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标题: [一个有趣的数论题]升级版 [打印本页]

作者: superacid 时间: 2012-7-14 20:31:55 标题: [一个有趣的数论题]升级版

n是正整数。

把2^n分别写成二进制，五进制，十进制，计算它们的位数和：
n=1时：2+1+1=4
n=2时：3+1+1=5
n=3时：4+2+1=7
n=4时：5+2+2=9
...
位数之和构成集合A={4,5,7,9,...}

把5^n分别写成二进制，五进制，十进制，计算它们的位数和：
n=1时：3+2+1=6
n=2时：5+3+2=10
n=3时：7+4+3=14
n=4时：10+5+3=18
...
位数之和构成集合B={6,10,14,18,...}

把10^n分别写成二进制，五进制，十进制，计算它们的位数和：
n=1时：4+2+2=8
n=2时：7+3+3=13
n=3时：10+5+4=19
n=4时：14+6+5=25
...
位数之和构成集合C={8,13,19,25,...}

证明：A,B,C两两相交都是空集，且A,B,C的所有元素包含所有大于3的正整数。

作者: 则卷同学 时间: 2012-7-14 22:45:16

先马克了，回头看看

凑字.lua

作者: tm__xk 时间: 2012-8-24 02:24:25

说些废话..

推广如下:

对abc=1的两两相异正无理数a,b,c,
{n+[na]+[n/b]},{n+[nb]+[n/c]},{n+[nc]+[n/a]}划分Z+.

其实我就是想顶一下..

作者: tm__xk 时间: 2012-8-24 13:44:07

补充ls..
对任意满足abc=1的正数ms也都"几乎"成立..

只是三个数列中..
可能有一个要-1..
或者一个-1一个-2....

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-24 13:54:37

感觉就想原子能级排列那样，或许可以解答吧？？？？

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-24 14:18:48

先把A里面的4拿掉，x∈A,x+1∉A，属于B或C，
x∈B，x+1∉B，属于A或C，
x∈C，x+1∉C，属于B或C。。
整上面的命题就行，感觉又简单一些·····

作者: superacid 时间: 2012-8-24 19:39:57

本帖最后由 superacid 于 2012-8-24 19:55 编辑

@楼上。。。11,12都属于A

作者: superacid 时间: 2012-8-24 19:48:27

还是说一下本题的推广版。。。任意个数：
设m个正数a1,a2,...,am，满足对任意i,j属于{1,2,...,m}，ai/aj不是有理数，
f(n,i)=[n*ai/a1]+[n*ai/a2]+...+[n*ai/am]，
则所有f(n,i)（n取遍所有正整数，i取遍1,2,...,m）互不相等，且其全体组成全体正整数集合。

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-25 15:41:22

superacid 发表于 2012-8-24 19:39
@楼上。。。11,12都属于A

sorry了，只是想了想···

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-25 21:39:21

没有人回帖了啊？表示很期待答案啊~~~我今天有看了N次都没人回帖···

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-8-26 02:06:05

武杰610206738 发表于 2012-8-25 21:39 没有人回帖了啊？表示很期待答案啊~~~我今天有看了N次都没人回帖···

可以告诉你，5楼的想法完全正确

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-26 11:01:14

PKUSMSBQ 发表于 2012-8-26 02:06
可以告诉你，5楼的想法完全正确

哦？是么？可是我只是觉得可以，，但是无从下手···解答一下啊！！！

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-26 11:36:09

武杰610206738 发表于 2012-8-26 11:01
哦？是么？可是我只是觉得可以，，但是无从下手···解答一下啊！！！

这个问题弄得好蛋疼·········

作者: 郭鑫潍坊 时间: 2012-8-26 11:49:16

那些还没学到呢。。。

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-8-26 13:41:52

本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-8-26 13:43 编辑

直接证明8楼的结论。。 F(x)=[x/a1]+...+[x/am] 把所有的n和i，按照原子能级依次计算F(n*ai)，然后可以发现一些东西了

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-26 14:42:51

superacid 发表于 2012-8-24 19:48
还是说一下本题的推广版。。。任意个数：
设m个正数a1,a2,...,am，满足对任意i,j属于{1,2,...,m}，ai/aj不 ...

前辈，可以文字解释一下么？？虽然符号都认识，但是实在看不懂

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-8-26 15:40:31

对m个两两相除都不是有理数的正数a1..am
f(x)=[x/a1]+..+[x/am]
则
f(a1)，..，f(am)，
f(2a1)，..，f(2am)，
f(3a1)，..，f(3am)，
。。
。。
各不相同，且取遍正整数集合

作者: 武杰610206738 时间: 2012-8-26 17:18:05

PKUSMSBQ 发表于 2012-8-26 15:40
对m个两两相除都不是有理数的正数a1..am
f(x)=[x/a1]+..+[x/am]
则

那如何从一楼那里引入m呢？？？

作者: superacid 时间: 2012-8-26 20:25:48

a1=log2,a2=log5,a3=log10带入即可

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