个是什么，第9个就自然清楚了，这点希望能大家有帮助……

[ 本帖最后由 Light 于 2009-10-30 17:20 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-10-30 21:10:07

看來沒有人認同版主的＂根据前面称球结论再做下次筛选的问题＂。。。
樓上的應該沒什麼幫助，因為在不知八個球當中有幾個標準球的情況下，篩選是會更難的

作者: 骰迷 时间: 2009-10-30 21:13:13

如何証四次稱球不行？

作者: lulijie 时间: 2009-10-30 21:51:09

三个非标准球在九个球中的分布有C(9,3)=84种情况。
   每一次称球有4种结果（其中有0、1、2、3个非标准球）
   4次称球的结果最多可以有4^4=256种。
   按理说256种情况远远多于84，为什么4次无法完成任务呢？
大家再考虑考虑。
答案暂缓公布。

作者: 骰迷 时间: 2009-10-31 15:50:25

那自然是因為四種結果並非均勻分布的。將球命名為Ａ－Ｉ。
第一次稱球ＡＢＣＤ會將８４種情況分為１０、４０、３０、４四堆。
專注於三標一非標的４０個情況，之後有四種稱球方法：ＡＢＣＥ、ＡＢＥＦ、ＡＥＦＧ和ＥＦＧＨ。
ＡＢＣＥ會將４０種情況分為三種情況：四標（６種）、三標（２２種）、二標（１２種）。２２＞４＊４
ＡＢＥＦ會將４０種情況分為四種情況：四標（６種）、三標（１８種）、二標（１４種）、一標（２種）。１８＞４＊４
ＡＥＦＧ會將４０種情況分為四種情況：四標（３種）、三標（１９種）、二標（１５種）、一標（３種）。１９＞４＊４
ＥＦＧＨ會將４０種情況分為兩種情況：三標（１６種）、二標（２４種）。２４＞４＊４
由此可見，無論第二步稱哪四個球，都有特別情況大於４＊４，無論之後兩步如何稱都無法辨別。

作者: lulijie 时间: 2009-10-31 16:06:58

哈哈，22楼跟我的方法一模一样

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)