附件: [跑步器－－脚的轨迹－－给中学生做个小题] 4C4kwiST.gif (2005-3-30 08:52:01, 2.34 KB) / 下载次数 32原来我认为答案是“一个椭圆”，最近问了Z.Yu.先生，他认为不是椭圆，而是“蛋形”。我请他抽空写些东西出来，我争取贴出来。
先告知各位魔客一下，有兴趣者不妨也做做看。
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跑 步 器
不妨先看看简单一些的情况，即连杆的一端做的是直线往复运动。
题：连杆长度PQ＝k, 连杆上任意取一点G，PG＝b,GQ＝a。P点沿半径为r的圆O做圆周运动，Q点在滑槽中做水平往复运动。求G点的运动轨迹。
*通常认为答案是椭圆，经求解可看出与椭圆有偏差，严格说是“蛋形”曲线。
解：不难看出，G点轨迹的“长轴”AB的中点O’（在X轴上）离圆心O的距离OO’＝b。（∵OA＝b－r，OB＝b＋r，∴OO’＝（b－r＋b＋r）/2＝b。）
现改以O’为坐标原点。
G点的坐标为：
X＝r cosα＋b cosβ- b ………………………………（1）
Y＝a sinβ ……………………………………………（2）
α和β间的约束关系为：
r sinα＝k sinβ …………………………………………（3）
故可得参数方程组：
x＝r cosα- b(1- cosβ) ………………………………（4）
y＝(ar/k) sinα …………………………………………（5）
其中
cosβ＝｛1-[(r/k)sinα] [sup]2[/sup]｝[sup](1/2)[/sup] ……………………（6）
消去参数即得轨迹方程：
x＝r[1-k [sup]2[/sup] y [sup]2[/sup] / (a[sup] 2[/sup] r [sup]2[/sup])] [sup]（1/2）[/sup] - b｛1-[1-y[sup] 2[/sup] / a [sup]2[/sup] ] [sup]（1/2）[/sup] ｝ ……………（7）
这是个四次方程，不可能是椭圆。
讨论：由式（5）得y的极大值y[sub]max[/sub]＝(+/-)ar/k，代入式（7），得y极大值对应于x轴上的位置 x[sub]m[/sub]＝－b［1－（1－r [sup]2[/sup] /k [sup]2[/sup]）[sup]1/2[/sup]］；
因为实际跑步器中k≥r，所以0＜[1－（1－r [sup]2[/sup] /k [sup]2[/sup]）[sup]1/2 [/sup]]≤1,所以，G点轨迹的顶点的x坐标x [sub]m [/sub]＜0，即在O’点的左方。可见，G点轨迹是个偏离椭圆的“蛋形”，其大头向O点，小头向Q点。
如果假想去掉式（4）右边的第二项，可得：
x＝r cosα
y＝(ar/k) sinα
即 x [sup]2[/sup] /r [sup]2[/sup] ＋y [sup]2[/sup] /(ar/k) [sup]2[/sup] ＝1，这是个椭圆方程。它的四个顶点和上述蛋形曲线的四个顶点大小相同。所以由x [sub]m[/sub] 的大小（x [sub]m[/sub] 的绝对值正比于b）可以推想出蛋形曲线偏离椭圆的情况。而b的大小又决定了O’点的位置和蛋形的上下高度。b越大，O’越近Q；但a越小，蛋形高度越小。
对于原题中Q点作圆弧运动的情况，有时间再写，好像比“蛋形”又复杂一些。
Z.Yu. 05.8.31.
附件: 跑步器.rar (2009-5-25 09:54:06, 3.62 KB) / 下载次数 0附件: 跑步器.GIF (2009-5-25 10:25:06, 7.42 KB) / 下载次数 21文不是我写的，我只是贴贴而已。
原来我认为答案是“一个椭圆”，最近问了Z.Yu.先生，他认为不是椭圆，而是“蛋形”。我请他抽空写些东西出来，我争取贴出来。
先告知各位魔客一下，有兴趣者不妨也做做看。
为什么Z.Yu.先生不来魔坛发言呢？很忙吗？我很想见识一下Z.Yu.先生与G老师和您以及各位魔界资深魔客在魔坛{论魔}[em01][em01][em01]
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